Матрицы Паули

[Munin]

kcp в сообщении #973109 писал(а):

Я правильно понимаю, что в понятие спина, с точки зрения теории поля, надо начинать врубаться с Феймановского курса (8-ой том)?

Да.

Но это ещё понятие спина с точки зрения квантовой механики. В КМ обычно рассматривается нерелятивистский спин: 2-компонентные спиноры и матрицы Паули. В КТП работа идёт с более сложным релятивистским спином: 4-компонентные спиноры и матрицы Дирака. Кроме того, в физике элементарных частиц используются и другие группы, например, для цветов кварков - 3-компонентные величины и матрицы Гелл-Манна.

После Фейнмана хорошо бы почитать Ландау-Лифшица и Рубакова. Ну и по КТП - тоже соответствующий учебник (их много, и я не знаю, в каком это было бы особенно хорошо изложено).

[Sicker]

Еще такой вопросик, верно ли, что любую унитарную матрицу два на два с единичным определителем можно представить в виде экспоненты от антиэрмитовой матрицы с нулевым следом?

[Munin]

Sicker в сообщении #973138 писал(а):

Еще такой вопросик, верно ли, что любую унитарную матрицу два на два с единичным определителем можно представить в виде экспоненты от антиэрмитовой матрицы с нулевым следом?

Любую унитарную матрицу $n\times n$ с единичным определителем можнопредставить в виде экспоненты от антиэрмитовой матрицы с нулевым следом. Более того, для неединичного определителя и ненулевого следа определитель и след тоже связаны экспонентой.

Доказать самостоятельно. Я не помню, как доказывается. Вот в обратную сторону - хорошо понятно.

Подводный камень лежит в том, что не всегда это представление единственно. Часто бывает (ну не часто, но встречается), что таких представлений много. Это ярко высвечивается в задаче взятия корня из матрицы. Допустим, назовём $\sqrt[n]{A}$ такую матрицу, что $(\!\sqrt[n]{A})^n=A.$ Упражнения: взять квадратные корни из матриц

$$a)\quad\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad b)\quad\begin{pmatrix}-1&\hphantom{-}0\\\hphantom{-}0&-1\end{pmatrix}$$

(найти все решения). Указание: представить себе сферу вращений (как на моём рисунке в теме), и перевести понятие "квадратный корень" на геометрический язык путей. Дополнительно: сравнить с понятием "квадратный корень из комплексного числа".

-- 03.02.2015 19:17:38 --

Это продолжение разговора из темы «Матрицы Паули».

[Padawan]

В некотором ортогональном базисе унитарная матрица имеет вид $\begin{pmatrix} e^{i\varphi}&0\\ 0 & e^{i\psi}\end{pmatrix}$. Её определитель равен $e^{i(\varphi+\psi)}$, и она является экспонентой от ...

[Pphantom]

"Матрицы Паули" и "Унитарные матрицы" объединены по просьбе топикстартера.

[Munin]

Padawan
А, спасибо, как я сам не допёр. И для любой размерности найдётся базис, в котором $U=\operatorname{diag}(e^{i\varphi_1},\ldots,e^{i\varphi_n}\!).$

[Sicker]

Жесть получается. Идея была такая, эти две матрицы унитарны, так что мы можем найти антиэрмитову матрицу, экспонента от которой равна нашей матрице, и потом находим экспоненту от половинки этой антиэрмитовой матрицы
С примером а я запутался, а с б вышла такая вот жесть -

$$b)\quad\begin{pmatrix}i\sin(\frac{\pi}{2}+\pi n)\cdot \frac{c}{\frac{\pi}{2}+\pi n}&\sin(\frac{\pi}{2}+\pi n)\cdot \frac{b}{\frac{\pi}{2}+\pi n}+i\sin(\frac{\pi}{2}+\pi n)\frac{a}{\frac{\pi}{2}+\pi n}\\-\sin(\frac{\pi}{2}+\pi n)\frac{b}{\frac{\pi}{2}+\pi n}+i\sin(\frac{\pi}{2}+\pi n)\frac{a}{\frac{\pi}{2}+\pi n}&-i\sin(\frac{\pi}{2}+\pi n)\frac{c}{\frac{\pi}{2}+\pi n}\end{pmatrix},\qquad $$

, где $\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\frac{\pi}{2}+\pi n$

-- 03.02.2015, 21:47 --

ну, это множество корней матрицы с единичным определителем(а все множество будет содержит матрицы еще с определителем $-1$)

[Munin]

Так. А теперь сравните эту "жесть" с формулой post964510.html#p964510 и запишите в одну строчку :-)

[Sicker]

Я как раз ее и использовал)

[Munin]

Тогда чего записали так страшно? Можно использовать обозначения матриц Паули.

А представьте, если бы вы без этой формулы просто искали соответствующий общий вид коэффициентов матриц $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},$ а? Кстати, попробуйте для разнообразия так решить вторую.

[Sicker]

А вторая не принадлежит $SU(2)$

-- 03.02.2015, 22:46 --

А для первой будет $i\sin(\frac{\pi}{2}+\pi n)[\frac{a}{\frac{\pi}{2}+\pi n}\sigma_{1}+\frac{b}{\frac{\pi}{2}+\pi n}\sigma_{2}+\frac{c}{\frac{\pi}{2}+\pi n}\sigma_{3}]$, где $\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\frac{\pi}{2}+\pi n$

-- 03.02.2015, 22:47 --

и они вещественны

-- 03.02.2015, 22:48 --

И вообще, в разложении любой эрмитовой матрицы с нулевым(любым) следом по матрицам Паули(и плюс единичной) все коэффициенты в разложении будут вещественны, да?

[Munin]

Sicker в сообщении #973256 писал(а):

А вторая не принадлежит $SU(2)$

А, чёрт. Минус забыл. Но из неё тоже полезно попытаться посчитать квадратный корень :-) Ладно, я подразумевал $i\sigma_1$:

$$\begin{pmatrix}\hphantom{-}0&1\\-1&0\end{pmatrix}.$$

-- 03.02.2015 23:16:39 --

Sicker в сообщении #973256 писал(а):

А для первой будет $i\sin(\frac{\pi}{2}+\pi n)[\frac{a}{\frac{\pi}{2}+\pi n}\sigma_{1}+\frac{b}{\frac{\pi}{2}+\pi n}\sigma_{2}+\frac{c}{\frac{\pi}{2}+\pi n}\sigma_{3}]$, где $a^2+b^2+c^2=\frac{\pi}{2}+\pi n$

Ну вот видите, насколько красиво? Правда, здесь где-то квадраты или корни потерялись. И от ${}+\pi n$ в итоге можно избавиться.

Sicker в сообщении #973256 писал(а):

И вообще, в разложении любой эрмитовой матрицы с нулевым(любым) следом по матрицам Паули(и плюс единичной) все коэффициенты в разложении будут вещественны, да?

Да. Но если след нулевой, то единичная матрица не нужна. А если её добавить, то можно брать любой след (он будет действительным).

Матрицы Паули - это попросту базис в пространстве эрмитовых матриц с нулевым следом. Для матриц $3\times 3$ соответствующие матрицы называются матрицы Гелл-Манна. Ну-ка, не подглядывая, сколько их штук? А для $n\times n$?

[Sicker]

Munin в сообщении #973271 писал(а):

Ну вот видите, насколько красиво? Правда, здесь где-то квадраты или корни потерялись. И от ${}+\pi n$ в итоге можно избавиться.

да забыл, исправил)

Munin в сообщении #973271 писал(а):

Матрицы Паули - это попросту базис в пространстве эрмитовых матриц с нулевым следом. Для матриц $3\times 3$ соответствующие матрицы называются матрицы Гелл-Манна. Ну-ка, не подглядывая, сколько их штук? А для $n\times n$?

для эрмитовых матриц нулевого следа их восемь(не подглядывал)

-- 03.02.2015, 23:37 --

а для $n\times n$ их $n^2-1$ штук

[Munin]

Правильно :-)

[Geen]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #973271 писал(а):

А для $n\times n$?

Выглядит как очень простой вопрос - можно не понимая сути просто прикинуть кол-во параметров и связей...