Матрицы Паули

[Sicker]

Такой дурацкий вопрос по матрица Паули
Я правильно понимаю, что $\exp(i(a\hat{\sigma_{1}}}+b\hat{\sigma_{2}}}))\neq \exp(i(a\hat{\sigma_{1}}}))\exp(i(b\hat{\sigma_{2}}}))$?
Равенство не получается
И $\exp(i(a\hat{\sigma_{1}}}+b\hat{\sigma_{2}}}))=\cos(\sqrt{a^2+b^2})\hat{\sigma_{0}}+i\sin(\sqrt{a^2+b^2})(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \hat{\sigma_{1}}}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \hat{\sigma_{2}}})$

[Утундрий]

Sicker в сообщении #964510 писал(а):

Я правильно понимаю, что $\exp(i(a\hat{\sigma_{1}}}+b\hat{\sigma_{2}}}))\neq \exp(i(a\hat{\sigma_{1}}}))\exp(i(b\hat{\sigma_{2}}}))$?

Правильно понимаете. Кстати, а $\sqrt {x + y} \ne \sqrt x + \sqrt y $ вас, случаем, не удивляет?

[Sicker]

я понимаю, к чему вы клоните Утундрий

-- 18.01.2015, 22:06 --

но равенство будет, когда $\sigma_{2}\rightarrow\sigma_{1}$, в отличии от вашего примера

-- 18.01.2015, 22:07 --

а моя вторая формулца правильна?

[amon]

Sicker в сообщении #964513 писал(а):

а моя вторая формулца правильна?

Да

[Nemiroff]

Sicker в сообщении #964513 писал(а):

а моя вторая формулца правильна?

Для красоты единичной матрицы не хватает.

[Sicker]

Да-да, точно.

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #964510 писал(а):

И $\exp(i(a\hat{\sigma_{1}}}+b\hat{\sigma_{2}}}))=\cos(\sqrt{a^2+b^2})\hat{\sigma_{0}}+i\sin(\sqrt{a^2+b^2})(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \hat{\sigma_{1}}}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \hat{\sigma_{2}}})$

А проверьте при $a=b=0$

[Sicker]

Будет $\exp(i\hat{O})=\hat{I}$

[Munin]

Если хотите, есть прикольная книжка на эту тему (как брать экспоненты от операторов):
Назайкинский, Стернин, Шаталов. Методы некоммутативного анализа.

[Sicker]

Munin
Спасибо)

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #964557 писал(а):

Будет $\exp(i\hat{O})=\hat{I}$

A у Вас что справа получится? $\hat{\sigma}_0$

[Munin]

Red_Herring
$\hat{\sigma}_0\stackrel{\mathrm{def}}{=}\hat{I}$

Хотя это и очень необщепринятое обозначение (даже когда соглашаются рассматривать все четыре матрицы вместе как образующие алгебры, за единичной обычно удерживают отдельное обозначение), и я бы не рекомендовал Sicker-у им пользоваться.

-- 19.01.2015 01:51:53 --

И кстати. Когда матрицы Паули используются чисто как матрицы, над ними не ставят крышечки. Крышечка в квантовой механике используется для операторов, действующих на волновые функции / векторы состояния.

[Sicker]

а кстати, матрица $\exp(ia\sigma)$ описывает поворот сферы на угол $2a$?

[Sicker]

экспоненты матриц Паули эквивалентны кватернионам(если их расписать) с единичным модулем
Векторная часть такого кватерниона пропорциональна вектору, вокруг которого поворачивается сфера, а косинус вещественной показывает угол поворота
Переумножение дает композицию поворотов
Т.е. мы теперь умеем складывать вращения

[Munin]

Sicker в сообщении #965367 писал(а):

а кстати, матрица $\exp(ia\sigma)$ описывает поворот сферы на угол $2a$?

Не-а. Сама по себе она ничего не означает. Стрелочка в обратную сторону: если мы имеем поворот сферы на $2\alpha,$ то получится матрица $\exp(i\alpha(\vec{\sigma}\vec{n}).$

Sicker в сообщении #965455 писал(а):

Т.е. мы теперь умеем складывать вращения :-)

На самом деле, не совсем так.

Чтобы складывать вращения, их надо записать матрицами $3\times 3$ - которые суть линейные преобразования трёхмерного ортонормированного базиса нашего евклидова пространства. Эти матрицы называются собственные ортогональные, где "ортогональные" означает $O^{\mathrm{T}}O=1,$ а уточнение "собственные" фиксирует $\operatorname{det}O=1$ (чисто из ортогональности вытекает только $\operatorname{det}O=\pm 1$). Комплексный аналог ортогональных - унитарные. Чтобы понять, что такое ортогональные матрицы, удобнее всего посмотреть на них в размерности $2\times 2$ - тогда это попросту матрицы поворота

$$\begin{pmatrix}\hphantom{-}\cos\varphi&\sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix},$$

и всё множество таких матриц параметризуется всего одним параметром - углом $\varphi.$ Геометрически такие матрицы можно себе представить как "пробегающие по окружности". С увеличением размерности картинка становится сложнее: уже матрицы $3\times 3$ параметризуются целыми тремя параметрами (а в размерности $n\times n$ - параметров будет уже $n(n-1)/2$ штук, что легко доказать). Одной общей красивой формулой их все не записать, так что для начала, такими матрицами будут аналогичные матрицы поворота вокруг всех трёх осей:

$$x\colon\begin{pmatrix}1&\hphantom{-}0&0\\0&\hphantom{-}\cos\varphi&\sin\varphi\\0&-\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix},\qquad y\colon\begin{pmatrix}\cos\varphi&0&-\sin\varphi\\0&1&\hphantom{-}0\\\sin\varphi&0&\hphantom{-}\cos\varphi\end{pmatrix},\qquad z\colon\begin{pmatrix}\hphantom{-}\cos\varphi&\sin\varphi&0\\-\sin\varphi&\cos\varphi&0\\\hphantom{-}0&0&1\end{pmatrix}.$$

Кроме этого, такими матрицами будут всевозможные их произведения. Понятно, что в конечном счёте это будет вращение вокруг какой-то оси на какой-то угол, но это верно только для размерностей $2,3,$ но не выше. В механике принято все такие ортогональные матрицы параметризовать углами Эйлера, но это довольно некрасивая, "практическая" параметризация. Для вас сейчас лучше представить их себе иначе - как экспоненты. А именно, из трёх бесконечно-малых поворотов вокруг трёх осей, имеющих между собой конечные отношения, вы собираете бесконечно-малый поворот в каком-то произвольном направлении, а потом экспоненцируете - и получаете поворот на произвольный конечный угол.

Геометрически множество таких матриц $3\times 3$ можно представить себе как трёхмерную полусферу - то есть, половинку сферы со внутренней размерностью 3, "нарисованной" в четырёхмерном пространстве. Тут надо понять два момента: (1) почему "полу-" - это потому, что матрица, доходя от "Северного полюса" (поворот на нулевой угол, единичное преобразование) до "экватора" (поворот на угол $\pi$), как будто "перескакивает" на другую сторону экватора, и возвращается обратно к Северному полюсу. Такая полусфера называется ещё пространством Римана (не путать со сферой Римана в комплексных числах), или эллиптическим пространством, а топологически - она аналогична проективной плоскости. (2) Второй вопрос - что значит трёхмерная сфера, как её себе представлять. Я представляю себе "картографическую развёртку" сферы вокруг Северного полюса: представьте себе кожуру половины апельсина, или резинового мячика, и как будто вы наступили на неё ногой. И теперь - возьмём внутреннюю размерность 3. Итак, получится трёхмерный шар, соответствующий поверхности нашей полусферы, в центре у него будет Северный полюс полусферы, а везде на поверхности - экватор полусферы. Надеюсь, понятно? Теперь видно, что из Северного полюса выходят три базисных направления: начиная с отсутствия поворота, можно начать вертеться вокруг осей $x,y,z,$ - но в принципе, можно выбрать любое направление, и вертеться на любой конечный угол. На будущее, более сложно устроено в этой сфере "сложение векторов": если вы возьмёте вектор в начале координат, и понесёте его в другую точку, то он будет вертеться, так что в итоге будет указывать в другую сторону. Векторы здесь не образуют линейного пространства, а говорят, что задана связность с кручением.

Глядя на всё это со стороны матриц и матричных экспонент, можно заметить, что каждая унитарная матрица - это экспонента от антиэрмитовой матрицы: $A^+=(A^{\mathrm{T}})^*=-A,$ то есть, каждый элемент матрицы - минус комплексно сопряжённый к симметричному ему элементу относительно главной диагонали. На главной диагонали стоят чисто мнимые элементы. Каждая антиэрмитова матрица соответствует некоторой эрмитовой $A=iH.$ И таким образом, $\exp(A)=\exp(iH)=U.$ Эти множества несколько похожи на действительную ось (эрмитовы), мнимую ось (антиэрмитовы) и единичную окружность на комплексной плоскости (унитарные): вспомним заодно, что $\exp(H)=H'$ - взятие экспоненты переводит эрмитову матрицу в эрмитову, её собственные направления остаются теми же самыми, а от собственных чисел берётся экспонента. ...Чего-то меня в комплексные числа понесло. Действительные аналоги этих понятий соответствующие: каждая ортогональная матрица - это экспонента от антисимметрической матрицы. На главной диагонали стоят нули, а каждый недиагональный элемент - минус симметричный ему элемент. В размерности $3\times 3$ множество антисимметрических матриц трёхмерно, с базисом

$$\begin{pmatrix}0&\hphantom{-}0&0\\0&\hphantom{-}0&1\\0&-1&0\end{pmatrix},\qquad\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&\hphantom{-}0\\1&0&\hphantom{-}0\end{pmatrix},\qquad\begin{pmatrix}\hphantom{-}0&1&0\\-1&0&0\\\hphantom{-}0&0&0\end{pmatrix}.$$

Вот экспоненты от линейных комбинаций этого базиса и будут всевозможными матрицами поворота. Можете вывести общую формулу для них, аналогичную вашей

Sicker в сообщении #964510 писал(а):

$\exp(i(a\hat{\sigma_{1}}}+b\hat{\sigma_{2}}}))=\cos(\sqrt{a^2+b^2})\hat{\sigma_{0}}+i\sin(\sqrt{a^2+b^2})(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \hat{\sigma_{1}}}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \hat{\sigma_{2}}})$

- полезное упражнение.

Разумеется, матрицы поворота между собой некоммутативны. Всё это множество матриц поворота имеет научное название "группа $\mathrm{SO}(3)$", где $\mathrm{O}$ - "ортогональные", $\mathrm{SO}$ - "собственные ортогональные", а 3 - размерность. Такая группа имеет бесконечно много элементов и непрерывна, такие группы называются группами Ли. А матрицы Паули (сами по себе группа $\mathrm{SU}(2)$) образуют так называемое представление группы $\mathrm{SO}(3),$ то есть, такое множество, на котором элементы этой группы действуют как функции. (Обычно говорят про конкретно матрицы, на которых элементы группы действуют как линейные операторы.) Более точно, это даже двузначное представление - несколько более сложная штука. Более простые, однозначные представления группы вращений - это башня "скаляр, вектор, тензор 2 ранга, тензор 3 ранга, ...". Вот когда вы рассмотрите группу $\mathrm{SO}(3),$ вы на самом деле будете уметь складывать вращения. А кстати, бесконечно малые перемещения по группе $\mathrm{SO}(3)$ - это повороты на бесконечно малые углы, и поделив их на $dt,$ вы получаете пространство угловых скоростей - уже не столь "кривое", и совпадающее с обычным 3-мерным векторным пространством, именно поэтому угловые скорости в механике изображают векторами (но в других размерностях совпадения не будет - например, в размерности 2 пространство угловых скоростей 1-мерно). Повороты на бесконечно малые углы образуют ещё один объект с отдельным научным названием - "алгебру $\mathfrak{so}(3)$", то есть, алгебру Ли, связанную с группой Ли $\mathrm{SO}(3)$ (иногда их обозначают одинаково, и только на словах указывают, когда речь идёт о группе, а когда о соответствующей алгебре). Вот для бесконечно малых поворотов, действительно, будет $\mathfrak{su}(2)=\mathfrak{so}(3)$ - то есть, бесконечно малые повороты, выраженные действительными матрицами $3\times 3,$ и выраженные комплексными матрицами $2\times 2,$ образуют изоморфные пространства.