2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Внешние треугольники
Сообщение31.01.2015, 15:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11485
Казань
ИСН в сообщении #971709 писал(а):
Будет стремиться к какой-то предельной? К равностороннему, может быть?
Вряд ли, ведь задача аффинная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешние треугольники
Сообщение31.01.2015, 16:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13176
с Территории
Ну так что с того? Мы видим, что в общем случае внешний треугольник даже не подобен внутреннему, что у него другая форма. А у его внешнего она какая? Другая другая. А дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешние треугольники
Сообщение31.01.2015, 16:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11485
Казань
ИСН
Пока не знаю. Просто вся конструкция сохраняется при аффинных преобразованиях. А равносторонность -- не аффинное свойство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешние треугольники
Сообщение31.01.2015, 16:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13176
с Территории
А, ну да. Ещё загадочнее. Так что же будет делать эта форма? :?: :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешние треугольники
Сообщение31.01.2015, 17:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11485
Казань
Она будет описывать некоторый эллипс. Я построила несколько (15) внешних треугольников. Каждый раз масштабировала (делила на $\sqrt 7$). Вот что получилось:
http://radikal.ru/f/s018.radikal.ru/i523/1501/91/6a7967d85ebe.jpg.html
(вставить саму картинку что-то не получилось)
Начальный треугольник имел координаты $(1,0), (0,1), (-1,-1)$. Новые треугольники получаются как бы вращением исходного. Причем "в несколько слоев"

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешние треугольники
Сообщение31.01.2015, 17:14 
Аватара пользователя


14/08/12
264
ИСН в сообщении #971709 писал(а):
Красивая конструкция. Раз уж всё известно, то подумаем дальше:
1. Если у тр-ка взять внутренний левый, у того опять внутренний левый, у того снова, и т.д., то к какой точке мы устремимся в пределе?
2. А форма треугольника будет меняться как (это актуально в обе стороны - не в смысле право и лево, а в смысле наружу и внутрь)? Будет стремиться к какой-то предельной? К равностороннему, может быть? Ну ладно, но это в одну сторону (какую, кстати), а в другую как?


1. К центру. Центроиду, как уже просили уточнить.
2. Два одноуровневых треугольника (придётся такое слово ввести: левый и правый внутренние или же внешние треугольники для заданного - одноуровневые) - не подобны друг другу. Так же как внутренний или внешний не подобны заданному. Тут можно проверить отношениями сторон исходного и внутреннего:

Если $\frac{a}{b}$ ближе к единице, чем $\frac{a'}{b'}$, то да, стремится к равностороннему. Аффинность, всё-таки, требует равенства соотношений. Но тут явно преобразования похожи на квадратичные.

provincialka

Это эллипсы Штейнера.

Изображение
Вот картинка.

Преобразование "наружу"*"масштаб $\sqrt 7$" порождает множество треугольников с теми же самыми эллипсами. Можно ожидать, что последовательность никогда не повторится. Но получаем ли мы множество всех возможных треугольников для одной и той же пары эллипсов Штейнера?.. Скорее всего нет, т.к. это должно быть несчётное множество, а у нас счётно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешние треугольники
Сообщение31.01.2015, 17:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11485
Казань
Alex_J
Да, для равностороннего треугольника получаются окружности. Проверяется счетом.

Alex_J в сообщении #971736 писал(а):
Если $\frac{a}{b}$ ближе к единице, чем $\frac{a'}{b'}$, то да, стремится к равностороннему.

Это не очень поняла. Если взять равносторонний случай, треугольники получаются поворотом на угол с косинусом $\dfrac{2}{5\sqrt7}$. Разве этот угол рационально-кратен $\pi$?
Вращение треугольников будет происходить бесконечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешние треугольники
Сообщение31.01.2015, 17:28 
Аватара пользователя


14/08/12
264
provincialka

Уже ясно, что не стремится к равностороннему. :)

-- 31.01.2015, 18:45 --

Явно существуют соотношения сторон, при которых эти треугольники повторяются после $N$ итераций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешние треугольники
Сообщение31.01.2015, 19:44 
Аватара пользователя


14/08/12
264
Есть здесь ещё один очень интересный момент.

Пусть задан треугольник $T_0$. У него есть два внутренних треугольника: $t_0$ и $t_1$. У каждого из них, в свою очередь, имеется ещё по одному внешнему треугольнику, $T_1$ и $T_{-1}$, и так далее, вот схема цепочки преобразований:

$$
\xymatrix{
&& T_{-1} \ar@{->}[dl] && T_0\ar@{->}[dl] \ar@{->}[dr] &&T_1 \ar@{->}[dr] \\
& ... && t_0 \ar@{->}[ul] && t_1 \ar@{->}[ur] && ... \\
}
$$

Замкнута и конечна ли эта цепочка или же бесконечна?

Моделирование показывает, что рисуется такое же множество треугольников между эллипсами Штейнера:

Изображение
На рисунке несколько уровней треугольников, сгенерированных по цепочке IntRight->ExtLeft->...

То есть, ответ - цепочка бесконечна и не повторяется. Опять-таки, при определённых соотношениях сторон будет повторяться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешние треугольники
Сообщение31.01.2015, 19:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13176
с Территории
"Свободная группа", что ли?
Погодите. Если взять от треугольника левый внешний, от него правый внешний, от него левый внутренний, а от него правый внутренний (порядок важен) - мы вернёмся откуда начали, или, вообще говоря, нет?

-- менее минуты назад --

Alex_J в сообщении #971746 писал(а):
Явно существуют соотношения сторон, при которых эти треугольники повторяются после $N$ итераций.

Аффинный факир пил аффинное кофе! Растянем картинку, чтобы треугольник превратить в равносторонний. Все его потомки останутся потомками. Значит что? Либо повторы будут всегда, либо никогда. Больше похоже, что никогда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешние треугольники
Сообщение31.01.2015, 20:38 
Аватара пользователя


14/08/12
264
ИСН

Хе хе. :)
Повторов никогда не будет. Повороты после пары преобразований левый внешний - правый внутренний (или наоборот, неважно) не зависят от соотношения сторон. Пока что всё этоя вижу при моделировании, но и доказать строго это не мешало бы.

Преобразования-то наши внутрь-наружу не аффинные сами по себе.

(Оффтоп)

А кофе он аффинный.


-- 31.01.2015, 21:43 --

ИСН в сообщении #971910 писал(а):
Если взять от треугольника левый внешний, от него правый внешний, от него левый внутренний, а от него правый внутренний (порядок важен) - мы вернёмся откуда начали, или, вообще говоря, нет?


С обратимостью и перестановкой операторов местами у преобразования всё в порядке.

Но вот тот угол, вычисленный provincialka-й, $\arccos\dfrac{2}{5\sqrt7}$, остаётся. Он только меняется при растяжениях треугольника, но меняется так, что результат тот же, т.е. там на эллипсе углы искажаются, но вместе с факиром. ))

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешние треугольники
Сообщение31.01.2015, 20:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13176
с Территории
Alex_J в сообщении #971928 писал(а):
Повторов никогда не будет.
Так, хорошо.
Alex_J в сообщении #971928 писал(а):
Повороты после пары преобразований левый внешний - правый внутренний (или наоборот, неважно) не зависят от соотношения сторон.
Само собой (в силу той же аффинности; она не там, где Вы говорите, что её нет), но спросил-то я про другое.

-- менее минуты назад --

Alex_J в сообщении #971928 писал(а):
С обратимостью и перестановкой операторов местами у преобразования всё в порядке.
Я в жизни видел несколько преобразований, у которых с этим было всё в порядке, только у всех по-разному. Как, скажите же наконец?

-- менее минуты назад --

Всё, сам проверил: да, коммутируют.
Ладно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешние треугольники
Сообщение31.01.2015, 21:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11485
Казань
Alex_J в сообщении #971746 писал(а):
Явно существуют соотношения сторон, при которых эти треугольники повторяются после $N$ итераций.

Alex_J в сообщении #971928 писал(а):
Преобразования-то наши внутрь-наружу не аффинные сами по себе.

Почему? Что там неаффинного? Откладываются равные отрезки на прямой, все вполне аффинно. В определенной системе координат (где треугольник равносторонний) преобразование есть поворот с растяжением, так что все они перестановочны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешние треугольники
Сообщение31.01.2015, 22:05 
Аватара пользователя


14/08/12
264
Прямые, на которых лежат стороны внутреннего треугольника, делят стороны исходного в соотношении $1:2$, т.е. более короткая часть стороны относится к целой как $1:3$. Таким образом, построить внутренний треугольник стало ещё проще. Но также можно сформулировать более общий подход к построению внутренних треугольников. Пусть из вершины треугольника на противоположную сторону опускается отрезок, назовём его несущим, делящий её в отношении к длине стороны как $1:\kappa$, $\kappa\geq 2$. Три таких несущих отрезка, построенных из каждой из вершин, на пересечениях образуют вершины внутреннего треугольника, которому назначим параметр сечения сторон, то самое $\kappa$. На несущих отрезках располагаются стороны внутреннего треугольника, т.е. "несут" их. При $\kappa=2$ несущие отрезки совпадают с медианами заданного треугольника, и и внутренний треугольник вырождается в точку в центроиде. Вблизи 2 его стороны почти параллельны медианам. По мере увеличения $\kappa$ внутренний треугольник поворачивается, и при $\kappa\to\infty$ стремится совпадать с заданным.

В зависимости от того, в какую сторону от медианы отмерен угол между медианой и несущим отрезком, если смотреть со стороны... стороны)), т.е. вершина, лежащая на несущем, "дальше" или "сверху", внутренний треугольник и называется левым или правым.

Для случая, с которым мы работали с самого начала темы, повторю, $\kappa=3$.

Площадь внутреннего треугольника с параметром сечения сторон $\kappa$ равна
$$S_\kappa=S\frac{\kappa^2-4\kappa+4}{\kappa^2-\kappa+1}$$

При $\kappa=3$, проверяем, получаем $\dfrac S 7$.

-- 31.01.2015, 23:08 --

ИСН

Вот и славно, что проверили.

provincialka

Всё уже уяснено, и про иррациональную величину поворота (к $\pi$), и про аффинность, всё уже в порядке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешние треугольники
Сообщение31.01.2015, 23:51 
Аватара пользователя


14/08/12
264
Ну и напоследок осталось выяснить, как в общем случае строить внешний треугольник для произвольного $\kappa$. Для начала, вот как выглядят барицентрические координаты внутреннего треугольника ($\lambda=\kappa^2-\kappa+1$):

$$\begin{cases}
(1-\dfrac\kappa \lambda; \dfrac 1 \lambda; \dfrac {\kappa-1} \lambda)\\
(\dfrac 1 \lambda; \dfrac {\kappa-1} \lambda;1-\dfrac\kappa \lambda)\\
(\dfrac {\kappa-1} \lambda;1-\dfrac\kappa \lambda; \dfrac 1 \lambda)
\end{cases}\eqno(1)$$

Удивительно простые выражения получились для координат точек внешнего треугольника $DEF$, такого, что в его барицентрической системе точки треугольника $ABC$ имеют те же координаты, что и точки внутреннего треугольника с параметром $\kappa$:

$$D=(\frac{\kappa x_A-x_A-x_B}{\kappa-2},\frac{\kappa y_A-y_A-y_B}{\kappa-2})$$ $$E=(\frac{\kappa x_B-x_B-x_C}{\kappa-2},\frac{\kappa y_B-y_B-y_C}{\kappa-2})$$ $$F=(\frac{\kappa x_C-x_C-x_A}{\kappa-2},\frac{\kappa y_C-y_C-y_A}{\kappa-2})$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group