2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.
 
 Re: Догонит ли черепаха Ахиллеса?
Сообщение30.01.2015, 13:59 


01/07/08
836
Киев
Mihr в сообщении #970828 писал(а):
как строго перенести понятия "больше", "меньше" на бесконечные множества.

При сравнении бесконечных множеств, ещё учитывают наличие элементов, которые принадлежат только одному из множеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонит ли черепаха Ахиллеса?
Сообщение31.01.2015, 23:20 


13/09/14

114
Ростов который Папа
DVN в сообщении #970449 писал(а):
Многие помнят апорию Зенона о быстроногом Ахиллесе, который никак не догонит черепаху. Некоторые понимают, что этим хотел выразить мудрец.

И что же он хотел? Я, вот, полагаю, что сумел понять почему эта, с виду пустяшная "головоломка", жива столько веков. Я уверен, что Ахиллес не догонит черепаху :wink: , хотя слышал много про другой исход.

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонит ли черепаха Ахиллеса?
Сообщение31.01.2015, 23:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
5074
Grigorich в сообщении #972046 писал(а):
Я уверен, что Ахиллес не догонит черепаху

То есть, что мне реальность? Мир умопостигаем - и точка. А если реальность не согласуется с моими идеями, то тем хуже для неё самой (для упрямой реальности). Так, что ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонит ли черепаха Ахиллеса?
Сообщение01.02.2015, 00:52 


13/09/14

114
Ростов который Папа
Mihr в сообщении #972060 писал(а):
То есть, что мне реальность? Мир умопостигаем - и точка. А если реальность не согласуется с моими идеями, то тем хуже для неё самой (для упрямой реальности). Так, что ли?

Не надо так относиться к реальности, она сложней, гораздо сложней Ваших представлений. Да и моих тоже.
Эта апория сохранена не глупыми предшественниками вовсе не для тренировки наших мозгов. Проблема гораздо серьёзней. Насколько гладким является наше пространство-время? Вот достойная причина сохранения более двух тысяч лет этой головоломки.
А вопрос на самом деле состоит в том, можно ли бесконечно дробить отрезок пространства? Или на каком-то этапе это уже невозможно? Я лично склоняюсь к дискретности нашего пространства-времени, и поэтому утверждаю, что Ахиллес не догонит! Перегонит - да! Иначе, условно говоря, существуют два соседних кванта пространства по траектории движения Ахиллеса, на одном ещё не догнал, на другом - уже перегнал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонит ли черепаха Ахиллеса?
Сообщение01.02.2015, 02:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
А разве дискретность пространства мешает именно догнать? Черепаха и Ахилл могут бежать вдоль Вашей квантовой решётки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонит ли черепаха Ахиллеса?
Сообщение01.02.2015, 02:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
5074
Grigorich в сообщении #972074 писал(а):
А вопрос на самом деле состоит в том, можно ли бесконечно дробить отрезок пространства?

"Отрезок пространства" звучит как-то... весьма неоднозначно. Что это такое? Выделенная область в реальном пространстве? Воображаемый идеальный объект (математический отрезок), мысленно "начерченный" в пространстве? Его модель в виде тонкого стержня? Что-то ещё?
Grigorich в сообщении #972074 писал(а):
Я лично склоняюсь к дискретности нашего пространства-времени, и поэтому утверждаю, что Ахиллес не догонит! Перегонит - да!

Ну, вероятно, каждый человек к чему-то склоняется. Здесь вопрос лишь в том, каковы реальные основания для его предпочтений.
Grigorich в сообщении #972074 писал(а):
условно говоря, существуют два соседних кванта пространства по траектории движения Ахиллеса, на одном ещё не догнал, на другом - уже перегнал.

Почему именно так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонит ли черепаха Ахиллеса?
Сообщение01.02.2015, 05:23 
Аватара пользователя


22/07/08
1416
Предместья
Mihr в сообщении #972099 писал(а):
Я лично склоняюсь к дискретности нашего пространства-времени, и поэтому утверждаю, что Ахиллес не догонит! Перегонит - да!

Вот это совсем непонятно...
Давайте включим фотофиниш!
Пусть скорость Ахиллеса в 10 раз больше скорости черепахи.
И пусть они уже пробежали столько, что расстояние между ними 100 "квантов" пространства.
Размерами А. и Ч. пренебрегаем, все "кванты" пространства одинаковы.
Теперь, Ахиллес пробегает эти 100 квантов, черепаха "пробегает" 10 квантов.
Ахиллес пробегает 10 квантов, черепаха "пробегает" 1 квант.
Теперь внимание!
Ахиллес пробегает этот 1 квант, а черепаха за это время сдвигается только на 1/10 кванта, т.е. с точностью до кванта,
в котором они оба и остаются дальше Ахиллес догнал Черепаху, ибо остаток пути для Ахиллеса составляет 1/9 кванта, а для черепахи 1/90 кванта.
Соревнование окончено, победила дружба!

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонит ли черепаха Ахиллеса?
Сообщение01.02.2015, 10:07 


13/09/14

114
Ростов который Папа
gris в сообщении #972095 писал(а):
А разве дискретность пространства мешает именно догнать? Черепаха и Ахилл могут бежать вдоль Вашей квантовой решётки.

Представление пространства в виде некоей стабильной решётки имхо весьма неудачная модель. Но даже при такой идеализации, вероятность одномигового попадания обеих математических точек на один узел решетки крайне низка. А если хоть чуть-чуть отойти от этой математики, то вообще нереально.

-- 01.02.2015, 10:55 --

Mihr в сообщении #972099 писал(а):
"Отрезок пространства" звучит как-то... весьма неоднозначно.

Это не важно. Важно то, что Вы прекрасно поняли о чём речь, и в чём суть проблемы.
Mihr в сообщении #972099 писал(а):
Почему именно так?

Лукомор в сообщении #972107 писал(а):
Размерами А. и Ч. пренебрегаем, все "кванты" пространства одинаковы.

В принципе я уже ответил выше. Добавлю лишь в условностях чуть. Если представить себя в абсолютном пространстве, то наблюдали бы наше реальное физическое пространство как периодическое появление в нём "точек А и Ч". Не уверен что синхронно и синфазно, но всегда в разных местах и никогда одномигово и в одном месте.. Повторюсь, это условное представление и критику по использованным терминам не приму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонит ли черепаха Ахиллеса?
Сообщение01.02.2015, 11:55 
Аватара пользователя


22/07/08
1416
Предместья
Grigorich в сообщении #972139 писал(а):
Но даже при такой идеализации, вероятность одномигового попадания обеих математических точек на один узел решетки крайне низка

То-есть, вероятность того, что Ахиллес наступит на черепаху пренебрежимо мала?

-- Вс фев 01, 2015 10:58:56 --

Grigorich в сообщении #972139 писал(а):
Но даже при такой идеализации, вероятность одномигового попадания обеих математических точек на один узел решетки крайне низка.

Вообще не вопрос.
Пусть они бегут не строго друг за другом, а по параллельным "дорожкам" стадиона.
Обязательно наступит момент, когда они окажутся на равном удалении от начала дорожек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонит ли черепаха Ахиллеса?
Сообщение01.02.2015, 12:54 


13/09/14

114
Ростов который Папа
Лукомор в сообщении #972157 писал(а):
Пусть они бегут не строго друг за другом, а по параллельным "дорожкам" стадиона.
Обязательно наступит момент, когда они окажутся на равном удалении от начала дорожек.

Не наступит! Как Вы представляете "момент"? Вы уверены, к примеру, что этот момент обязательно придётся на миг актуализации и Ч и А? Как можно оценивать скважность проявления мигов? Ну не 100% во всяком..

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонит ли черепаха Ахиллеса?
Сообщение01.02.2015, 13:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
5074
Grigorich в сообщении #972139 писал(а):
Вы прекрасно поняли о чём речь, и в чём суть проблемы.

Не-а. Я даже не знаю, что Вы считаете проблемой. И, тем паче, как конкретно Вы себе представляете "квантованное пространство".
Grigorich в сообщении #972139 писал(а):
Если представить себя в абсолютном пространстве...

И что такое "абсолютное пространство" в Вашем понимании, мне остаётся только гадать.
Grigorich в сообщении #972139 писал(а):
критику по использованным терминам не приму

Да пожалуйста. Но если Вы оперируете терминами, смысл которых не можете объяснить, то и обсуждать, как будто, нечего...

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонит ли черепаха Ахиллеса?
Сообщение01.02.2015, 18:44 


13/09/14

114
Ростов который Папа
Mihr в сообщении #972177 писал(а):
Не-а. Я даже не знаю, что Вы считаете проблемой.

В таком случае это и есть проблема. Ваша.
Mihr в сообщении #972177 писал(а):
И, тем паче, как конкретно Вы себе представляете "квантованное пространство".

Конкретно - никак. Перестаньте искать халяву. Напрягитесь и "представьте оное" самостоятельно.
Я не презентую какую-либо стройную теорию, а исключительно лишь иллюстрирую возможную альтернативу представлениям пространства как нечто гладкому и непрерывному. Именно об этом и апория Зенона.
Mihr в сообщении #972177 писал(а):
Но если Вы оперируете терминами, смысл которых не можете объяснить, то и обсуждать, как будто, нечего...

Обсуждать стоит лишь саму апорию. Если кто-либо предложит иное её разрешение, или "приземлит" мои иллюстрации буду считать своё появление здесь удачным :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонит ли черепаха Ахиллеса?
Сообщение01.02.2015, 22:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
5074
Grigorich в сообщении #972288 писал(а):
В таком случае это и есть проблема. Ваша.

Не преувеличивайте. Не так уж для меня важно понимать Ваши образы... :D
Grigorich в сообщении #972288 писал(а):
Перестаньте искать халяву.

Не искал.
Grigorich в сообщении #972288 писал(а):
Обсуждать стоит лишь саму апорию.

Да, но обсуждение имеет смысл лишь тогда, когда используемая терминология понятна каждому. А в данном случае я не уверен, понимаете ли Вы сами, о чём говорите. (Например, что такое Ваше "абсолютное пространство", думаю, Вы и сами плохо представляете. Но это, разумеется, лишь моё мнение.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонит ли черепаха Ахиллеса?
Сообщение02.02.2015, 01:31 


13/09/14

114
Ростов который Папа
Mihr в сообщении #972362 писал(а):
Не так уж для меня важно понимать Ваши образы

Если только мои - то безусловно!
Mihr в сообщении #972362 писал(а):
Например, что такое Ваше "абсолютное пространство", думаю, Вы и сами плохо представляете.

Не стану Вас переубеждать, поскольку не ставил себе цель ввести определение такового.
...А вообще последние тексты- пустой перебрёх, увы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонит ли черепаха Ахиллеса?
Сообщение02.02.2015, 16:32 
Аватара пользователя


22/07/08
1416
Предместья
Grigorich в сообщении #972288 писал(а):
Обсуждать стоит лишь саму апорию. Если кто-либо предложит иное её разрешение...

"А чего сразу Лукомор?!"
(с) Лукомор :P
_________________
Ладно, так и быть, открою Вам страшный секрет.
Задача Зенона про Ахиллеса и черепаху представляет собой всего лишь частный случай более общей задачи Лукомора про Ахиллеса и черепаху...
Поскольку ссылки на другие сайты здесь не очень приветствуются, изложу кратенько ее формулировку и решение здесь.
____________
Задача Лукомора:
Ахиллес и черепаха, скорости которых c момента старта и до момента финиша постоянны, и относятся, как $k=V_A/V_T$, в момент старта находятся на расстоянии $D_0$ друг от друга, причем черепаха впереди.
Через некоторое время $t_0$ после старта, которое выбирает Наблюдатель (Арбитр, Рефери), он же фиксирует расстояние $l_0=V_A\cdot t_0$, которое за это время пройдет Ахиллес, соответственно черепаха проползет за это время расстояние $l_0/k$.
Далее, Наблюдатель фиксирует положение Ахиллеса и черепахи в те моменты, когда Ахиллес пройдет расстояние в $k$ раз меньшее, чем на предыдущем этапе.
Вопрос: Догонит ли Ахиллес черепаху?!
_____________
Решение: Длина всего пути, пройденного Ахиллесом есть сумма геометрической прогрессии с первым членом $l_0=V_A\cdot t_0$ и знаменателем $q=1/k$.
$l_A=l_0/(1-q)=k\cdot l_0/(k-1)$
Длина всего пути, пройденного черепахой в $k$ раз меньше:
$l_T=l_0/(k-1)$.
Время, прошедшее от старта до финиша:
$t=t_0/(1-q)=k\cdot t_0/(k-1)$
Расстояние между черепахой и Ахиллесом после завершения состязания:
$D_t=D_0+l_T-l_A=D_0+l_0/(k-1)-k\cdot l_0/(k-1)=D_0-l_0$
Если $D_t<0$ Ахиллес обгонит черепаху, если $D_t>0$ Ахиллес не догонит черепаху.
В частном случае, при $l_0=D_0$, получается задача Зенона, и, поскольку здесь $D_t=0$, Ахиллес догонит черепаху, но не перегонит ее.
________________
Примечание: Поскольку $l_0$ выбирает Наблюдатель, исход состязания полностью зависит от его выбора.
Пару числовых примеров:
1.
$k=10\, D_0=100\, l_0=99$
Ахиллес пробегает всего
$l_A=k\cdot l_0/(k-1)=110$ метров
Черепаха
$l_T=l_0/(k-1)=11$ метров.
Ахиллес отстал на
$D_t=D_0-l_0=1$ метр за
$t=k\cdot t_0/(k-1)=11$ секунд.
2.
$k=10\, D_0=100\, l_0=108$
Ахиллес пробегает всего
$l_A=k\cdot l_0/(k-1)=120$ метров
Черепаха
$l_T=l_0/(k-1)=12$ метров.
черепаха отстала на
$D_t=D_0-l_0=- 8$ метров за
$t=k\cdot t_0/(k-1)=12$ секунд.
3.(Задача Зенона).
$k=10\, D_0=100\, l_0=100$
Ахиллес пробегает всего
$l_A=k\cdot l_0/(k-1)=111,(1)$ метров
Черепаха
$l_T=l_0/(k-1)=11,(1)$ метров.
Ахиллес догнал черепаху, т.к.
$D_t=D_0-l_0=0$ за
$t=k\cdot t_0/(k-1)=11,(1)$ секунд.
Победила дружба! :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 129 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group