Общее решение ур-ий Максвелла в пустоте.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #966294 писал(а):

Если $D$ - дифференцирование, то при преобразовании Фурье оно превращается в умножение на аргумент образа: $Df\risingdotseq k\tilde{f}.$

Не теряйте множитель $\pm i$. Тут дело принципиальное: дифференцирование оператор антисимметрический (видно из интегрирования по частям).

[Munin]

Спасибо. Щас исправлю.

-- 21.01.2015 18:34:35 --

Вечно про него забываю. Приходится всё аккуратно на бумажке делать... А он очень важен. Например, меняет знак между слагаемыми $D^2f$ и $f.$

[Roxkisabsver]

Но я все таки не понимаю КАК из $\partial_{\mu}F_{\mu\nu}=0$ получить $k^{\mu}k_{\mu}a_{\nu}-k^{\mu}k_{\nu}a_{\mu}=0$.

Может мне просто кто-нибудь напишет как это сделать и я разберу что и как там?

[EvilPhysicist]

Дам подсказку.
Если

$$ A^\mu = \int ~ d^4 k ~ a^\mu e^{-i k^\nu x_\nu} $$

то

$$\partial_\gamma A^\mu =\int ~ d^4 k ~ -i k_\gamma ~ a^\mu e^{-i k^\nu x_\nu} $$

[Roxkisabsver]

EvilPhysicist
Почему поменялся индекс у К ? Да еще и вниз спустился? И можно я задам еще один глупый вопрос? Как вы понимаете где ставить индексы у К и Х ?

[EvilPhysicist]

Roxkisabsver в сообщении #966906 писал(а):

И можно я задам еще один глупый вопрос? Как вы понимаете где ставить индексы у К и Х ?

Я учил СТО и ОТО, оттуда и знаю.

Есть по проще. Есть у вас векторное пространство. На нем есть скалярное произведение. Вот $k^\mu k_\mu$ скалярное произведение вектора $k$ на самого себя. Если вы вспомните, то вектор это палка со стрелкой $\vec k$. А вот у линейных пространство есть базис. Чтобы определить скалярное произведение достаточно определить на базисных векторах. Если $\vec e_\mu$ -- обозначения для векторов базиса, то матрица $g_{\mu\nu}=\vec e_nu \cdot \vec e_\mu$ -- матрица Грамма. Думаю направление поиска я вам задал.

[warlock66613]

Roxkisabsver в сообщении #966906 писал(а):

Почему поменялся индекс у К ? Да еще и вниз спустился?

Скажите, вам понятно, что такое $\partial_{\mu}$? Вам вообще знаком значёк $\partial$?

[Red_Herring]

Roxkisabsver
Давайте разбираться.
1) Вам эйнштейновское соглашение о суммировании знакомо? Тогда Вы понимаете что $k_\nu x^\nu$ от $\nu$ не зависит. Но один индекс вверху, один внизу. В данном случае у кого он вверху, а у кого внизу неважно, но всё же стандартно — верхний у $x$. В любом случае распишите $k_\nu x^\nu=k_0 x^0 + k_1 x^1+… $.

2) Когда мы дифференцируем по $x_\gamma$ (тут мы выбираем обозначение другим, чтобы не обозначать разные вещи одной и той же буквой) мы получаем экстра множитель $-i k_\gamma$. Т.е. более чисто записать

$$ A^\mu (x) = \int a^\mu e^{-i k_\nu x^\nu}\, d^4k $$

и

$$\partial_\gamma A^\mu =\int \bigl[ -i k_\gamma a^\mu e^{-i k_\nu x^\nu}\bigr] \,d^4k $$

Roxkisabsver в сообщении #966906 писал(а):

Почему поменялся индекс у К

А можно я задам вопрос? Что такое это К? (Я знаю, что такое $k$). Это не мелочи—Вы создаете кашу в которой сами потом запутаетесь

[Roxkisabsver]

warlock66613
Это мне знакомо. Сумма частных производных по пространственно-временным координатам.

-- 22.01.2015, 20:24 --

Red_Herring
К=$k$

[EvilPhysicist]

Если вы называете

warlock66613 в сообщении #966915 писал(а):

$\partial_{\mu}$

то он не означает

Roxkisabsver в сообщении #966918 писал(а):

Сумма частных производных по пространственно-временным координатам.

Значек $\partial_\mu$ означает $\cfrac{\partial}{\partial x^\mu}$.
Вам такая вещь как ковариантные и контравариантные координаты знакома? А многообразия? А линейные пространства?

[Munin]

Roxkisabsver в сообщении #966918 писал(а):

Это мне знакомо. Сумма частных производных по пространственно-временным координатам.

Нет, не сумма. Сумма возникает тогда, когда индекс $\mu$ появляется дважды: один раз сверху, один раз снизу (по стандартным правилам ЛЛ-2, в Рубакове этим пренебрегают, и пишут индексы снизу).

[Munin]

Может, вот так поможет:
(Здесь рассказ немного в других обозначениях и в лоренцевской калибровке, но зато с лёгкостью и доходчивостью Фейнмана)

     

(Многа букав!)

Фейнман. Квантовая электродинамика.

[Roxkisabsver]

Red_Herring в сообщении #966917 писал(а):

Roxkisabsver
Т.е. более чисто записать

$$ A^\mu (x) = \int a^\mu e^{-i k_\nu x^\nu}\, d^4k $$

и

$$\partial_\gamma A^\mu =\int \bigl[ -i k_\gamma a^\mu e^{-i k_\nu x^\nu}\bigr] \,d^4k $$

Всё же вы можете считать меня глупым, но я не понял почему поменялся индекс у $k$.

[Red_Herring]

Roxkisabsver в сообщении #970295 писал(а):

поменялся

Что значит "поменялся"? был "$\nu$" а стал "$\gamma$"? Так $\nu$ это в этой формуле "немой" индекс. Он занят только при вычислении суммы $k_\nu x^\nu$ и за её пределами его уже нет (разберитесь с эйнштейновским суммированием)

[Munin]

$k$ - это просто вектор. 4-вектор. Какой у него индекс - это не от него зависит, а от того, с чем мы его хотим перемножить.

Вот например, в 3-мерном случае, если мы хотим умножить скалярно два вектора, то мы пишем:

$$(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})=a_i b^i=a^i b_i,$$

то есть, выбираем произвольную букву для немого индекса, и приписываем её к одному вектору сверху, к другому снизу. А если надо записать не скаляр, а какое-то векторное равенство, то мы пишем

$$\mathbf{a}=\mathbf{b}\qquad a^i=b^i\qquad a_i=b_i,$$

то есть тоже выбираем произвольную букву для индекса, но уже не немого, а свободного, и удостоверяемся, чтобы он был свободным и слева и справа, и при этом по обе стороны - одинаково сверху или снизу.

Вся эта техника написана ещё в Ландафшице "Теория поля" в первых параграфах.