Задачи по матану, алгебре, комбинаторике, всего по понемногу

[ИСН]

А, у Вас там ещё $1\over n$ добавлена. Тогда всё ОК.

[netang]

ex-math в сообщении #970525 писал(а):

Хуже другое. Если $b\neq0$, решения вообще не образуют пространства. Более того, их почти всегда не существует.
Видимо, имелась в виду все-таки однородная система, иначе автору за такую формулировку следовало бы хорошенько всыпать.

Допустим, $Ax = b$ неоднородная система. Занулим используя первую строку, строки со 2 по n-ую, получим для $n = 2$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = b_1 \\ 0x_1 + 0x_2 = b_2-2b_1 \end{cases} \end{equation*}$
Размерность пространства решений $= 1$
Для $n = 3$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = b_1 \\ 0x_1 + 0x_2 + 0x_3 = b_2-2b_1 \\ 0x_1 + 0x_2 + 0x_3 = b_3-3b_1 \end{cases} \end{equation*}$
Размерность пространства решений $= 2$ т.к. пространством решений будет плоскость.
Для $n = 4$, размерность пространства решений будет равна 3 и т.д.?

[ex-math]

(Линейное или векторное) пространство -- это термин. Решения неоднородной системы не образуют пространства, только линейное многообразие в аффинном пространстве.

[ewert]

netang в сообщении #970450 писал(а):

А что если прибавить $|\frac{1}{n}|$ ? $a_n = |\frac{\sin(\frac{n\pi}{2})}{n}| + |\frac{1}{n}|$

Прибавить-то можно (и даже в некотором смысле нужно). Однако это не избавляет Вас от необходимости доказывать монотонность. Решения ведь запрашивались "полные".

netang в сообщении #970425 писал(а):

Я утонул в ней, когда нарисовал семиугольник

Потому и утонули, что нарисовали. Семиугольник -- это слишком мало и, соответственно, слишком сложно. Берите лучше энугольник, а ещё лучше -- эм. А потом прикиньте: каждая пара пересекающихся диагоналей -- это сколько разных вершин?...

(ну и потом ещё чуть-чуть)

[svv]

netang в сообщении #970675 писал(а):

Допустим, $Ax = b$ неоднородная система. Занулим используя первую строку, строки со 2 по n-ую, получим для $n = 2$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = b_1 \\ 0x_1 + 0x_2 = b_2-2b_1 \end{cases} \end{equation*}$
Размерность пространства решений $= 1$

Вы не заметили одного фатального обстоятельства. Посмотрите внимательно на новое второе уравнение. С ним всё в порядке?

При $n>2$ — то же, или, если угодно, ещё хуже.

[ewert]

ex-math в сообщении #970525 писал(а):

Видимо, имелась в виду все-таки однородная система, иначе автору за такую формулировку следовало бы хорошенько всыпать.

Ему безусловно следует всыпать за десятую -- это уж откровенная порнография. А тут всё-таки мягче. Не исключено, он даже произносил в своём курсе слово "аффинное". Но если даже и не произносил, а просто легкомысленно перепутал аффинное с линейным -- всё равно: в задачке есть лишь два решения, и это уже содержательно.

[netang]

svv в сообщении #970746 писал(а):

Вы не заметили одного фатального обстоятельства. Посмотрите внимательно на новое второе уравнение. С ним всё в порядке?

Блин, точно, раз система неоднородна, то возможно следующее $b_2-2b_1 > 0$. Получаем неравенство. Т.е. всё таки имеется ввиду однородная система?

[svv]

А преподаватель его знает...

[mihailm]

(Оффтоп)

Побочная диагональ вполне распространенный термин, см., например, Проскурякова.
Можно еще привести цитату из Куроша

Цитата:

...он равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов второй диагонали.

параграф 2, гл. 1.

[ewert]

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #970772 писал(а):

Побочная диагональ вполне распространенный термин, см., например, Проскурякова.

Поскольку подобные диагонали никому в боевой обстановке не нужны -- термин этот сугубо маргинален.

(не путать с маргинальными распределениями! там ведь всё-таки статистика какая ни есть, а тут -- статистически вполне незначимо)

[mihailm]

(Оффтоп)

Согласен, в боевой обстановке не нужны, так у нас вроде учения!

[netang]

ИСН в сообщении #970407 писал(а):

8 сделайте, она простая, и понять её условие просто; проблема в том, что ещё проще его понять неправильно.

ewert в сообщении #970733 писал(а):

Потому и утонули, что нарисовали. Семиугольник -- это слишком мало и, соответственно, слишком сложно. Берите лучше энугольник, а ещё лучше -- эм. А потом прикиньте: каждая пара пересекающихся диагоналей -- это сколько разных вершин?...

(ну и потом ещё чуть-чуть)

Я знаю формулу по которой можно подсчитать количество диагоналей зная количество вершин - $d = \frac{n^2-3n}{2}$. Далее зная количество диагоналей, я могу подсчитать сколько пересечений образуется в "первом уровне" (на рисунках я отметил красным и синим цветами). Но дальше сложнее...
Для $n = 6$ имеем $9$ диагоналей и $15$ пересечений. На "последнем уровне" образуется треугольник.

Для $n = 7$ имеем $14$ диагоналей и $35$ пересечений. На "последнем уровне" образуется "звездочка" (четырнадцать пересечений).

[ИСН]

Все Ваши неприятности от того, что верхняя пуговица расстёгнута. Не надо уровней. Не надо звёздочек. Не надо анализировать фигур, а то сломаете анализатор. Смотрите так. Сколько нужно задать вершин, чтобы тем самым задать одно пересечение диагоналей?

[Mihr]

Кажется, 9-я задача не обсуждалась. Намечу начало решения.
Введём обозначения:
$A$ - зелёное выпавшее число чётно,
$B$ - красное выпавшее число кратно 3.
Как известно,
$P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)$
Воспользуемся второй частью этого равенства:
$P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)$,
ну, и далее очевидно. По-моему, так.

[netang]

Я снова в строю поэтому продолжу добивать эти задачи

Цитата:

Сколько нужно задать вершин, чтобы тем самым задать одно пересечение диагоналей?

Четыре

Я попробовал не представлять себе фигур и начал думать так, допустим, имеем две диагонали, тогда имеем одно пересечение. Три диагонали - максимум 3 попарных пересечения. Четыре диагонали - максимум 7 попарных пересечений. Пять диагоналей - максимум 10 попарных пересечения. Формула: $k_2 = 1; k_n = k_{n-1} + (n-1)$, где n - количество диагоналей.