2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Задачи по матану, алгебре, комбинаторике, всего по понемногу
Сообщение29.01.2015, 14:57 
Аватара пользователя


14/09/12
181
Уфа
ИСН в сообщении #970486 писал(а):
И чему равны то и другое, например, у системы из одного уравнения $x+y=1$?

Решений бесконечно много. А размерность, что-то я запутался, равна двум?

-- 29.01.2015, 16:59 --

Ранг понятно, он всегда будет равен одному, потому что все другие строки можно выразить через первую строку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по матану, алгебре, комбинаторике, всего по понемногу
Сообщение29.01.2015, 14:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Так-так. То есть размерность - это всё-таки не количество решений? ОК.
Двум равна размерность всего исходного пространства всех мыслимых $(x,y)$. Но уравнению удовлетворяют не все. И не почти все. А...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по матану, алгебре, комбинаторике, всего по понемногу
Сообщение29.01.2015, 15:01 


19/05/10

3940
Россия

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #970494 писал(а):
...И не почти все. А...
почти все не!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по матану, алгебре, комбинаторике, всего по понемногу
Сообщение29.01.2015, 15:08 
Аватара пользователя


14/09/12
181
Уфа
ИСН в сообщении #970494 писал(а):
То есть размерность - это всё-таки не количество решений?
Да, точно :facepalm:
ИСН в сообщении #970494 писал(а):
Но уравнению удовлетворяют не все. И не почти все. А...

Если множество всех $(x, y)$ представить как плоскость, то множество решений уравнения $x+y=1$ будет прямой. А прямая имеет размерность 1.

-- 29.01.2015, 17:12 --

То есть, из $Ax = b$, имея ранг 1, у нас останутся только решения удовлетворяющие $x_1 + x_2 +  \ldots + x_n = b_k$, а это есть прямая в $\mathbb{R}^n$? То есть размерность всегда будет равна 1?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по матану, алгебре, комбинаторике, всего по понемногу
Сообщение29.01.2015, 15:15 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
7. Возьмите положительную последовательность, монотонно убывающую к нулю. Разбейте её на пары и переставьте элементы в каждой паре.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по матану, алгебре, комбинаторике, всего по понемногу
Сообщение29.01.2015, 15:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
netang в сообщении #970502 писал(а):
Если множество всех $(x, y)$ представить как плоскость, то множество решений уравнения $x+y=1$ будет прямой. А прямая имеет размерность 1.
Именно!
netang в сообщении #970502 писал(а):
у нас останутся только решения удовлетворяющие $x_1 + x_2 +  \ldots + x_n = b_k$, а это есть прямая в $\mathbb{R}^n$?
А вот здесь придётся разобраться, что такое прямая в $\mathbb R^n$. Скажем, для начала - в трёхмерном.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по матану, алгебре, комбинаторике, всего по понемногу
Сообщение29.01.2015, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Хуже другое. Если $b\neq0$, решения вообще не образуют пространства. Более того, их почти всегда не существует.
Видимо, имелась в виду все-таки однородная система, иначе автору за такую формулировку следовало бы хорошенько всыпать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по матану, алгебре, комбинаторике, всего по понемногу
Сообщение29.01.2015, 15:37 


15/06/12
56
mihailm в сообщении #970454 писал(а):
В десятой разложить определитель с лямдами по первой строке (или столбцу)

Может, проще будет: дефект матрицы виден сразу (кратность 0), а кроме этого, все столбцы являются собственными векторами и понятно, с какими собственными числами (осторожно с центральным столбцом).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по матану, алгебре, комбинаторике, всего по понемногу
Сообщение29.01.2015, 15:39 
Аватара пользователя


14/09/12
181
Уфа
ex-math в сообщении #970525 писал(а):
Видимо, имелась в виду все-таки однородная система
Насчет однородной системы я нашел теорему, которая звучит так
Цитата:
Размерность пространства решений однородной системы равна $n - r$, где $n$
число неизвестных в системе, а $r $ — ранг основной матрицы системы

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по матану, алгебре, комбинаторике, всего по понемногу
Сообщение29.01.2015, 15:45 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Эта теорема — тяжелая артиллерия. Пусть система однородна. Допустим, первое уравнение удовлетворяется. Что можно сказать про остальные?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по матану, алгебре, комбинаторике, всего по понемногу
Сообщение29.01.2015, 15:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ну и что, что тяжёлая. Её и надо использовать: она сразу отвечает на все вопросы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по матану, алгебре, комбинаторике, всего по понемногу
Сообщение29.01.2015, 16:18 


19/05/10

3940
Россия
VladimirKr в сообщении #970526 писал(а):
...Может, проще будет: дефект матрицы виден сразу (кратность 0), а кроме этого, все столбцы являются собственными векторами и понятно, с какими собственными числами (осторожно с центральным столбцом).
Что такое дефект не знаю, но идейно решение понятно - подбираем собственные числа и сразу видим их кратности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по матану, алгебре, комбинаторике, всего по понемногу
Сообщение29.01.2015, 16:43 
Аватара пользователя


14/09/12
181
Уфа
svv в сообщении #970507 писал(а):
7. Возьмите положительную последовательность, монотонно убывающую к нулю. Разбейте её на пары и переставьте элементы в каждой паре.
$a_n = \frac{1}{n+(-1)^n+1}$
То что я привел ранее не подходит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по матану, алгебре, комбинаторике, всего по понемногу
Сообщение29.01.2015, 16:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
То, что Вы привели ранее, часто бывает равно нулю. Ноль не есть положительное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по матану, алгебре, комбинаторике, всего по понемногу
Сообщение29.01.2015, 17:22 
Аватара пользователя


14/09/12
181
Уфа
ИСН в сообщении #970588 писал(а):
То, что Вы привели ранее, часто бывает равно нулю. Ноль не есть положительное число.
Извините, что-то я снова запутался, имеем $a_n = |\frac{\sin(\frac{n\pi}{2})}{n}| + |\frac{1}{n}|$
$|\frac{\sin(\frac{n\pi}{2})}{n}| = 0$ при $n = 2, 4, 6, \ldots$
$|\frac{1}{n}| > 0$ для $n \in \mathbb {N}$
При каком $n$ эта последовательность будет равна $0$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 58 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group