Вопрос про кинетическую энергию

[OlegCh]

rustot в сообщении #979796 писал(а):

если планету в систему не включать то момент импульса системы не сохраняется

Понятное дело, конечно надо включать, поскольку центростремительная сила сама создает момент относительно оси стержня.

Цитата:

Здесь сила натяжения нитки не перпендикулярна к траектории. И это надо учитывать.

Ну дык и я о том же.

[odelschwank]

Предположим, что планета вначале покоится.
Тогда любое изменение ее момента импульса приведет к увеличению кинетической энергии.
Но суммарная энергия планеты и груза ведь должны сохраняться? Значит, энергия груза должна уменьшиться. Как же так, она же должна сохраняться!

[rustot]

odelschwank в сообщении #979861 писал(а):

Предположим, что планета вначале покоится.
Тогда любое изменение ее момента импульса приведет к увеличению кинетической энергии.
Но суммарная энергия планеты и груза ведь должны сохраняться? Значит, энергия груза должна уменьшиться. Как же так, она же должна сохраняться!

Если мы не пренебрегаем угловым ускорением стержня то да, уменьшится. Просто в связи с огромной разницей в массах на неразличимо малую величину. Но нужно различать ситуации когда величина пренебрежима мала, а когда нет, интуиция тут часто подсказывает неверные ответы (она вообще почти всегда так делает). Если вы кидаете мяч в неподвижную бесконечно массивную стену то изменением кинетической энергии стены можно пренебречь (а изменением ее импульса нельзя, оно велико), если же вы кидаете мяч в движущуюся бесконечно массивную стену, то пренебречь изменением ее энергии уже нельзя, это большая величина. То же самое со стержнем, если он укреплен на бесконечно массивном теле но при этом относительно исо это тело вместе со стержнем вращается, то пренебречь изменением энергии бесконечно массивного тела нельзя даже при бесконечно малом изменении угловой скорости, в отличие от случая покоящегося тела

[OlegCh]

Это примерно то же самое как упругий отскок мячика от стены - если не учитывать массу Земли, то тоже как будто нарушается закон сохранения импульса...

rustot, опередили...

[odelschwank]

rustot в сообщении #979863 писал(а):

если же вы кидаете мяч в движущуюся бесконечно массивную стену, то пренебречь изменением ее энергии уже нельзя, это большая величина

Я еще ваш ответ поперевариваю, но если буквально вас понять, то выходит, что решение задачи (и результат кидания мяча об стенку) на Земле (которая вращается) и на гипотетической неподвижной массивной планете будут (непренебрежимо) разными

[rustot]

odelschwank в сообщении #979885 писал(а):

Я еще ваш ответ поперевариваю, но если буквально вас понять, то выходит, что решение задачи (и результат кидания мяча об стенку) на Земле (которая вращается) и на гипотетической неподвижной массивной планете будут (непренебрежимо) разным

да. в этом случае нужно учитывать что даже "покоящийся" грузик на самом деле вращается относительно исо и имеет ненулевую кинетическую энергию

[odelschwank]

Вроде более-менее понятно: пусть есть массивное тело ("Земля", масса $M \to \infty$) и какая-то система тел на нем, которые рассматриваются в задаче ("лаборатория"). В системе ЦМ суммарный импульс Земли и лаборатории равен нулю, поэтому по модулю импульс Земли равен импульсу лаборатории. Т.к. импульс лаборатории конечен, импульс Земли тоже будет конечен, скорость ЦМ Земли будет порядка $M^{-1}$, т.е. бесконечно мала. Кинетическая энергия поступательного движения Земли порядка $M(M^{-1})^2=M^{-1}$ - бесконечно мала. Так же как-то и с моментом, угловой скоростью и кинетической энергией вращения Земли можно обойтись.

Мне интересно, написано ли что-то подобное в каком-нибудь учебнике? Ведь без таких соображений невозможно решать никакие задачи, включающие в себя закрепленные тела и т.п.

Кажется, иногда обосновывают сохранение энергии в этой задаче тем, что веревка перпендикулярна скорости груза. Правильно ли такое обоснование? Ведь эта перпендикулярность как раз вытекает из возможности пренебречь вращением стержня, а с этими пренебрежениями все не так просто, как кажется. Может ведь оказаться (на самом деле не оказывается, но это нуждается в обосновании), что бесконечно малой скорости такого вращения достаточно для того, чтобы энергия передавалась Земле (достаточно же ее для того, чтобы передавался момент импульса).

[rustot]

odelschwank в сообщении #980034 писал(а):

(на самом деле не оказывается, но это нуждается в обосновании

Для обоснования достаточно выразить энергию вращения через момент импульса. $E = \frac{J w^2}{2} = \frac{(J w)^2}{2 J} = \frac{L^2}{2 J}$.

Вы, закрутив фуэте, изменили момент импульса опоры ровно на то же значение $\Delta L$, на которое изменили свой, независимо от того крутится опора или нет, большой ее момент инерции или нет. При этом энергия опоры изменится на $\Delta E = \frac{(L_0 + \Delta L)^2}{2 J} - \frac{L_0^2}{2 J} = \frac{L_0 \Delta L}{J} + \frac{\Delta L^2}{2 J} = w_0 \Delta L + \frac{\Delta L^2}{2 J}$. И если при стремлении момента инерции опоры к бесконечности вы можете пренебречь вторым слагаемым, то пренебречь первым не получится, если угловая скорость опоры $w_0$ была не бесконечно малой то и энергия опоры изменится на конечную величину

Это полностью симметрично с энергией и импульсом при прямолинейном движении $E = \frac{m v^2}{2} = \frac{p^2}{2 m}$, $\Delta E = v_0 \Delta p + \frac{\Delta p^2}{2 m}$. Бесконечно тяжелой но не неподвижной стене мячик передаст значительную энергию $v_0 \Delta p$

[Munin]

OlegCh в сообщении #979794 писал(а):

Чего это вдруг? Просто здесь мгновенная ось вращения сама движется вокруг оси стержня. И это надо учитывать.

Относительно любой неподвижной оси момент импульса не сохраняется. Если вы будете держать ось в руках, то она будет пытаться прокрутиться - то есть, на неё действует момент силы, который и будет забирать у вращающегося тела момент импульса.

DimaM в сообщении #979799 писал(а):

Здесь сила натяжения нитки не перпендикулярна к траектории. И это надо учитывать.

М-м-м, перпендикулярна. Траектория - эвольвента окружности (спираль Архимеда).

[Yustas]

OlegCh в сообщении #979805 писал(а):

rustot в сообщении #979796 писал(а):

если планету в систему не включать то момент импульса системы не сохраняется

..... поскольку центростремительная сила

Центростремительная сила.... кхэ-кхэ.... можно подробнее про это мифическое явление?
Она наблюдается в ходе опыта?

[rustot]

Yustas в сообщении #980757 писал(а):

Она наблюдается в ходе опыта?

делите полученное в опыте ускорение груза на его массу и получаете центростремительную силу, приложенную веревкой к грузу. если не доверяете второму закону ньютона то можете вставить между веревкой и грузом динамометр для ее измерения

[Munin]

Yustas в сообщении #980757 писал(а):

Центростремительная сила.... кхэ-кхэ.... можно подробнее про это мифическое явление?
Она наблюдается в ходе опыта?

Почему же она мифическая? Можете приделать к телу динамометр в точке крепления шнура, и наблюдать эту силу.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #980763 писал(а):

Почему же она мифическая? Можете приделать к телу динамометр в точке крепления шнура, и наблюдать эту силу.

Потому что нельзя. Она попросту не центростремительная. Ну нет в русском языке такого словосочетания, увы. Бедно русская язык.

[svv]

[ewert]

Центростремительная составляющая -- почему бы и нет. А вот аналогичной силы -- в языке нет увы. Впрочем, предыдущий товарищ вовремя спохватился и уже успел исправиться.