Внешние треугольники

[Alex_J]

Такая вот задачка родилась.



Возьмём произвольный треугольник (чёрный) и продлим каждую из его сторон по прямой, образованной её концами, ещё на длину стороны. Причём это можно сделать в обе стороны. Вправо от центра треугольника продления красного цвета, влево - синего. И получившиеся внешние точки мы соединяем в два треугольника по цветам, "правый" и "левый" треугольники.

Я назвал для простоты эти два треугольника внешними.

Моделирование показывает, что площади красного и синего внешних треугольников всегда равны, но сами треугольники в общем случае не являются даже подобными. И как доказать равенство площадей - интересная задачка.

Простым расчётом сторон это не решается. Ниже - длины сторон красного (с одним штрихом) и синего (с двумя штрихами) треугольников.

$a'=\sqrt{6a^2+3b^2-2c^2}$
$b'=\sqrt{6b^2+3c^2-2a^2}$
$c'=\sqrt{6c^2+3a^2-2b^2}$

$a''=\sqrt{6a^2+3c^2-2b^2}$
$b''=\sqrt{6b^2+3a^2-2c^2}$
$c''=\sqrt{6c^2+3b^2-2a^2}$

-- 31.01.2015, 02:56 --

Также, называя чёрный треугольник внутренним, зададимся вопросом о единственности (и способе построения) внутреннего треугольника для любого заданного (их будет как минимум два), а также о нахождении треугольника $a''b''c''$ по заданному $a'b'c'$, если, конечно, внутренних при этом возможно всего два, и мы выбираем один из них.

[Aritaborian]

Alex_J в сообщении #971485 писал(а):

Простым расчётом сторон это не решается.

Решается. И выходит, что $S'=S''=7S$.

[Alex_J]

Aritaborian

Расчёт?

[Aritaborian]

Героном.

[Alex_J]

Aritaborian

Через вид с 4мя степенями... увидел.

-- 31.01.2015, 03:57 --

Причём площадь каждого из трёх треугольников-"надстроек" (например со сторонами $2b$, $a$, $b'$) равна $2S$.

[Aritaborian]

Ага.

[Alex_J]

Если точки треугольника обозначить $A, B, C$, а точки, порождённые продлением сторон из каждой из точек, соответственно, со штрихами (и тогда внешние треугольники обозначаются $A'B'C'$ и $A''B''C''$), то имеется равенство треугольников $AA'A''=BB'B''=CC'C''=ABC$.

-- 31.01.2015, 04:14 --

И внешний шестиугольник достраивается отрезками, образующими подобные треугольники к исходному, с длинами соответственно $B''C'=2a$, $C''A'=2b$, $A''B'=2c$.

[nnosipov]

Alex_J в сообщении #971485 писал(а):

И как доказать равенство площадей - интересная задачка.

Это стандартная аффинная задача. Легко проверяется механически на основе того, что площадь треугольника --- это определитель.

[Alex_J]

-- 31.01.2015, 04:40 --

Зато, рассматривая как систему выражения для сторон "правого внешнего" треугольника $a', b', c'$ и решая её относительно $a, b, c$, получаем
$a=\frac 1 7 \sqrt{6a'^2+3c'^2-2b'^2}$
$b=\frac 1 7 \sqrt{6b'^2+3a'^2-2c'^2}$
$c=\frac 1 7 \sqrt{6c'^2+3b'^2-2a'^2}$
Это стороны внутреннего треугольника для заданного. За исключением коэффициента, это один в один выражения для "левого внешнего" треугольника. Симметрия при решении системы для сторон "левого внешнего" - получение выражения, похожего на оные для "правого внешнего", с коэффициентом $\frac 1 7$, очевидна.

-- 31.01.2015, 04:57 --

При $a=b=c$ внешние треугольники равны, и $a'=b'=c'=\sqrt 7 a$. Зелёный шестиугольник при этом становится симметричным относительно поворота на $\frac{2\pi}{3}$. И становится очевидным, что у двух одинаковых треугольников внутренний тоже различается по своему свойству... ну, "спина", что ли. Т.е. и внутренних может быть два треугольника, "правый" и "левый". Хотя это не может быть доказательством.

[Alex_J]

Центры всех трёх рассматриваемых треугольников совпадают.

Точки пересечения серединных треугольников внешних треугольников лежат на прямых, являющихся продолжениями медиан исходного треугольника. На этих же прямых ещё лежат по две точки пересечения самих внешних треугольников, а также середины коротких сторон шестиугольника.

Середины длинных сторон зелёного шестиугольника (т.е. имеющих длины $2a$, $2b$, $2c$) образуют треугольник, подобный серединному треугольнику заданного, их стороны параллельны, и на серединах сторон этого треугольника лежат вершины заданного.

-- 31.01.2015, 05:51 --

Ну вот и найден алгоритм построения внутреннего треугольника для заданного.

1. Дан треугольник.
2. Строим его медианы и серединный треугольник.
3. Ставим точки пересечения медиан со сторонами серединного треугольника.
4. Проводим прямые, проходящие через эти точки пересечения и вершины исходного треугольника, причём есть две вершины на выбор: "левая" и "правая". Выбираем только одну из двух каждый раз.
5. Точки пересечения этих прямых дают нам внутренний треугольник.
6. Выбираем вместо "правой" вершины "левую" в п. 4, или наоборот, и получаем второй внутренний треугольник.

[Aritaborian]

Alex_J в сообщении #971525 писал(а):

Центры всех трёх рассматриваемых треугольников совпадают.

Какие именно центры? Центроиды?

[INGELRII]

Деццкая задачка. Легко доказывается равенство площадей, скажем, треугольников $C``CB``$ и $C`CA`$. Углы при вершине $C$ у них равны, а значит, отношение их площадей равно произведению отношений сторон, а оно равно два умножить на одну вторую.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Alex_J
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

[Alex_J]

Aritaborian в сообщении #971527 писал(а):

Центроиды?

Да.

-- 31.01.2015, 16:39 --

А тем временем найдены барицентрические координаты внутренних треугольников.

Правый:

$$((\frac 1 7, \frac 4 7, \frac 2 7), (\frac 2 7, \frac 1 7, \frac 4 7), (\frac 4 7, \frac 2 7, \frac 1 7))$$

Левый:

$$((\frac 1 7, \frac 2 7, \frac 4 7), (\frac 4 7, \frac 1 7, \frac 2 7), (\frac 2 7, \frac 4 7, \frac 1 7))$$

[ИСН]

Красивая конструкция. Раз уж всё известно, то подумаем дальше:
1. Если у тр-ка взять внутренний левый, у того опять внутренний левый, у того снова, и т.д., то к какой точке мы устремимся в пределе?
2. А форма треугольника будет меняться как (это актуально в обе стороны - не в смысле право и лево, а в смысле наружу и внутрь)? Будет стремиться к какой-то предельной? К равностороннему, может быть? Ну ладно, но это в одну сторону (какую, кстати), а в другую как?