Задачи по матану, алгебре, комбинаторике, всего по понемногу

[netang]

ИСН в сообщении #970486 писал(а):

И чему равны то и другое, например, у системы из одного уравнения $x+y=1$?

Решений бесконечно много. А размерность, что-то я запутался, равна двум?

-- 29.01.2015, 16:59 --

Ранг понятно, он всегда будет равен одному, потому что все другие строки можно выразить через первую строку.

[ИСН]

Так-так. То есть размерность - это всё-таки не количество решений? ОК.
Двум равна размерность всего исходного пространства всех мыслимых $(x,y)$. Но уравнению удовлетворяют не все. И не почти все. А...

[mihailm]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #970494 писал(а):

...И не почти все. А...

почти все не!

[netang]

ИСН в сообщении #970494 писал(а):

То есть размерность - это всё-таки не количество решений?

Да, точно

ИСН в сообщении #970494 писал(а):

Но уравнению удовлетворяют не все. И не почти все. А...

Если множество всех $(x, y)$ представить как плоскость, то множество решений уравнения $x+y=1$ будет прямой. А прямая имеет размерность 1.

-- 29.01.2015, 17:12 --

То есть, из $Ax = b$, имея ранг 1, у нас останутся только решения удовлетворяющие $x_1 + x_2 + \ldots + x_n = b_k$, а это есть прямая в $\mathbb{R}^n$? То есть размерность всегда будет равна 1?

[svv]

7. Возьмите положительную последовательность, монотонно убывающую к нулю. Разбейте её на пары и переставьте элементы в каждой паре.

[ИСН]

netang в сообщении #970502 писал(а):

Если множество всех $(x, y)$ представить как плоскость, то множество решений уравнения $x+y=1$ будет прямой. А прямая имеет размерность 1.

Именно!

netang в сообщении #970502 писал(а):

у нас останутся только решения удовлетворяющие $x_1 + x_2 + \ldots + x_n = b_k$, а это есть прямая в $\mathbb{R}^n$?

А вот здесь придётся разобраться, что такое прямая в $\mathbb R^n$. Скажем, для начала - в трёхмерном.

[ex-math]

Хуже другое. Если $b\neq0$, решения вообще не образуют пространства. Более того, их почти всегда не существует.
Видимо, имелась в виду все-таки однородная система, иначе автору за такую формулировку следовало бы хорошенько всыпать.

[VladimirKr]

mihailm в сообщении #970454 писал(а):

В десятой разложить определитель с лямдами по первой строке (или столбцу)

Может, проще будет: дефект матрицы виден сразу (кратность 0), а кроме этого, все столбцы являются собственными векторами и понятно, с какими собственными числами (осторожно с центральным столбцом).

[netang]

ex-math в сообщении #970525 писал(а):

Видимо, имелась в виду все-таки однородная система

Насчет однородной системы я нашел теорему, которая звучит так

Цитата:

Размерность пространства решений однородной системы равна $n - r$, где $n$ —
число неизвестных в системе, а $r $ — ранг основной матрицы системы

[svv]

Эта теорема — тяжелая артиллерия. Пусть система однородна. Допустим, первое уравнение удовлетворяется. Что можно сказать про остальные?

[ИСН]

Ну и что, что тяжёлая. Её и надо использовать: она сразу отвечает на все вопросы.

[mihailm]

VladimirKr в сообщении #970526 писал(а):

...Может, проще будет: дефект матрицы виден сразу (кратность 0), а кроме этого, все столбцы являются собственными векторами и понятно, с какими собственными числами (осторожно с центральным столбцом).

Что такое дефект не знаю, но идейно решение понятно - подбираем собственные числа и сразу видим их кратности.

[netang]

svv в сообщении #970507 писал(а):

7. Возьмите положительную последовательность, монотонно убывающую к нулю. Разбейте её на пары и переставьте элементы в каждой паре.

$a_n = \frac{1}{n+(-1)^n+1}$
То что я привел ранее не подходит?

[ИСН]

То, что Вы привели ранее, часто бывает равно нулю. Ноль не есть положительное число.

[netang]

ИСН в сообщении #970588 писал(а):

То, что Вы привели ранее, часто бывает равно нулю. Ноль не есть положительное число.

Извините, что-то я снова запутался, имеем $a_n = |\frac{\sin(\frac{n\pi}{2})}{n}| + |\frac{1}{n}|$
$|\frac{\sin(\frac{n\pi}{2})}{n}| = 0$ при $n = 2, 4, 6, \ldots$
$|\frac{1}{n}| > 0$ для $n \in \mathbb {N}$
При каком $n$ эта последовательность будет равна $0$?