Коллапс пылевого облака

[schekn]

Посмотрим, как осуществляется переход от одних координат к другим на примере сферически-симметричного коллапсирующего тела с нулевым давлением и однородным по плотности. Посмотрим также, как проводится сшивка на границе области, разделяющей вакуум и вещество. Рассмотрим вопрос, откуда берутся сингулярные решения, получим общее решение коллапса с определенными начальных данных.
В основном буду придерживаться главы Вайнберга про коллапс пар. 9 стр. 368 и ЛЛ-2 пар. 103. Обозначения буду использовать как у Ландау, хотя в некоторых местах этот вопрос лучше изложен у Вайнберга.
Я пытаюсь дополнить учебники некоторыми расчетами, которые мне показались важные для понимания классической задачи коллапса пылевого облака с нулевым давлением.

1.Координатные преобразования. Переход от стандартных координат к синхронным.
Мы имеем пылевое облако с нулевым давлением в собственной системе отсчета и плотностью $\varepsilon$ постоянной во время коллапса. В координатах Шварцшильда (стандартных) это решение найдено у Вайнберга в параграфе 9 стр. 368 (ближе к концу).

Вначале там рассматривался коллапс из состояния покоя, то есть в момент времени $\tau=0$ все частицы покоились и граница имела координату $R=a_0$ (координата внутреннего решения) в сопутствующей СО. Полное решение включает в себя 2 области внутреннюю и внешнюю с метриками в координатах $(r,t,\theta,\varphi)$ (везде $c=1$). Но затем Вайнберг в пар. 9 получил в стандартных координатах полное решение той же задачи:

$ds^2=g_{00}^{+}dt^2+g_{11}^{+}dr^2-r^2d{\Omega}^2 \quad(1)$ вне вещества

$ds^2=g_{00}^{-}dt^2+g_{11}^{-}dr^2-r^2d{\Omega}^2 \quad(2)$ внутри вещества

В дальнейшем я для упрощения иногда буду опускать знаки (+) (-) , и оговаривать это, когда буду рассматривать отдельно метрику внутри и снаружи.
Внешняя метрика это стандартная метрика Шварцшильда: $g_{00}^{+}=1-r_g/r$, $g_{11}^{+}=-1/(1-r_g/r)$

Внутреннюю нашел Вайнберг в своей работе (Гравитация и Космология) это (11.9.31) и (11.9.32), радиальную компоненту выпишу:

$g_{11}^{-}=\frac{-1}{1-\frac{r_{g}r^2}{a_{0}^{3}a(\tau)}} \quad (11.9.32)$

$a(\tau) $- масштабный фактор. Нулевая компонента сложная и в неявном виде, выписывать не буду, впрочем, в дальнейшем мне ее явный вид не потребуется. Отмечу, что в стандартных координатах осуществлена сшивка всех 4-х компонент внутренней и внешней метрик на границе облака! Показана их непрерывность, но не гладкость.
Теперь давайте перейдем к синхронным координатам (То есть это обратная задача, чем это описано у Вайнберга) $(r,t)$ к $(\tau,R)$: $r=r(\tau,R),t=t(\tau,R)$, через тензорный закон преобразования компонент.

$\bar{g}_{ik}(\bar{x})={g}_{lm}(x)\frac{\partial{x}^{l}}{\partial{\bar{x}}^{i}}\frac{\partial{x^{m}}}{\partial{\bar{x}^{k}}} \quad(3)$

Черта сверху обозначает метрику в синхронных координатах. Распишем ее компоненты для нашего случая:

$\bar{g}_{00}(\tau,R)=g_{00}\dot{t}^2+g_{11}\dot{r}^2 \quad(4)$

$\bar{g}_{11}(\tau,R)=g_{00}{t’}^2+g_{11}{r'}^2 \quad(5)$

$\bar{g}_{01}(\tau,R)=g_{00}\dot{t}t'+g_{11}\dot{r}r' \quad(6)$

$\bar{g}_{22}(\tau,R)=-r(\tau,R)^2, \quad \bar{g}_{33}(\tau,R)=-r(\tau,R)^2\sin^2{\theta}, \quad r=r(\tau,R) \quad(7)$

Точка сверху – производная по $\tau$, штрих сверху – производная по $R$. Теперь, если оба выражения (1)-(2) подвергнуть преобразованиям по закону (4-7), где функции $t,r$ всюду дифференцируемые, то получим решение той же модели поля в других координатах $(R,\tau)$, причем оно будет также сшито непрерывно на границе области для всех компонент, если использовать одинаковые преобразования координат, как для внутренней, так и для внешней области.
Отличительной особенностью этого решения заключается в том, что оно допустимо, когда граница облака имеет значении радиальной координаты $r>r_g$, то есть это означает, что мы имеем бесконечно коллапсирующий объект без всякой сингулярности, а линия $r=0$, $-{\infty}<t<+{\infty}$ принадлежит нашему многообразию.

Замечание 1. Хочется также отметить одно обстоятельство, которое хорошо известно, но почему-то забывается: поскольку система уравнений (3), описывающая переход в другую координатную систему, линейна относительно старых компонент, то никаких особенностей у новых метрических компонент не должно возникнуть при допустимых преобразованиях координат, аналогично и если такая особенность имела место в старых координатах, то в новых ее нельзя устранить.

Условия синхронности:

$\bar{g}_{01}=0, \quad \bar{g}_{00}=1$

Чтобы найти такие преобразования, мы должны решить дополнительно нелинейную систему уравнений в частных производных:

$g_{00}\dot{t}^2+g_{11}\dot{r}^2=1 \quad(8)$

$g_{00}\dot{t}t’+g_{11}\dot{r}r’=0 \quad(9)$


Поскольку систему (8-9) нелинейная ( и достаточно сложная, часто не решаемая в общем виде), заранее нельзя сказать насколько гладкими получатся функции во всей области рассматриваемого многообразия. Коэффициенты в системе (8-9) $g_{00}, g_{11}$, разные во внутренней и внешней областях, значит, получим и различные функции вне $t_{+},r_{+} $ и внутри вещества $t_{-},r_{-}$. Поэтому мне не ясно, почему два ЗУ в одной из тем выносили мне мозг, что координатные системы внутри и снаружи пылевого облака одинаковы. Они называются одинаково: синхронные, но в сущности разные. Уже на этом этапе можно понять, что метрическая синхронная компонента ( радиальная) будет терпеть разрыв на границе облака (если граница резкая). Но далее я покажу это строго.

Выражая из (8) $\dot{t}$ и из (9) $t'$ подставим их в (5), получим:

$\bar{g}_{11}=\frac{g_{11}r'^2}{1-g_{11}\dot{r}^2} \quad(10)$

Это выражение для радиальной компоненты в синхронных координатах в общем виде внутри и вне вещества.
Полученная геометрия выражается теперь такими метриками:

$ds^2=d{\tau}^2+\bar{g}_{11}^{+}(R^{+},\tau)dR_{+}^2-r^{+}(R^{+},\tau)^2d{\Omega}^2 \quad(11)$ в вакууме

$ds^2=d{\tau}^2+\bar{g}_{11}^{-}(R^{-},\tau)dR_{-}^2-r^{-}(R^{-},\tau)^2d{\Omega}^2 \quad(12)$внутри облака

Казалось бы, если есть особенность в компоненте $g_{11}$, то в (10) в $\bar{g}_{11}$ ее уже нет. На самом деле, как получил Вайнберг в параграфе 11 и в своей работе Оппенгеймер-Снайдер, преобразования $t(\tau,R)$ имеют сингулярность при $r=r_g$, когда граница облака равна $r_g$ , что противоречит дифференциальной геометрии, то есть их нельзя использовать при данных условиях.
Таким образом, никакими допустимыми преобразованиями особенность в радиальной компоненте при $r=r_g$ устранить невозможно. (1)-(2) это есть хорошее решение без физических сингулярностей и представляет собой бесконечно (по времени $t$) коллапсирующий объект.
Возникает вопрос – откуда берутся решения с сингулярностями в инвариантах кривизны?

Сегодня или завтра проложу. (если есть опечатки и косяки, то пока могу исправить).

[schekn]

Следует добавить одну фразу, что в случае модели, описанной метриками (1) и (2) внешняя координата $r^{+}$ остается всегда больше $r_g$ и соответственно гравитационный радиус находится все время $t$ внутри пыли. Соответственно и функция $r^{+} (\tau,R)>r_g$ в метрике (11).

Несложно понять, что (1) и (2) получаются в результате решения такой полной системы уравнений ( в смешанных координатах, буквы латинские пробегают 0,1,2,3)) в стандартных координатах (модель поля А) :

внутри вещества:

$R_{i}^{j}(t,r,\theta,{\varphi})-R{\delta_{i}^{j}}/2=8{\pi}GT_{i}^{j}(t,r,\theta,{\varphi}) \quad(13) $

$g_{01}=g_{02}=g_{03}=0, \quad g_{22}=-r^2 , \quad g_{33}=-r^2{\sin^2{\theta}}\quad(13a)$

вне вещества:

$R_{i}^{j}(t,r,\theta,{\varphi})=0 \quad(14)$

$g_{01}=g_{02}=g_{03}=0, \quad g_{22}=-r^2 , \quad g_{33}=-r^2{\sin^2{\theta}}\quad(14a)$

Здесь ТЭИ $T_{i}^{j}$ в данном случае получается на основе ТЭИ в синхронных координатах, в которых давление нулевое и плотность известна, но после перехода к стандартным координатам.

В синхронных координатах ( модель поля B)

внутри вещества:

$\bar{R}_{i}^{j}(\tau,R,\theta,\varphi) - \bar{R}{\delta_{i}^{j}}/2=8{\pi}G\bar{T}_{i}^{j}(t,r,\theta,{\varphi}) \quad(15)$

$\bar{g}_{01}=\bar{g}_{02}=\bar{g}_{03}=0, \quad \bar{g}_{00}=1 \quad(15a)$

$\bar{T}_{0}^{0}=\varepsilon(\tau,R), \quad \bar{T}_{1}^{1}=\bar{T}_{2}^{2}=\bar{T}_{3}^{3}=0$

вне вещества:

$\bar{R}_{i}^{j}(\tau,R,\theta,\varphi)=0 \quad(16)$

$\bar{g}_{01}=\bar{g}_{02}=\bar{g}_{03}=0, \quad \bar{g}_{00}=1 \quad(16a)$



Утверждаю следующее: модель А и модель Б это две разные независимые модели поля в рамках ОТО. Хотя изначально мы имеет ту же симметрию задачи, те же начальные данные, одно и то же распределение вещества.

Замечание 2. Здесь очень важно заметить, что системы (13)-(14а) отличается от (15)-(16a) тем, что кроме изменения вида ТЭИ , часть полной системы уравнений (стандартные (13a, 14a)) в частных производных заменены другими (15a, 16a). Здесь на некоторые функции, которые станут после решения полной системы уравнений компонентами метрики, накладываются определенные жесткие условия. Это отличительная особенность ОТО, на которую не обращают внимания. Соответственно множество решений и область определения координат могут сильно отличаться в первом и втором случае. Поэтому я утверждаю, что мы имеет 2 модели поля (по крайней мере), укладывающиеся в идеологию ОТО: в первой нет физической сингулярности, во втором есть.

[schekn]

Найдем геометрию внутри и вне коллапсирующего облака в синхронных координатах ( уравнения модели B). Для этого буду использовать обозначения ЛЛ-2 пар. 103 за исключением небольших изменений.
Ландау (вслед за Толменом) получил решение в общем виде (103.1):

$ds^2=d{\tau}^2-\frac{r'^2}{1+f(R)}dR^2-r^2(\tau,R)d{\Omega}^2 \quad(103.1)$

Где функция $r(\tau,R) $ определяется из дифференциального уравнения:

$\dot{r}^2=f(R)+F(R)/r$ \quad(17)

Функции $f $ и $F$ - достаточно произвольные.
Среди всех решений задаче о коллапсе пыли с нулевым давлением соответствует таким параметрам произвольных функций:

$-1<f<0, \quad F(0)=0,\quad F(R=a_0)=r_g $ , $ a_0 $- координата границы облака.

и из (17) мы выбирается знак (-) $\dot{r}=-\sqrt{f(R)+F(R)/r} \quad(17a)$

Интегрирование (17a) дает :

$\tau-\tau(R)=-\frac{F}{f\sqrt{-f}}(\arctg{\sqrt{\frac{-F}{rf}-1}}-fr\sqrt{\frac{-F}{rf}-1}) \quad(18)$

Буду ставлю задачу с начальными данными , как у Вайнберга или ЛЛ-2 (задача после пар 103) - пыль в момент времени $\tau=0$ находится в покое.

Это значит: $\dot{r}=0$ или

$f(R)=-\frac{F(R)}{r(0,R)}$ , значит функция интегрирования равна нулю $\tau(R)=0$.

Специально для vicont : метрика Круcкала получается как вакуумное решение , если положить:

$f=\frac{-1}{(R/r_g)^2+1}, \quad F(R)=r_g$

И ее можно продолжить за гравитационный радиус именно в моделе B. Так мы получим метрику Крускала в синхронных координатах Новикова. Там правда еще нужно взять решения дифура (17а) с другим знаком.

$\dot{r}=\sqrt{f(R)+F(R)/r} $

Замечание 3. Задача Коши накладывает определенные ограничения на использование координатных систем. Так например, метрика Леметра к данной задаче не подходит.
Действительно , Леметр получается , если ( согласно ЛЛ-2) взять:

$f(R)=0 , \quad F(R)=r_g, \tau(R) =...$ и

$f(R)=-\frac{F(R)}{r(0,R)}=0 $ , чего быть не может.

Заменяя $r(0,R)=r_0(R)$ и подставляя $f=-F/r_{0}$ в (18) получим более простое выражение:

$\tau=\frac{{r_0}^{3/2}}{\sqrt{F}}(\arctg{\sqrt{r_0/r-1}}+\frac{r}{r_0}\sqrt{r_0/r-1}) \quad(19)$

Далее воспользуемся тем, что синхронные координаты определяются с точностью до таких преобразований:

$\tau=\dar{\tau}+Const, \quad R=R(\bar{R})$

и заменим $r_0(R)=R$ поскольку в явном виде$ R$ нигде не фигурирует, а только $r_0$ Получим:

$\tau=\frac{{R}^{3/2}}{\sqrt{F}}(\arctg{\sqrt{R/r-1}}+\frac{r}{R}\sqrt{R/r-1}) \quad(20)$

Наконец продифференцируем левую и правую часть выражения (20) по $R$ и выразим $r'(\tau,R)$.
У меня получился следующие выражение :

$r'(\tau,R)=\frac{1}{2}(3-\frac{F'}{F}R)\sqrt{R/r-1}(\arctg{\sqrt{R/r-1}}+\frac{r}{R}\sqrt{R/r-1})+r/R\quad(21)$

Теперь в неявном виде все функции и метрические компоненты метрики (103.1) найдены. Можно проанализировать решение для разных распределений
пыли в начальный момент времени. Эти определяется функцией $F(R)$.
На нее накладываются условия:

$F(R)/R<1, \quad F(0)=0, \quad F(R=a_0)=r_g$

-- 13.02.2015, 15:08 --

Далее при решении системы уравнений ЛЛ-2 получили формулу для плотности энергии пыли:

$8{\pi}G=\frac{F'(R)}{r'r^2}\quad (103.11)$

Подчеркну, что это плотность энергии. Плотность распределения самих пылинок другая, возможно оно мне потребуется в дальнейшем, тогда выпишу.
Из (103.11) видно, почему в вакууме $F(R)=\operatorname{const} $. Из сшивки на границы полагают именно $F(R)=r_g$.



Скалярная кривизна находится так:

$I_{R}=-8{\pi}GT=-8{\pi}GT_{0}^{0}=-\frac{F'(R)}{r'r^2}$

Откуда видно, что сингулярное состояние ( бесконечное) наступает, когда $r=0$. Согласно уравнению (20) для границы облака $(R=a_0)$ это возможно за конечное собственное время :

$\tau (r=0)={\pi}a_0^{3/2}/2\sqrt{r_g}$

На основании чего и делается вывод , что если предположить, что граница облака ушла за $r=r_g$ , то сингулярное состоянии неизбежно, что приводит к образованию Черных дыр.

[Pphantom]

Давайте не превращать форум в блог - подождите с продолжением (если оно будет) до появления собеседников.

[schekn]

Хорошо, В принципе ничего пока сильно дискуссионного нет, до самих тонких и спорных вопросов я только сейчас доберусь.

[Red_Herring]

schekn
В принципе строчные формулы не нумеруются, а только выделенные. И выделяются уравнения в отдельную строку двойными долларами, а не простыми—тогда и номера "плясать" не будут и уравнения будут выглядеть получше.

[schekn]

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #977705 писал(а):

schekn
В принципе строчные формулы не нумеруются, а только выделенные. И выделяются уравнения в отдельную строку двойными долларами, а не простыми—тогда и номера "плясать" не будут и уравнения будут выглядеть получше.

Спасибо, постараюсь учесть, а можно пример?

[Red_Herring]

(Оффтоп)

См сообщение #913470

[schekn]

У меня осталось собственно 2 вопроса, до которых я не добрался. Это вопрос с сшивкой в синхронных координатах. Неясно , почему в случае стандартных координатах Шварцшильда сшивка на границе облака проходит по Лихнеровичу и сшиваются все 4 компоненты метрики и кстати на основании этого Вайнберг находит недостающую постоянную, а в синхронных сшиваются метрики по другому и радиальная компонента всегда разрывна (если есть резкая граница облака). И еще я хотел рассмотреть 3 случая разных распределений пылевого облака в начальный момент времени и показать epros , откуда у меня взялась вторая сингулярность.

[schekn]

Хочу все таки хотя бы кратко остановиться на проблеме сшивки на границе облака. Этот вопрос почти не изложен в учебниках, поэтому , кто занимался, мог бы сделать замечания по моим записям.

Вайнберг внутреннее решение выбирает в виде $F(R)=kR^3, \quad f(R)= -kR^2 $ ( начальные условия дают $r(0,R)=R$ ). И при сшивке в стандартных координатах с вакуумным шварцшильдовским решением он находит постоянную $k=r_g/a_0^3 $. Если предположить, что граница облака ушла за поверхность $r=r_g$ , то неясно, как бы он определил эту постоянную, поскольку перейти от синхронных к стандартных координатам около границы уже было бы нельзя.

В синхронных координатах фиксируется радиальная координата на границе , тогда радиальный член пропадает и далее доказывается , что индуцированная 3-х мерная метрика как внутри , так и снаружи на границе совпадает.

\begin{gather}$$ds^2_{(3)}_{+}=d{\tau}_{+}^2-r^2_{+}d{\Omega}^2, \tag{22}\\ ds^2_{(3)}_{+}=d{\tau}_{+}^2-r^2_{+}d{\Omega}^2, \tag{23}$$\end{gather}

Поскольку площадь на поверхности облака с резкой границей должна совпадать, имеем : $r^{+}(\tau,R_0)=r^{-}(\tau,a_0)$

Я зафиксировал координатную систему как внутри облака , так и и вне его, так : $r(0,R)=R$, значит $a_0=R_0$

(Если вне облака координатная система другая , то $R_0$ не совпадала бы с $a_0$ , но эту связь было бы легко найти).

Еще необходимо, чтобы собственное время на границе не испытывало скачок.
Согласно выражению (20), которую я получил:

$$ \tau_{+}=\frac{a_0^{3/2}}{\sqrt{r_g}}(\arctg{\sqrt{a_0/r_{+}-1}}+\frac{r_{+}}{a_0}\sqrt{a_0/r_{+}-1})\\ $$ \tau_{-}=\frac{a_0^{3/2}}{\sqrt{F(a_0)}}(\arctg{\sqrt{a_0/r_{-}-1}}+\frac{r_{-}}{a_0}\sqrt{a_0/r_{-}-1})$$

$\tau$ совпадают, если $ F(a_0)=r_g$ и $r^{+}(\tau,a_0)=r^{-}(\tau,a_0)$

А вот что происходит с радиальной компонентой, достаточно посмотреть на функции $r'_{+}(\tau,a_0)$ , $r'_{-}(\tau,a_0)$.

Для этого у меня получено выражение (21) в общем виде:

$$r'(\tau,R)=\frac{1}{2}(3-\frac{F'}{F}R)\sqrt{R/r-1}(\arctg(\sqrt{R/r-1})+\frac{r}{R}\sqrt{R/r-1})+r/R \quad(21)$$

В вакууме на границе $F(R)=r_g,\quad F'(R)=0$:

$$r'(\tau,a_0)=\frac{3}{2}\sqrt{a_0/r-1}(\arctg(\sqrt{a_0/r-1})+\frac{r}{a_0}\sqrt{a_0R/r-1})+r/a_0 \quad(23)$$

Внутри вещества на границе, если резкая граница, которую рассматривают в учебниках, $F'(R)|_{R=a_0}\ne{0}$

$$r'(\tau,a_0)=\frac{1}{2}(3-F'|_{R=a_0}\frac{a_0}{r_g})\sqrt{a_0/r-1}(\arctg(\sqrt{a_0/r-1})+\frac{r}{a_0}\sqrt{a_0/r-1})+r/a_0 \quad(24)$$

Видно, что в общем случае (23) и (24) не совпадают ($r$ на границе одна и та же функция) , их нельзя сшить . В некоторых статьях на это закрывают глаза, хотя такой скачок ведет при дифференцировании радиальной метрической компоненты к дельта-функциям и прочим неприятностям.

[Someone]

schekn в сообщении #978664 писал(а):

в общем случае (23) и (24) не совпадают

А нафиг им там совпадать?

schekn в сообщении #978664 писал(а):

такой скачок ведет при дифференцировании радиальной метрической компоненты к дельта-функциям и прочим неприятностям

А не надо дифференцировать там, где производная не существует.

[schekn]

Someone в сообщении #978764 писал(а):

А не надо дифференцировать там, где производная не существует.

Я видел статью, достаточно солидную, где такое дифференцирование проводится и находятся даже символы Кристоффеля на границе.

-- 15.02.2015, 18:57 --

Someone в сообщении #978764 писал(а):

А нафиг им там совпадать?

Ну не знаю. В стандартных координатах совпадают. Потом это затрудняет исследование пересечения границы радиальных геодезических .
Получается скачок и переход в другую геометрию. Я получил результат, который остался за рамками учебника, поэтому задаю вопрос,
насколько это корректно и правильно?

[Someone]

schekn в сообщении #978800 писал(а):

Я видел статью, достаточно солидную, где такое дифференцирование проводится и находятся даже символы Кристоффеля на границе.

Нормально вычисления делаются отдельно с одной стороны склейки и с другой стороны склейки.

Условия склейки не содержат условия непрерывности производных. Такое требование вообще является очень странным, поскольку координаты в склеиваемых областях, вообще говоря, непосредственно не связаны, даже если одинаково обозначаются. Какая-то связь реализуется только через поверхность склейки и существует только на ней.

По-моему, я однажды писал об условиях склейки.
Поверхность склейки вложена в две склеиваемые области и должна быть либо в обеих времениподобной, либо в обеих пространственноподобной (условий склейки для изотропной поверхности не знаю).
Условия склейки следующие:
1) оба вложения индуцируют на поверхности склейки одинаковую геометрию;
2) если на поверхности склейки нет поверхностного слоя (типа бесконечно тонкой оболочки), то тензор внешней кривизны поверхности должен быть одинаковым в обеих областях;
3) если поверхностный слой есть, то скачок тензора внешней кривизны определённым образом связан с поверхностным тензором энергии импульса этого слоя.

Когда, наконец, Вы поймёте, что координаты не имеют никакого сакрального смысла? Это всего лишь инструмент, позволяющий нам записывать всякие соотношения в привычной для нас числовой форме (пусть даже эти числа обозначены буквами).

[schekn]

Someone в сообщении #979093 писал(а):

По-моему, я однажды писал об условиях склейки.

Одно дело написать условия , а другое решить по ним реальную задачу. Это несколько разные вещи , к тому же в разных учебниках это осуществлено по разному.
Я привел пример, как это проделано у Вайнберга. Там способ отличается от Вашего. В сущности я Ваш пункт 1 в последних вычислениях так и проделал.

Someone в сообщении #979093 писал(а):

Когда, наконец, Вы поймёте, что координаты не имеют никакого сакрального смысла? Это всего лишь инструмент, позволяющий нам записывать всякие соотношения в привычной для нас числовой форме (пусть даже эти числа обозначены буквами).

Я нигде в теме не утверждал это (что имеют, либо неправильно поняли). Если Вам так показалось, укажите где.

-- 16.02.2015, 15:35 --

Someone в сообщении #979093 писал(а):

Условия склейки не содержат условия непрерывности производных.

У меня на границе рвутся не производные, а сами метрические компоненты $g_{11}$.

[epros]

schekn в сообщении #979111 писал(а):

У меня на границе рвутся не производные, а сами метрические компоненты $g_{11}$.

Значит масштаб по $r$ снаружи и внутри отличается, что легко можно поправить, раз направление $r$ ортогонально к поверхности склейки.