Догонит ли черепаха Ахиллеса?

[Grigorich]

Честно говоря, не понял в чём прикол.

Лукомор в сообщении #972559 писал(а):

Задача Зенона про Ахиллеса и черепаху представляет собой...

Это вовсе не задача! Это апория (парадокс)! У Зенона требуется разрешить парадокс, а у Вас - исчислить пройденные пути. Ничего общего, разве что имена игроков.

[VYT]

DVN
Что касается смысла этой логической уловки, то эта апория пример банальной подмены понятий: понятия бесконечного деления расстояния, на понятие времени движения.

Цитата:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Утверждение:
Процесс будет продолжаться до бесконечности – бесконечный процесс деления расстояния.

Подменяется утверждением:
Ахиллес так никогда и не догонит черепаху – время движения. Бесконечность (деления расстояния) переносится на время.

[Лукомор]

Grigorich в сообщении #972732 писал(а):

Это вовсе не задача! Это апория (парадокс)! У Зенона требуется разрешить парадокс, а у Вас - исчислить пройденные пути. Ничего общего, разве что имена игроков.

У меня - более общая постановка вопроса. И в ней нет парадокса, за исключением единственного конкретного случая, когда $l_0=D_0$.
И вот этот конкретный случай выбрал Зенон для своего парадокса.
Он говорил, пусть Ахиллес пробежит $100$ метров, тогда черепаха проползет за это время $10$ метров... и .т. д. и там возникает парадокс...
Я говорю: А вот пусть Ахиллес пробежит не $100$ метров, а $108$!
За это время черепаха проползет $10,8$ метра.
Теперь Ахиллес пробегает те же $10, 8$ метра, а черепаха за это же время - $1,08$ метра.
Уже сейчас, после двух иттераций Ахиллес впереди: он пробежал $108+10,8=118,8$ метра.
Черепаха была на $100$ метров впереди, теперь у нее $100+10,8+1,08=111,88$ метра.
Ахиллес уже впереди на $6,92$ метра.
А после суммирования бесконечного числа убывающих в геометрической прогрессии отрезков, у Ахиллеса будет пройдено
$108+10,8+1,08+...=\frac{108\cdot10}{9}=120$ метров,
а у черепахи:
$100+(10,8+1,08+0,108+...)=100+\frac{10,8\cdot10}{9}=112$ метров, и Ахиллес закончит состязание, будучи в $8$ метрах впереди черепахи. И никаких парадоксов.
Теперь другой вариант.
Пусть Ахиллес до первой контрольной точки пробежит не $100$, а только $99$ метров.
Суммируем отрезки, пробегаемые Ахиллесом:
$99+9,9+0,99+...=\frac{99\cdot10}{9}=110$ метров,
а у черепахи:
$100+(9,9+0,99+0,0,099+...)=100+\frac{9,9\cdot10}{9}=111$ метров
В этом случае, после завершения состязания, Ахиллесу не хватит $1$ метра, чтобы догнать черепаху.
И это не парадокс, Ахиллесу просто не хватило времени...
Ведь интервалы времени также убывают в геометрической прогрессии, и сумма их, к сожалению, конечна.

-- Вт фев 03, 2015 09:14:15 --

VYT в сообщении #972738 писал(а):

Утверждение:
Процесс будет продолжаться до бесконечности – бесконечный процесс деления расстояния.

Подменяется утверждением:
Ахиллес так никогда и не догонит черепаху – время движения. Бесконечность (деления расстояния) переносится на время.

Воистину так, ибо бегут Ахиллес и Черепаха, а расстояние делит на отрезки сторонний Наблюдатель, который рассуждает о бесконечности процесса деления.
Непосредственно к Ахиллесу и Черепахе эти рассуждения имеют мало отношения... Они просто бегут...

[Grigorich]

Лукомор в сообщении #972936 писал(а):

И это не парадокс, Ахиллесу...

Тогда чем Ваша тема должна заинтересовать меня или других? Ну не "арифметикой" же? Пока просматривается лишь банальное опошление и Зенона и апории, как в анекдотах про Пушкина, Василия Ивановича..

[Someone]

Grigorich в сообщении #972947 писал(а):

Пока просматривается лишь банальное опошление и Зенона и апории

Было бы что опошлять.

[Лукомор]

(Оффтоп)

Grigorich в сообщении #972947 писал(а):

Пока просматривается лишь банальное опошление и Зенона и апории, как в анекдотах про Пушкина, Василия Ивановича..

И это я еще ни слова не сказал о его (Зенона) ориентации...

-- Вт фев 03, 2015 10:39:04 --

Grigorich в сообщении #972947 писал(а):

Тогда чем Ваша тема должна заинтересовать меня или других?

Это не моя тема... Собственно и тема эта даже не про апории Зенона, исходя из ее названия: "Догонит ли черепаха Ахиллеса?".
Тема о некоторых парадоксах в теории бесконечных множеств, например, об известном парадоксе Литлвуда.
И, да, Вы же сами попросили объяснить парадокс Зенона, я Вам помог, чем мог. Не нравится? Извините!

[Grigorich]

Лукомор в сообщении #972957 писал(а):

сами попросили объяснить парадокс Зенона, я Вам помог, чем мог

Конечно, за намерение спасибо! Вот только чем?
Апория Зенона в нынешних трактовках сводится к вопросу: допустимо ли бесконечно мельчить путь (пространство/время).
В попытках осознать причинную физику принципа неопределённости в частности, я пришёл к убеждению, что существует некий предел и дальнейшее измельчение пространства невозможно. Возможную иллюстрацию процесса обгона Ахиллесом черепахи с учётом этого убеждения я приводил ранее, с вполне интригующим утверждением что А не догонит Ч.
Вполне естественно, что кто-то предложит иную картинку этого, о чём я и просил.
А теперь, каким боком мне принимать Вашу помощь?

[Лукомор]

Grigorich в сообщении #973002 писал(а):

Возможную иллюстрацию процесса обгона Ахиллесом черепахи с учётом этого убеждения я приводил ранее, с вполне интригующим утверждением что А не догонит Ч.
Вполне естественно, что кто-то предложит иную картинку этого, о чём я и просил.

То же самое...
Я уже приводил страницей ранее иную картинку, именно с учётом существования предела деления пространства, которая в моей более поздней модели сводится лишь к отбрасыванию всех членов прогрессии, которые меньше этого предела.
Вам она тоже не понравилась... Хотя там отчетливо было видно, что Ахиллес имеет один дополнительный шаг по сравнению с черепахой, и по величине этот шаг в точности равен расстоянию между Ахиллесом и черепахой. Возможно, такое решение менее интригующе, чем Ваше, зато оно более правильно.

[Deggial]

Grigorich в сообщении #973002 писал(а):

В попытках осознать причинную физику принципа неопределённости в частности, я пришёл к убеждению, что существует некий предел и дальнейшее измельчение пространства невозможно. Возможную иллюстрацию процесса обгона Ахиллесом черепахи с учётом этого убеждения я приводил ранее, с вполне интригующим утверждением что А не догонит Ч.

правила форума писал(а):

I. Нарушения и санкции
1) Нарушением считается:
...
д) ... использование бессодержательных или голословных аргументов и тезисов...

Grigorich, приводите аргументы, либо получите предупреждение.

[Grigorich]

Лукомор в сообщении #973090 писал(а):

Я уже приводил страницей ранее иную картинку, именно с учётом существования предела деления пространства, которая в моей более поздней модели сводится лишь к отбрасыванию всех членов прогрессии, которые меньше этого предела.

Это и есть "выплеснуть ребёнка вместе с водой"

[Лукомор]

Grigorich в сообщении #972947 писал(а):

Тогда чем Ваша тема должна заинтересовать меня или других? Ну не "арифметикой" же?

То-есть, к моей "арифметике" претензий нет?!
Замечательно!
Я, собственно, и не сомневался...

[вздымщик Цыпа]

Grigorich в сообщении #973002 писал(а):

Апория Зенона в нынешних трактовках сводится к вопросу: допустимо ли бесконечно мельчить путь (пространство/время).

«Мельчение» пространства и времени тут не причем. Апория Зенона сводится к тому, что считать до двух можно разными способами. Можно сосчитать раз-два и досчитать. Тут же становится скучно, нечего делать и приходится идти пьянствовать. А можно считать $1, \dfrac32, \dfrac74, \dfrac{15}8, \dots$ и развлекаться так сколь угодно долго. Печень одобряет второй способ.

[Лукомор]

вздымщик Цыпа в сообщении #973862 писал(а):

Можно сосчитать раз-два и досчитать. Тут же становится скучно, нечего делать и приходится идти пьянствовать. А можно считать $1, \dfrac32, \dfrac74, \dfrac{15}8, \dots$ и развлекаться так сколь угодно долго.

Я бы еще добавил, что в той апории считают до двух не Ахиллес, и уж тем более не черепаха, а некий сторонний наблюдатель. По сути, ответ на вопрос об исходе состязания зависит только от того, когда этот наблюдатель выключит секундомер.
Ибо на вопрос:"Догонит ли Ахиллес черепаху за $11$ секунд?!",- ответ отрицательный:"Ахиллес не догонит черепаху за $11$ секунд".
На вопрос:"Догонит ли Ахиллес черепаху за $12$ секунд?!",- ответ :"Ахиллес не только догонит черепаху за $12$ секунд, но и обгонит".
И, наконец, на вопрос:"Догонит ли Ахиллес черепаху за $11(1)$ секунд, ответ положительный:"Да, догонит, но не перегонит".
Именно этот случай рассматривал Зенон, только указанный интервал времени он задал в неявном виде, через сумму геометрической прогрессии проходимых с известной скоростью отрезков пути.
От себя добавлю еще, что рассматриваемая апория Зенона полностью эквивалентна вопросу:"Верно ли равенство $0,(9)=1$?!"
В "моей" задаче этому вопросу соответствуют начальные условия $D_0=0,9\; l_0=0,9\;k=10$.

[Лукомор]

Лукомор в сообщении #973869 писал(а):

От себя добавлю еще, что рассматриваемая апория Зенона полностью эквивалентна вопросу:"Верно ли равенство $0,(9)=1$?!"
В "моей" задаче этому вопросу соответствуют начальные условия $D_0=0,9\; l_0=0,9\;k=10$.

Кажется, я даже несколько погорячился с начальными условиями...
На самом деле, при любых $l_0=D_0$ и $k=10$ достаточно представить весь путь Ахиллеса суммой геометрической прогрессии:
$S=l_0+\sum\limits_{i=1}^{\infty}{l_0/10^i}={10\cdot l_0}/9$,
и выразить затем отдельные участки пути через $S$:
$l_0={9\cdot S}/10=0,9\cdot S$
$l_i={9\cdot S}/{10^{i+1}}$.
Суммируя вновь эти участки получаем:
$S=\sum\limits_{i=0}^{\infty}{l_i}=0,(9)\cdot S$
Окончательно:
$0,(9)\cdot S=1\cdot S$
или
$0,(9)=1$
Вот то самое секретное послание - "код Зенона" - которое дошло до нас из седой древности.

[Grigorich]

вздымщик Цыпа в сообщении #973862 писал(а):

Апория Зенона сводится к тому, что считать до двух можно разными способами.

Ну конечно же . Ради этого этой острейшей проблемы, тысячелетиями философы её пересказывали и переписывали