Догонит ли черепаха Ахиллеса?

[Lukum]

Записываем число

AGu в сообщении #976397 писал(а):

Пусть $S_n\subseteq\mathbb N$ — множество чисел (шаров), находящися в ящике за $1/n$ минуты до полудня.
По условию мы имеем $S_n=\{n+1,\dots,10n\}$.
Спрашивается: сколько шаров будет в ящике в полдень?

1. После каждой операции по помещению $n$ шаров в ящик и изъятию $1$ шара из ящика, количество шаров в ящике будет увеличиваться на $(n-1)$, число шаров в ящике будем записывать на доске.
Вопрос: какое число будет записано в полдень?
2. В каждый момент времени $1/n$ минуты до полудня будем записывать на доске число $1/n$.
Вопрос: какое число будет записано в полдень?

-- 10.02.2015, 23:31 --

Добавлю еще один вопросик )
3. В каждый момент времени $1/n$ минуты до полудня помещаем в ящик $1$ шар, в следующий момент времени $1/(n+1)$ вынимаем $1$ шар из ящика.
Вопрос: сколько шаров будет в ящике в полдень?
$S=1-1+1-1+1...$

-- 11.02.2015, 00:09 --

Добью еще вопросик
4. После каждой операции по помещению $2^n+1$ шаров в ящик и изъятию $1$ шара из ящика, количество шаров в ящике будет увеличиваться на $2^n$, число шаров в ящике будем записывать на доске.
Вопрос: какое число будет записано в полдень?

[Лукомор]

atlakatl в сообщении #975744 писал(а):

Так что Вам не нравится в утверждении, что ровно в полдень в ящике будет пусто?
Для подтверждения просто назовите любой номер шара, - и сразу узнаете, в какой момент до полудня он исчезнет из ящика. А если любой шар из ящика исчезает до полудня, то как в ящике может что-то остаться?

Назовите любой номер шара $N$ , и сразу узнаете, что следующие $9\cdot N$ шаров будут непременно находиться в ящике, в момент, когда шар номер $N$ исчезнет из ящика.
А если в любой момент в ящике находится $9\cdot N$ шаров, то как в ящике может ничего не остаться?

-- Вт фев 10, 2015 23:53:13 --

Mihr в сообщении #976173 писал(а):

Ответ существенно зависит от того,
1) утверждаете ли Вы дополнительно, что и Черепаха и Ахиллес пробегают за конечное время бесконечный путь, заканчивая движение одновременно
2) устраивает ли Вас ответ "догонит в бесконечно удалённой точке".

1). Нет. Скорости Ч. и А. конечны, и различаются в 10 раз, как в апории Зенона.
2). Нет, ибо в силу 1) догонит через бесконечное время.
"Догонит через бесконечное время"- это то же самое, что "не догонит никогда".

[iifat]

Lukum в сообщении #976506 писал(а):

1

Я тоже, как и благородный дон , только в зрелом возрасте познал всё коварство математики. Вы представляете, там не одна задача, а как минимум две! И, что самое гадкое, ответы-то не совпадают!

[Mihr]

AGu,
спасибо, что не поленились разложить всё по полочкам.
Одно место в Вашем объяснении заставило меня "споткнуться".

AGu в сообщении #976397 писал(а):

По очень простой причиние: с одной стороны, $S_n\to\varnothing$, а с другой стороны, $|S_n|\to\infty$ (точнее, $|S_n|\to\omega$).

Для меня как-то привычно, что символ $\omega$ обозначает порядковый тип упорядоченного (естественным образом) множества натуральных чисел, а не мощность счётного множества.
Вероятно, Вы просто использовали для обозначения мощности тот же символ, что и для порядкового типа?

[arseniiv]

Mihr в сообщении #976596 писал(а):

Вероятно, Вы просто использовали для обозначения мощности тот же символ, что и для порядкового типа?

В присутствии аксиомы выбора каждый кардинал можно представить ординалом, в т. ч. наименьшим из всех равномощных, вот так и определяют иногда.

[Лукомор]

atlakatl в сообщении #976597 писал(а):

Вы согласны с моим тезисом? - Про любой вынутый шар? А оставшиеся $9$ следующих шаров будут наверняка вынуты в последующем до полудня.

Конечно согласен... А про оставшиеся - не понял - их ведь бесконечно много?

[atlakatl]

Лукомор в сообщении #976605 писал(а):

А про оставшиеся - не понял - их ведь бесконечно много?

Вы троллите, что ли? Так... Ловлю на слове... "Их ведь бесконечно много" - И вынутых шаров "бесконечно много". И моментов вынимания/закладывания до полудня "бесконечно много".
Потрудитесь объяснить значение Вашего глубокомысленного вопроса.

[Mihr]

arseniiv в сообщении #976604 писал(а):

В присутствии аксиомы выбора каждый кардинал можно представить ординалом, в т. ч. наименьшим из всех равномощных, вот так и определяют иногда.

OK, спасибо.

[Lia]

Тема закрыта. Разъяснение парадокса уже дано post976397.html#p976397.
Совсем явный оффтоп отделен в «Чепуха про разности и другая чепуха»