Уравнение эллипса с углом наклона к оси 0х

[Someone]

Dock1100 в сообщении #483377 писал(а):

Здраствуйте, столкнулся с проблемой найти точки пересечения отрезка и наклонного эллипса, в случае если эллипс не наклонный то всё сводилось к решению системы уравнений эллипса и прямой и в последствии, если найдены точки, то принадлежат ли они квадрату диагоналлю которого является данный отрезок, но с наклонным элипсом возникла проблема: я не смог найти уравнение описывающие наклонный эллипс.
Буду благодарен за любую помощь.

Пусть у нас исходная система координат $Oxy$. С "повёрнутым" эллипсом свяжем систему координат $Ox'y'$, в которой оси эллипса лежат на осях $Ox'$ и $Oy'$ (предполагаем пока, что центр эллипса совпадает с началом системы $Oxy$, то есть, с точкой $O$). В этой системе координат уравнение эллипса имеет канонический вид:

$$\frac{x'^2}{a^2}+\frac{y'^2}{b^2}=1.$$

Предположим, что система $Ox'y'$ получается поворотом системы $Oxy$ на угол $\alpha$ в положительном направлении. Координаты $x',y'$ выражаются через $x,y$ так:

$$\begin{cases}x'=x\cos\alpha+y\sin\alpha,\\ y'=-x\sin\alpha+y\cos\alpha.\end{cases}$$

подставляя эти выражения в каноническое уравнение эллипса, получим уравнение эллипса в системе $Oxy$:

$$\frac{(x\cos\alpha+y\sin\alpha)^2}{a^2}+\frac{(-x\sin\alpha+y\cos\alpha)^2}{b^2}=1.$$

Если центр эллипса находится в точке $(x_0,y_0)$, то в этом уравнении нужно заменить $x$ и $y$ на $x-x_0$ и $y-y_0$.

[Dock1100]

Спасибо.

[Sergeyqqqqq]

Подскажите пожалуйста формулу уравнения эллипсоида с углом наклона к оси 0х.

[Lia]

Sergeyqqqqq
Замечание за оффтоп.

Создавайте свои темы.

[Deggial]

Пост [e-mail] отделён в Карантин, поскольку формулы в нём не оформлены $\TeX$ом