Покрытие плоскости замкнутыми кругами...

[grizzly]

gris в сообщении #979493 писал(а):

у них предполагается (хотя и не утверждается чисто формально) ненулевой радиус.

grizzly в сообщении #979449 писал(а):

venco в сообщении #979443 писал(а):

А разве можно разместить на плоскости несчётное множество непересекающихся квадратов или кругов?

Круги нулевого радиуса можно. ... В любом случае формулировка ТС позволяет не заморачиваться этими тонкостями.

От своей предыдущей гипотезы я отказываюсь, но всё равно не думаю, что всё упрётся в счётное множество непокрытых точек.

[gris]

grizzly, я тоже так думаю. Что неминуемый остаток нулевой меры будет иметь мощность континуума.

[Nemiroff]

gris в сообщении #979493 писал(а):

При таком условии прямую, например, можно покрыть счётным числом непересекающихся во внутренних точках отрезков.

Я не об этом.
Возьмём точку внутри круга, проведём через неё все прямые --- их континуум. При этом кругов, как уже понятно, счётное число, поэтому их точек касания счётное число. Поэтому есть прямая, которая не проходит ни через одну точку касания. Значит, она покрыта непересекающимися отрезками. Это невозможно. Значит, и покрытия плоскости кругами нет.

[gris]

Nemiroff, пардон, я просто подумал, что всё соскользнуло в шутошный тон, и автор даже приобиделся. Теперь, надеюсь, он будет доволен.Теперь можно и пообобщать и поразвивать.

[grizzly]

Nemiroff
Просто красиво!

[atlakatl]

Nemiroff в сообщении #979501 писал(а):

Возьмём точку внутри круга, проведём через неё все прямые --- их континуум. При этом кругов, как уже понятно, счётное число, поэтому и точек касания счётное число.

А не проще ли на этом победно остановиться? Счётное множество, наложенное фрактальной сеткой на континуум, не может его полностью покрывать.
Просто дальнейшее

Nemiroff в сообщении #979501 писал(а):

Поэтому есть прямая, которая не проходит ни через одну точку касания. Значит, она покрыта непересекающимися отрезками. Это невозможно. Значит, и покрытия плоскости кругами нет.

не столь явно.

[ИСН]

Про какой континуум речь? Если про прямую, то одну её круги могли бы покрыть, будучи уложены встык. Если про плоскость, то что такое фрактальная сетка и откуда это следует?
Нет; завершение не только красиво, но и нужно.

[atlakatl]

ИСН в сообщении #979547 писал(а):

Если про плоскость, то что такое фрактальная сетка и откуда это следует?

Про плоскость. Фрактальная сетка получается из точек касания кругов. "Следует это" из большей мощности континуума в сравнении со счётным множеством.
Понял, что покрытие плоскости не ограничивается точками касания, "основной вклад" приходится на площади кругов. Так что согласен, продолжение с отрезками нужно.

[Skeptic]

atlakatl в сообщении #979482 писал(а):

Skeptic в сообщении #979472 писал(а):

Разместим диаметры кругов на прямой и подсчитаем их мощность.

Да, и их порядок расположения будет соответствовать соответствующему порядку пересчёта счётного множества QxQ.

А если длины диаметров иррациональны?

[atlakatl]

Skeptic в сообщении #979577 писал(а):

atlakatl в сообщении #979482 писал(а):

Skeptic в сообщении #979472 писал(а):

Разместим диаметры кругов на прямой и подсчитаем их мощность.

Да, и их порядок расположения будет соответствовать соответствующему порядку пересчёта счётного множества QxQ.

А если длины диаметров иррациональны?

Я снимаю своё поддакивание этому предложению. Считаю, что рассмотрению покрытия плоскости оно ничем не поможет.

[ИСН]

Skeptic в сообщении #979577 писал(а):

А если длины диаметров иррациональны?

Погодите, это не Вы ли обещали предъявить отрезок без рациональных точек?

[Deggial]

atlakatl в сообщении #979482 писал(а):

множества QxQ.

atlakatl, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.

[Geros]

Nemiroff

дадада...

точно! я же знал, что прямую нельзя покрыть непересекающимися отрезками... и что у каждого круга только счётное число точек касания....

и прямые проводил... искал без точек касания...
но вот элементарно про мощность забыл! точек касания же счётно... счётно на счётно... эхх... конечно же!

всё... вопрос закрыт.

большое спасибо всем!

[Evgenjy]

Nemiroff в сообщении #979501 писал(а):

Возьмём точку внутри круга, проведём через неё все прямые --- их континуум. При этом кругов, как уже понятно, счётное число, поэтому их точек касания счётное число. Поэтому есть прямая, которая не проходит ни через одну точку касания. Значит, она покрыта непересекающимися отрезками. Это невозможно. Значит, и покрытия плоскости кругами нет.

Небольшое добавление к этому решению. Выбранная прямая еще не должна быть касательной к кругам разбиения. Иначе, строго говоря, на выбранной прямой может оказаться счетное всюду плотное множество точек. Это легко обходится, поскольку касательных, выходящих из выбранной точки тоже счетное число. Поэтому надо выбирать прямую не проходящую ни через одну точку касания и не являющейся касательной ни к какому кругу.

[Geros]

Evgenjy

Цитата:

Выбранная прямая еще не должна быть касательной к кругам разбиения. Иначе, строго говоря, на выбранной прямой может оказаться счетное всюду плотное множество точек.

а чем плохо наличие счётного мн-ва точек в покрытии прямой?

(p. s. ну а ежели оно всюду плотное, то чем тогда будут оставшиеся точки покрыты? если у нас только отрезки и точки (касания)...)