Общее решение ур-ий Максвелла в пустоте.

[Roxkisabsver]

Red_Herring
Спасибо большое. Теперь разобрался. Еще раз убеждаюсь в том что вещи которые кажутся сложными в сути своей просты.

Munin
Вам тоже большое спасибо.

Теперь, насколько я понимаю, мне нужно сказать чем отличается $k^{\mu}$ от $k_{\mu}$ ?

Насколько я понимаю, это их связь через метрический тензор: $k_{\mu}=g_{\mu\nu}k^{\mu}$, т.е. $k^{\mu}=(\omega,k^1,k^2,k^3)$, а $k_{\mu}=(\omega,-k^1,-k^2,-k^3)$.

Хотя естественно я что-то напутал.

[Red_Herring]

Roxkisabsver в сообщении #970375 писал(а):

Насколько я понимаю, это их связь через метрический тензор: $k_{\mu}=g_{\mu\nu}k^{\mu}$, т.е. $k^{\mu}=(\omega,k^1,k^2,k^3)$, а $k_{\mu}=(\omega,-k^1,-k^2,-k^3)$.

Хотя естественно я что-то напутал.

Всё-таки, чему равен $g_{\mu\nu}k^{\mu}$?

[Roxkisabsver]

Цитата:

Всё-таки, чему равен $g_{\mu\nu}k^{\mu}$?

Насколько я понимаю здесь всё просто: $g_{\mu\nu}k^{\mu}=\omega-k^1-k^2-k^3$

[Munin]

Roxkisabsver в сообщении #970375 писал(а):

Вам тоже большое спасибо.

Теперь, насколько я понимаю, мне нужно сказать чем отличается $k^{\mu}$ от $k_{\mu}$ ?

Мдя.

Вам нужно прочитать "Теорию поля" первую главу, и поупражняться немного в технике.

Roxkisabsver в сообщении #970375 писал(а):

Насколько я понимаю, это их связь через метрический тензор: $k_{\mu}=g_{\mu\nu}k^{\mu}$...

Ошибка идёт в этой формуле: смотрите, справа у вас индексы $\mu$ "спарены":
$k_{\mu}=g_{\underline{\mu}\nu}k^{\underline{\mu}}$
- и значит, они "немые", и подразумевают знак суммирования по $\mu,$ а значит, у всего выражения в целом - нет индекса $\mu$! А слева он есть:
$k_{\underline{\mu}}=g_{\mu\nu}k^{\mu}$
- непорядок. С другой стороны, справа есть "неспаренный" индекс $\nu$:
$k_{\mu}=g_{\mu\underline{\nu}}k^{\mu}$
- то есть, он "свободный", и поэтому является индексом у всего выражения в целом, а слева у выражения этого индекса нет!

Давайте ещё проще. Когда мы пишем выражение с индексами, типа $a_\mu,$ мы подразумеваем на самом деле четыре выражения: $a_0,a_1,a_2,a_3.$ Так что, когда мы пишем равенство таких выражений, мы должны как-то указать, кто чему равен:

$$\begin{gathered}a_\mu=b_\nu\qquad a_0,a_1,a_2,a_3\stackrel{?}{=}b_0,b_1,b_2,b_3\\\text{но}\\\begin{array}{c@{}c@{}c}a_\mu=b_\mu&\qquad&a_0=b_0\\&&a_1=b_1\\&&a_2=b_2\\&&a_3=b_3\\\end{array}\end{gathered}$$

Так понятно? Теперь понятно, что "свободные" индексы слева и справа должны быть одни и те же?

Теперь, если мы пишем выражение с повторяющимися индексами, то мы подразумеваем знак суммирования, то есть, уже не четыре выражения, а одно:

$$a_\mu b^\mu\equiv\sum\limits_{}^{}a_\mu b^\mu\quad=\quad a_0 b^0+a_1 b^1+a_2 b^2+a_3 b^3.$$

Поэтому, в этом выражении уже не остаётся "наружу" никакого индекса $\mu,$ чтобы его чему-то приравнять, и приравнять такое выражение можно только скаляру (без индексов):

$$\begin{gathered}c_\mu=a_\mu b^\mu\qquad c_0,c_1,c_2,c_3\stackrel{?}{=}a_0 b^0+a_1 b^1+a_2 b^2+a_3 b^3\\\text{но}\\c=a_\mu b^\mu\qquad c=a_0 b^0+a_1 b^1+a_2 b^2+a_3 b^3\end{gathered}$$

Это тоже понятно?

И теперь, те же самые правила действуют для любого количества индексов с разными именами:

$$A^\lambda_{\mu\nu} b^{\,\rho} C^\mu_{\rho\sigma}=D_{\nu\sigma} e f^\lambda+G^{\lambda\tau}_{\nu\sigma}h_\tau$$

(выражения по обе стороны имеют индексы ${}^\lambda_{\nu\sigma},$ а все остальные индексы "спарены" в пределах одного члена).

-- 29.01.2015 17:09:15 --

Roxkisabsver в сообщении #970401 писал(а):

Насколько я понимаю здесь всё просто: $g_{\mu\nu}k^{\mu}=\omega-k^1-k^2-k^3$

Слева у вас стоит вектор: индексы $\mu$ "спаренные" и "немые", но индекс $\nu$ "неспаренный" и "свободный", и значит, слева набор из четырёх разных величин: $g_{\mu 0}k^{\mu},g_{\mu 1}k^{\mu},g_{\mu 2}k^{\mu},g_{\mu 3}k^{\mu}.$ (Индекс снизу, так что это ковариантный вектор.)

А справа вы пишете скаляр: $\omega-k^1-k^2-k^3$ - здесь вообще нет никаких "свободных" индексов, и даже нет перечисления компонент вектора в скобочках, типа $(a,b,c,d).$

И что это за скаляр? Разве он инвариантен относительно преобразований системы координат? Нет, конечно. Возьмите обычный вектор на координатной плоскости, запишите для него величину $v_x+v_y,$ и поверните плоскость - ерунда же получится. Это совсем не то же самое, что, например, квадратичное выражение $v_x^2+v_y^2$ (я его пишу для примера, это не подсказка для того, что должно получиться у вас).

[Roxkisabsver]

Munin
Тогда я все это понимаю как: $k_{\mu}=g_{\mu\nu}k^{\nu}=g_{\mu 0}k^{0}+g_{\mu 1}k^{1}+g_{\mu 2}k^{2}+g_{\mu 3}k^{3}$

Таким образом я убрал индекс $\nu$. Теперь, справа стоит скаляр, а слева вектор. Но(надеюсь я правильно говорю), каждая компонента вектора слева находится подстановкой в индекс числа. Причем поскольку $g_{\mu\nu}$ диагональная матрица, то выходит все очень просто:

$k_{0}=g_{0 0}k^{0}+g_{0 1}k^{1}+g_{0 2}k^{2}+g_{0 3}k^{3}=k^{0}$

$k_{1}=g_{1 0}k^{0}+g_{1 1}k^{1}+g_{1 2}k^{2}+g_{1 3}k^{3}=-k^{1}$

$k_{2}=g_{2 0}k^{0}+g_{2 1}k^{1}+g_{2 2}k^{2}+g_{2 3}k^{3}=-k^{2}$

$k_{3}=g_{3 0}k^{0}+g_{3 1}k^{1}+g_{3 2}k^{2}+g_{3 3}k^{3}=-k^{3}$.

Но действительно, у меня возникает вопрос : чем отличаются $k_{\mu}$ от $k^{\mu}$ ?

И на него я попытаюсь ответить сам. У нас ведь есть $k_{\nu}=(\omega, -k^1,-k^2,-k^3)$ и есть $k^{\mu}=(\omega, k^1,k^2,k^3)$. Так почему бы мне просто не переобазначить индексы с $\nu$ на $\mu$?

Мы ведь можем так сделать? Тогда и получаем разницу между $k_{\mu}$ и $ k^{\mu}$.

[Munin]

Roxkisabsver в сообщении #970838 писал(а):

Тогда я все это понимаю как: $k_{\mu}=g_{\mu\nu}k^{\nu}=g_{\mu 0}k^{0}+g_{\mu 1}k^{1}+g_{\mu 2}k^{2}+g_{\mu 3}k^{3}$

"Вот теперь тебя люблю я,
Вот теперь тебя хвалю я!
Наконец-то ты, грязнуля,
Мойдодыру угодил!"

Roxkisabsver в сообщении #970838 писал(а):

Теперь, справа стоит скаляр, а слева вектор.

Нет, справа тоже вектор. Просто этот вектор в качестве каждой своей компоненты имеет сумму.

Roxkisabsver в сообщении #970838 писал(а):

Но действительно, у меня возникает вопрос : чем отличаются $k_{\mu}$ от $k^{\mu}$ ?
И на него я попытаюсь ответить сам. У нас ведь есть $k_{\nu}=(\omega, -k^1,-k^2,-k^3)$ и есть $k^{\mu}=(\omega, k^1,k^2,k^3)$. Так почему бы мне просто не переобазначить индексы с $\nu$ на $\mu$?
Мы ведь можем так сделать? Тогда и получаем разницу между $k_{\mu}$ и $ k^{\mu}$.

На самом деле, как называется индекс - не имеет значения. Можно мю, можно ню, можно хоть зю. Важно только, чтобы из выражения "торчали" сколько надо свободных индексов, и все какие надо были "связаны". Здесь в математических обозначениях не принято придавать конкретным названиям индексов какое-то особое значение.

(Бывают несколько типов индексов, например, принято обозначать греческими буквами индексы в диапазоне $0,\ldots,3,$ а латинскими - $1,\ldots,3,$ то есть чисто пространственные; бывают и другие обозначения, например, индексы спиноров, индексы внутренних степеней свободы и т. п. - это вы всё прочитаете, когда дойдёте до соответствующих книг.)

А разница между $k_{\mu}$ и $ k^{\mu}$ - это разница между ковариантным и контравариантным вектором. В метрических пространствах (где задан метрический тензор), эта разница несущественна: обе величины обозначают один и тот же геометрический объект, который можно обозначить отрезком со стрелочкой. Просто у него есть два набора координат (компонент), одни с индексом сверху, другие с индексом снизу, и их нельзя перепутать, чтобы не получилось ошибок при вычислениях. И при свёртке по повторяющимся индексам, надо жёстко придерживаться правила: один индекс сверху, другой снизу (а какой где - не важно). Иногда используется упрощённая нотация, как например в том же Рубакове, когда все индексы пишутся снизу, а сворачиваются через метрический тензор. ЛЛ-2 хорош тем, что приучает к дисциплине: писать всё на разной высоте. (Хотя соглашение "греческие - латинские" в нём наоборот по отношению к общепринятому сегодня.)

Что такое ковариантные и контравариантные координаты, проще всего ощутить на простом примере обычной евклидовой плоскости. Нарисуйте координатные оси под углом друг к другу, и отметьте на них единичные векторы разной длины. И разложите по ним какой-нибудь вектор. Если это будет $\vec{a}=a^1\vec{e}_1+a^2\vec{e}_2,$ то вот эти числа - контравариантные координаты этого вектора. Слагаемые $a^1\vec{e}_1$ и $a^2\vec{e}_2$ складываются по закону параллелограмма. А сами они - направлены вдоль своих координатных осей каждое. Но можно "разложить" вектор по этим осям и по другому принципу. Опустим из конца вектора высоту на координатную ось $\vec{e}_1,$ и обозначим её $a_2.$ И опустим из конца вектора высоту на координатную ось $\vec{e}_2,$ и обозначим её $a_1.$ Теперь уже не будет никакого равенства $\vec{a}\ne a_1\vec{e}_1+a_2\vec{e}_2,$ но зато будет другое полезное свойство: для любого другого вектора $\vec{b}=b^1\vec{e}_1+b^2\vec{e}_2$ эти величины позволяют быстро вычислить скалярное произведение:

$$(\vec{a}\cdot\vec{b})=a_1 b^1+a_2 b^2.$$

Если же вы его будете расписывать через координаты одного типа, то замучаетесь:

$$\begin{gathered}(\vec{a}\cdot\vec{b})=a^1 b^1(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_1)+a^1 b^2(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_2)+a^2 b^1(\vec{e}_2\cdot\vec{e}_1)+a^2 b^2(\vec{e}_2\cdot\vec{e}_2)={}\\{}=a^1 b^1(|e_1|^2)+a^1 b^2(|e_1|\cdot|e_2|\cos\alpha)+a^2 b^1(|e_2|\cdot|e_1|\cos\alpha)+a^2 b^2(|e_2|^2).\end{gathered}$$

Числовые коэффициенты в скобках, кстати, можно вычислить заранее и записать в виде матрицы $\left(\begin{smallmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{smallmatrix}\right),$ но от этого не сильно легче :-)

[EvilPhysicist]

Roxkisabsver в сообщении #970838 писал(а):

Так почему бы мне просто не переобазначить индексы с $\nu$ на $\mu$?

Мы ведь можем так сделать? Тогда и получаем разницу между $k_{\mu}$ и $ k^{\mu}$.

Когда пишут $p^\mu$ этим как-бы говорят "$\mu$-тая компонента 4-импульса". Но

Капитан очевидность писал(а):

$\mu$ это буква

и до тех пор, пока мы не скажем какую именно, нулевую, первую, вторую или третью компоненту мы имеем в виду, мы можем разве что написать $k^\mu$. Ну и собственно тут буква не важна. $k^\mu$ значит то же самое, что и $k^\nu$ и тоже самое, что и $k^\zeta$.

Разница между $k^\mu$ и $k_\mu$ меркантально говоря в законе преобразования. Если говорить точнее, то $k^\mu$ это координаты вектора в линейном пространстве, а $k_\mu$ это координаты этого же вектора в сопряженном пространстве (если есть конечномерное линейное пространство со скалярным произведение, то можно построить его изоморфизм в сопряженное пространство. А значит и вектору переписывать два типа координат.). В прикладном плане надо запомнить, что $k^\mu$ задается, а $k_\mu$ вычисляется.

Впрочем, вам уже подробнее написали.

[warlock66613]

(Оффтоп)

EvilPhysicist в сообщении #970933 писал(а):

В прикладном плане надо запомнить, что $k^\mu$ задается, а $k_\mu$ вычисляется.

Или наоборот.

[Roxkisabsver]

Munin

Тогда разрешите еще один вопрос. Пусть у меня есть тензор 2-го ранга $F_{\mu\nu}$. Тогда какая разница между ним и тензором $F_{\mu}^{\nu}$ ?

Что вообще значит поднять один индекс из двух? И как это делается? Как понять что один из индексов ковариантный, а другой контравариантный? Это вообще как ?

[Red_Herring]

Roxkisabsver в сообщении #971116 писал(а):

Пусть у меня есть тензор 2-го ранга $F_{\mu\nu}$. Тогда какая разница между ним и тензором $F_{\mu}^{\nu}$ ?

У Вас тогда (при наличии метрического тензора) есть еще три. Прежде всего, у нас есть тензор $g_{jk}$ (для скорости я использую латинские, а не греческие) и обратный $g^{kl}: g_{jk} g^{kl}=\delta_j^l$ (тогда $g^{kl}g_{lj}=\delta_k_j$).

Поднимаем один индекс: берем $F_{j,k}$ и образуем $F_{j*}^{*l}=F_{jk}g^{kl}$ (я наставил $*$ чтобы было ясно что поднят второй индекс) и образуем $F^{l*}_{*k}=g^{lj}F_{jk}$ (я наставил $*$ чтобы было ясно что поднят первый индекс); можно поднять оба (ну и в тензорах более высокого ранга аналогично). Опускаем так же, но с помощью $g_{jk}$.

В частности, поднимая индекс (один) у $g_{jk}$ получаем что? А если оба?

[Munin]

Roxkisabsver в сообщении #971116 писал(а):

Тогда разрешите еще один вопрос. Пусть у меня есть тензор 2-го ранга $F_{\mu\nu}$. Тогда какая разница между ним и тензором $F_{\mu}^{\nu}$ ?

Тут надо осторожней. Пусть у вас есть тензор 2-го ранга. Для него есть четыре разных "обличья" в зависимости от положений индексов: $F_{\mu\nu},F_{\mu}{}^{\nu},F^{\mu}{}_{\nu},F^{\mu\nu}.$

(Оффтоп)

В TeX-е это набирается как F_{\mu}{}^{\nu} - первый индекс у F, а второй - у пустой формулы {}.

Суть здесь в том, что тензор 2-го ранга по умолчанию не имеет никакой симметрии. Поэтому надо удерживать и соблюдать порядок его индексов: какой из них первый, а какой второй. Например, поднимая по очереди разные индексы, мы получим такие матрицы (начнём, как вы написали, с двух нижних, и используем метрику СТО в ортонормированном базисе):

$$\begin{pmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\\k&l&m&n\\p&q&r&s\\\end{pmatrix}\qquad\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\e&-f&-g&-h\\k&-l&-m&-n\\p&-q&-r&-s\\\end{pmatrix}\qquad\begin{pmatrix}\hphantom{-}a&\hphantom{-}b&\hphantom{-}c&\hphantom{-}d\\-e&-f&-g&-h\\-k&-l&-m&-n\\-p&-q&-r&-s\\\end{pmatrix}\qquad\begin{pmatrix}\hphantom{-}a&-b&-c&-d\\-e&\hphantom{-}f&\hphantom{-}g&\hphantom{-}h\\-k&\hphantom{-}l&\hphantom{-}m&\hphantom{-}n\\-p&\hphantom{-}q&\hphantom{-}r&\hphantom{-}s\\\end{pmatrix}.$$

Видите, что всё это разные вещи.

Разница исчезает только тогда, когда тот тензор, с которого мы начали - симметричный (симметрический, как иногда говорят, потому что "симметричный" можно понимать по-разному, например, как геометрическую симметрию соответствующего геометрического объекта). Например, допустим, $F_{\mu\nu}=F_{\nu\mu}.$ Что это значит? Что матрица этих компонент имеет вид

$$\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&f&g&h\\c&g&m&n\\d&h&n&s\\\end{pmatrix}.$$

Теперь поднимем какой-нибудь индекс, скажем, второй: $F_{\mu}{}^{\nu}=F^{\nu}{}_{\mu}$:

$$\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&-f&-g&-h\\c&-g&-m&-n\\d&-h&-n&-s\\\end{pmatrix}.$$

Если мы помним, что в такой "матричной" записи у нас столбцы нумеруются индексом $\nu,$ а строки - индексом $\mu,$ то матрица будет одна и та же, например, $F_{0}{}^{2}=F^{2}{}_{0}=-c.$ Даже если мы решим иначе, что в "матричной" записи столбцы нумеруются всегда вторым индексом, а строки - всегда первым, всё равно будет выполняться свойство $F_{0}{}^{2}=F^{2}{}_{0}=-c,$ хотя выглядеть оно будет более неявно:

$$\begin{pmatrix}a&-b&\boxed{-c}&-d\\b&-f&-g&-h\\c&-g&-m&-n\\d&-h&-n&-s\\\end{pmatrix}\qquad\begin{pmatrix}\hphantom{-}a&\hphantom{-}b&\hphantom{-}c&\hphantom{-}d\\-b&-f&-g&-h\\\boxed{-c}&-g&-m&-n\\-d&-h&-n&-s\\\end{pmatrix}.$$

Итак, мы видим, что для симметричного тензора на самом деле выполняется $F_{\mu}{}^{\nu}=F^{\nu}{}_{\mu},$ а значит, можно записать его в более простом виде: $F_{\mu}^{\nu}$ - не сохраняя позиции индексов.

Для антисимметричного (антисимметрического) тензора это совсем не так!!! (Кстати, в СТО принято буквой $F_{\mu\nu}$ обозначать именно антисимметрический тензор электромагнитного поля, так что мы здесь выбрали неудачный пример.) Для него $F_{\mu\nu}=-F_{\nu\mu},$ и поэтому $F_{\mu}{}^{\nu}=g^{\nu\lambda}F_{\mu\lambda}=-g^{\nu\lambda}F_{\lambda\mu}=-F^{\nu}{}_{\mu}.$

И ещё, один тензор меняет букву, когда ему поднимают и опускают индексы. ... (Тут Red_Herring задал задание, не буду подсказывать ответ.)

Roxkisabsver в сообщении #971116 писал(а):

Что вообще значит поднять один индекс из двух? И как это делается? Как понять что один из индексов ковариантный, а другой контравариантный? Это вообще как ?

"Как понять" в смысле "как это определить" - очень просто. Ковариантные - это нижние, а контравариантные - это верхние.

"Как понять" в смысле "что это значит" - я вам рассказал в post970929.html#p970929 . Вам надо выполнить то, что там написано, нарисовать чертёж и разобраться с формулами. Тогда поймёте. Пока не сделаете - не поймёте. Любое понимание - это труд, без труда не вытащишь и рыбку из пруда.

[arseniiv]

(Спойлеры. Roxkisabsver, не открывайте!)

Munin в сообщении #971209 писал(а):

И ещё, один тензор меняет букву, когда ему поднимают и опускают индексы.

О, неплохо, а я раньше почему-то думал, не особо приглядываясь, что в тех двух «инкарнациях» (равных, раз уж симметрический) этого тензора есть какой-то особый смысл.

[Munin]

(Оффтоп)

У него три инкарнации! :-)

[arseniiv]

(Оффтоп)

Если третья — это с обоими верхними, то Red_Herring её уже разобрал, и как раз-таки определение её в том посте было очень удачно — всё можно определить одними глазами, сопоставив два терма.

[Munin]

Вообще всё можно одними глазами определить. $g^{\mu\nu}A_{\ldots\nu\ldots}=A_{\ldots}{}^\mu{}_{\ldots}$ Множитель $g^{\mu\nu}$ с индексами сверху "тянет" индекс вверх, и подменяет его на второй свой индекс. И в обратную сторону: $g_{\mu\nu}A^{\ldots\nu\ldots}=A^{\ldots}{}_\mu{}^{\ldots}$ - множитель $g_{\mu\nu}$ с индексами снизу "тянет" индекс вниз, и подменяет его на второй свой индекс. Вот и всё поднимание и опускание индексов.