Матрицы Паули

[мат-ламер]

Munin в сообщении #970324 писал(а):

Вращение вокруг любой оси на 360° меняет знак.

Или на 180° ?

[Munin]

мат-ламер
Нет, именно на 360°. Это довольно важный момент, на котором у начинающих постоянно сбоит интуиция.

Есть некоторые способы показать, что реально повороты на 360° в пространстве топологически отличаются от поворотов на 720°, и не столь уж "нейтральны", как казалось бы. Дирак приводил пример с книгой и ремнём. Фейнман приводил пример с рукой, на которой он держал стакан. Но мне эти примеры не сильно помогают, хотя и считаются наглядными :-) А вот картинка со сферой и полусферой - да, помогает.

[Sicker]

ааа те на такой трехмерной сфере передвижение на единицу соответствует двух единицам поворота в трехмерном пространстве? А если нет, то мы получим пространство обычных вращений?(не спинорных)

[Munin]

Sicker в сообщении #970747 писал(а):

ааа те на такой трехмерной сфере передвижение на единицу соответствует двух единицам поворота в трехмерном пространстве?

Ну, грубо говоря, да. Один градус соответствует двум градусам. А когда в 3-мерном пространстве вы разворачиваетесь на 180°, то на этой сфере вы только-только доползаете до экватора (90°). А подумайте, ведь в 3-мерном пространстве есть не один-единственный поворот на 180°, а множество их - разных, смотря вокруг какой оси вращать. Вот они и заполняют экватор (у 3-мерной сферы это 2-мерный экватор - сам 2-параметрическое множество, и его 2-мерность соответствует 2 параметрам, которыми можно задать ось вращения в 3D-шечке).

Sicker в сообщении #970747 писал(а):

А если нет, то мы получим пространство обычных вращений?(не спинорных)

Нет. Пространство обычных вращений - это такая же сфера. Только "сложенная пополам". Видите, всё южное полушарие нарисовано пунктиром? Это значит, что на самом деле, для обычных вращений, оно отождествлено с северным полушарием, по принципу "каждая точка со своей противоположной на сфере точкой".

Такая сфера, факторизованная на два, называется "эллиптическим пространством", и почти не отличается от проективного пространства. Ещё у него есть устаревшее название "пространство Римана", неудобное из-за похожих терминов с другим смыслом.

Это значит, что фактически у вас только полусфера. Когда вы доходите до экватора, и делаете шаг за него вниз, вы волшебным образом телепортируетесь на противоположную сторону экватора, и делаете шаг вверх. К северному полюсу. Прямо как Алиса в Зазеркалье (помните, она пыталась уйти от дома, но каждый раз возвращалась к дому?). При этом, в некоторых размерностях, вас ещё и "выворачивает", меняет вам правую и левую сторону, так что вы превращаетесь в своё зеркальное отражение. Впрочем, для вращений этот момент не важен.

[Sicker]

Munin в сообщении #970769 писал(а):

Нет. Пространство обычных вращений - это такая же сфера. Только "сложенная пополам".

и в такой полусфере единица шага соответствует двум единицам поворота в $3D$?

-- 29.01.2015, 20:54 --

ну т.е. обход на $\pi$ соответствует повороту на $2\pi$

[arseniiv]

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #970782 писал(а):

в $3D$

Если уж писать «3D», нет никакого смысла превращать это в формулу — ничего математического этой аббревиатуре от 3-dimensional не соответствует.

[Munin]

Sicker в сообщении #970782 писал(а):

и в такой полусфере единица шага соответствует двум единицам поворота в $3D$?

Да.

Sicker в сообщении #970782 писал(а):

ну т.е. обход на $\pi$ соответствует повороту на $2\pi$

Обход - это что-то законченное, замкнутое на себя. Незаконченное - это путь. А расстояние - дуга.

[Sicker]

а может тогда удобнее взять сферу радиуса $2$ и тогда будет по ней единичный шаг а не половинный?

[Munin]

ЛОЛ. Да это не важно. Важно, что сфера совсем иначе устроена, чем полусфера. Иначе топологически. Разница примерно такая же большая, как между сферой и бубликом.

[Sicker]

ну да, я имел ввиду что можно на сфере единичного радиуса делать половинные шаги, соответствующие единичным поворотам в 3D, а можно взять сферу в два раза большим радиусом и делать на ней единичные шаги

[warlock66613]

Sicker, шаги-то - в градусах.

[Sicker]

warlock66613
нет, в радианах

[warlock66613]

Sicker, без разницы, главное, что радиус сферы никак не влияет.

[Sicker]

он влияет на длину пути по сфере, а так да

[warlock66613]

Sicker в сообщении #970932 писал(а):

он влияет на длину пути по сфере, а так да

Он не влияет на длину пути на сфере, если длину пути выражать в градусах/радианах, что и подразумевается, ибо только такой вариант и имеет смысл, так как всё крутится вокруг поворотов.