Стереометрия. Сканави. 11.113

[Charlz_Klug]

Munin в сообщении #975783 писал(а):

Вы справились с первым пунктом?

$KMQH$ - это сечение перпендикулярное рёбрам$AB$, $CD$, $FG$, $EH$, расположенное в горизонтальной плоскости максимально "внизу" фигуры. $K'CQ'N$ - то же самое сечение $KMQH$, но сдвинутое максимально "вверх" до упора. $ABCDEFGH$ - это тот же параллелепипед о котором говорилось в начале треда, но повёрнутый чуть по-другому. Как ни поворачивай гипотетическое тело в гипотетическом пространстве - оно (тело) всегда будет сохранять прежний объём и площадь поверхности.

Munin в сообщении #975783 писал(а):

Упражнение: обосновать, что объём и боковая поверхность от этого не изменятся.

Поскольку $AB$, $DC$, $GF$ и $HE$ - рёбра параллелепипеда $ABCDEFGH$, то следовательно эти рёбра параллельны друг другу и равны между собой. Обозначим через $x$ длину одного ребра. Два перпендикулярных рёбрам сечения $KMQH$ и $K'CQ'N$ отрезают от параллелепипеда $ABCDEFGH$ маленький параллелепипед $K'KMCQQ'NH$ с рёбрами $K'K$, $CM$, $Q'Q$ и $NH$, обозначим длину одного ребра маленького параллелепипеда как $y$. Отсюда длина отрезка $MD$ равна $x-y$, но, если от $AB$ отнять $K'K$ мы получим следующее: $AB - K'K = x - y$, то есть, результат равен $MD=x - y$. Аналогично получается, что $EH - NH = x - y$ и $FG - Q'Q = x - y$. Теперь, фигуру $HQMKADG$ сдвинем параллельно "вверх" и совместим с фигурой $CBEFQ'NK'$ так, что точка $D$ совместится с точкой $C$, точка $H$ совместится с точкой $E$, точка $A$ с точкой $B$ и точка $F$ с точкой $G$ и получим прямую призму $KLOMPQHE$ (выровняли связку карандашей). Поскольку в сумме фигуры $K'KMCQQ'NH$, $HQMKADG$ и $CBEFQ'NK'$ обладают тем же объёмом, что и параллелепипед $ABCDEFGH$, то получившаяся прямая призма $KLOMPQHE$ по объёму равна параллелепипеду $ABCDEFGH$, причём $KL = OM = PQ = EH = AB = CD = FG = EH$, то есть равно длине ребра параллелепипеда $ABCDEFGH$. Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту, то есть произведению перпендикулярного сечения параллелепипеда $ABCDEFGH$ на грань параллелепипеда $ABCDEFGH$. Теперь что касается боковой площади. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Площадь боковой поверхности параллелепипеда $ABCDEFGH$ равна $KM \cdot AB + MQ \cdot AB + HQ \cdot AB + KH \cdot AB = AB \cdot (KM + MQ + HQ + KH)$, где $KM + MQ + HQ + KH$ - периметр сечения $KMQH$. В прямой призме $KLOMPQHE$ боковая поверхность равна сумме площадей прямоугольников $KMOL$, $MOPQ$, $QPEH$, $EHKL$, то есть $KM \cdot OM + MQ \cdot OM + HQ \cdot OM + KH \cdot OM = OM \cdot (KM + MQ + HQ + KH)$, где $KM + MQ + HQ + KH$ - периметр сечения $KMQH$, а $OM = AB$. Значит площадь боковой поверхности параллелепипеда $ABCDEFGH$ и прямой призмы $KLOMPQHE$ одна и та же. Принимаете доказательство?

[Munin]

Да.

Замечательно. Теперь вы поняли идею моего решения. Ну а вычисления теперь уже тривиальны, не так ли?

[Charlz_Klug]

Munin в сообщении #977098 писал(а):

Теперь вы поняли идею моего решения. Ну а вычисления теперь уже тривиальны, не так ли?

Да. Теперь обладая этим знанием задачу решить легко. Большое вам спасибо!