Измеряем ли потенциал силы тяжести

[pauz]

Вопрос такой. По специальности я геодезист, а вопрос к физикам.
В теории фигуры Земли решается задача нахождения формы уровенной поверхности потенциала силы тяжести $W$. Напомню, что сила тяжести - это сумма силы гравитационного притяжения и вертикальной составляющей центробежной силы суточного вращения Земли. Она измеряется гравиметрами. А сама уровенная поверхность, проходящая через ноль высот, называется геоидом.
Мы, геодезисты, много чего умеем измерять с высокой точностью: саму $g$, её градиенты, превышения между пунктами - и, соответственно разности потенциалов силы тяжести (т.н. геопотенциальные величины), уклонения отвесной линии.... Несколько хуже, уже не нами, измерена гравитационная константа $G$, зато $GM$ известна хорошо ($M$ - масса Земли).

И мы СОВСЕМ не умеем измерять собственно потенциал $W$, хотя бы на уровне моря!

Для нахождения этой функции по измерениям $g$ была создана сложнейшая теория - Стоксом, потом Молоденским... А если бы можно было его непосредственно измерить (именно получать абсолютное значение $W$, в метрах квадратных на секунду квадратную - видите, не придумали даже единиц измерения!) - сколько проблем бы у нас, геодезистов, разом решилось!

Так вот, хочется спросить: это наше неумение носит фундаментальный характер, т.е. $W$ - это есть что-то принципиально неизмеряемое, или надо подождать развития технологии?

[Утундрий]

pauz в сообщении #967910 писал(а):

м^2/cек^2 - видите, не придумали даже единиц измерения!

Квадрат скорости, однако.

[Munin]

В физике его принято обозначать $\varphi.$ Ну или иногда похожими буквами.

Невозможность его измерить - принципиальная. Мы можем измерить только разность потенциалов в двух точках, но не сам потенциал. Если взять все потенциалы во всех точках, и прибавить к ним ко всем одинаковую константу, то физически ничего не изменится - поэтому, у абсолютного значения потенциала даже смысла нет. Это аналогично тому, как можно прибавлять произвольную константу к электрическому потенциалу, или к механической потенциальной энергии.

А разность потенциалов можно измерить, например, простыми сообщающимися сосудами. Если в двух точках потенциалы одинаковы, то в этих сосудах свободные поверхности жидкости будут находиться в равновесии.

[Oleg Zubelevich]

Если я правильно понимаю вопрос, то надо рассмотреть векторное поле

$$\overline g(A)=-[\overline \omega,[\overline \omega,\overline {OA} ]]-\gamma\frac{M}{|\overline{OA}|^3}\overline {OA}.$$

и проверить условие $rot\,\overline g=0$
$\gamma$ -- постоянная всемирного тяготения, $M$ -- масса Земли. $\overline \omega$ -- угловая скорость вращения Земли. $O$ -- центр Зели

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Карантин»
Причина переноса:
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Физика»
Причина переноса: никакой особой "дискуссионности" в теме нет.

[Geen]

(Munin)

Munin в сообщении #967936 писал(а):

Если взять все потенциалы во всех точках, и прибавить к ним ко всем одинаковую константу, то физически ничего не изменится

Кстати, а почему "калибровочный принцип" тут не "работает?"

[Pphantom]

pauz в сообщении #967910 писал(а):

Так вот, хочется спросить: это наше неумение носит фундаментальный характер, т.е. $W$ - это есть что-то принципиально неизмеряемое, или надо подождать развития технологии?

И да, и нет.

Аболютное значение потенциала - это тоже в некотором роде разность потенциалов, только между нужной нам точкой и местом, где значение потенциала принято нулевым. Соответственно, основная проблема при измерении потенциала (или разности потенциалов) - это нелокальность измерения, необходимо измерять что-то, зависящее от положения двух разных точек в пространстве сразу. Если же искать разность потенциалов между близкими точками, то, собственно, и получится измерение ускорения свободного падения (оно же градиент потенциала).

Можно предложить такую аналогию (вообще говоря, довольно точную). Каким образом можно измерить высоту некоторой точки над уровнем моря? Нивелирование (тригонометрическое или гидростатическое) позволяет определять разность высот, причем только близких точек (и это как раз аналог измерения ускорения свободного падения). Использование барометрической формулы и т.п. - очень неточно. В итоге прямых методов долго не существовало, а сейчас чем-то подобным может считаться разве что использование GPS (то, что для этого нужна хорошая теория земного гравитационного потенциала, мы пока забудем ).

В интересующей Вас задаче принципиально тоже можно сделать нечто аналогичное. Нужен какой-то удаленный репер, потенциал в котором можно считать нулевым (или просто известным), и метод, позволяющий непосредственно измерять разность потенциалов на репере и в нужной точке. Однако, боюсь, что единственный подходящий вариант - это измерение гравитационного фиолетового смещения излучения репера. Теоретически это возможно, практически - развития технологий придется ждать еще очень долго.

[Munin]

Geen в сообщении #968444 писал(а):

Кстати, а почему "калибровочный принцип" тут не "работает?"

Как это не работает? Это он и есть, точнее, его остатки, после того, как мы перешли от общих уравнений к стационарной задаче и специально выбранным дополнительным условиям.

В электродинамике в общем случае уравнения Максвелла, и калибровочная свобода задаётся скалярной функцией 4 переменных. Переходя к электростатике, мы выбираем $\partial\mathbf{A}/\partial t=0,$ и выражаем $\mathbf{E}$ только через $\varphi,$ и остаётся только константа, прибавляемая к потенциалу.

В гравитации в общем случае уравнения Эйнштейна, и калибровочная свобода (произвол выбора системы координат) задаётся, кажется, 4 скалярными функциями. Переходя к ньютоновскому приближению (играющему роль статики), мы выбираем все $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu},$ кроме $g_{00},$ который ${}=1+2\varphi,$ и остаётся только константа, прибавляемая к потенциалу.

-- 26.01.2015 17:57:14 --

Pphantom в сообщении #968445 писал(а):

Можно предложить такую аналогию (вообще говоря, довольно точную). Каким образом можно измерить высоту некоторой точки над уровнем моря? Нивелирование (тригонометрическое или гидростатическое) позволяет определять разность высот

В этой аналогии, мне кажется, надо подчеркнуть, что для "уровня моря" нужно это самое море :-) Если всю воду из морей убрать, то и "уровня моря" вообще никакого не будет. Надо будет налить на Землю какое-то произвольно выбранное количество воды, и тогда появится какой-то (но произвольно выбранный!) "уровень моря".

И кстати, в связи с глобальным потеплением и таянием льдов на планете, уровень моря меняется :-)

Pphantom в сообщении #968445 писал(а):

Однако, боюсь, что единственный подходящий вариант - это измерение гравитационного фиолетового смещения излучения репера. Теоретически это возможно, практически - развития технологий придется ждать еще очень долго.

Ну, эксперимент Паунда-Ребки был ещё в 1960 году, и дал 10 %-ную точность на разности высот 22,5 метров. Так что, на мёссбауэровском эффекте или на атомных часах это уже возможно, но точность явно не окупает усилий :-) И опять же, все такие измерения требуют выбора точки, относительно которой это смещение измеряется.

[Pphantom]

Munin в сообщении #968661 писал(а):

В этой аналогии, мне кажется, надо подчеркнуть, что для "уровня моря" нужно это самое море Если всю воду из морей убрать, то и "уровня моря" вообще никакого не будет. Надо будет налить на Землю какое-то произвольно выбранное количество воды, и тогда появится какой-то (но произвольно выбранный!) "уровень моря".

Конечно, привязка к морю конкретного уровня, принимаемого за нулевой, тут совершенно непринципиальна. Впрочем, и нынешний-то "уровень моря", вообще говоря, это тоже конкретная отметка на конкретной линейке под мостом в Кронштадте.

Munin в сообщении #968661 писал(а):

Ну, эксперимент Паунда-Ребки был ещё в 1960 году, и дал 10 %-ную точность на разности высот 22,5 метров.

Да, но это тоже недалеко ушло от локального измерения, фактически это еще один вариант нивелирования, но с экзотическим инструментарием.

[DimaM]

Munin в сообщении #968661 писал(а):

Ну, эксперимент Паунда-Ребки был ещё в 1960 году, и дал 10 %-ную точность на разности высот 22,5 метров. Так что, на мёссбауэровском эффекте или на атомных часах это уже возможно, но точность явно не окупает усилий

В 2010 с помощью атомных часов разница высот в несколько десятков см определялась.
Статья в Science (полный текст из дома не могу достать).

[SergeyGubanov]

Грузите высокоточные атомные часы в космический корабль, который улетает на расстояние нескольких световых месяцев от Солнца и останавливается там (делается неподвижным относительно Солнца). Далее с этого далёкого корабля в Солнечную систему постоянно посылается периодический сигнал - некий эталон сигналов точного времени.

В заданной точке над поверхностью Земли устанавливаете хронометр и приёмник сигнала с удалённых эталонных часов. Когда локальный хронометр отсчитает время $\Delta t_1$ удалённый эталонный хронометр отсчитает время $\Delta t_0$, они будут связаны соотношением

$$ \Delta t_1 = \Delta t_0 \, \sqrt{1 + \frac{2 \varphi}{c^2} }, $$

здесь $\varphi$ - более-менее "абсолютный" гравитационный потенциал, в котором учтены Земля, Луна, Солнце, вобщем вся Солнечная система. Гравитационный потенциал галактики не учтён, чтобы его учесть надо чтоб корабль с эталонными часами улетел в межгалактическое пространство.

[pauz]

"Уровня моря" не существует. Поверхность океана (для наших точностей) уровенной не является - тому есть десяток причин. Есть разрозненные точки начала счета разных систем высот, каждая из которых связана со "своим" морем (Кронштадт, Амстердам, Триест - это только в Европе).

Мы умеем определять разность потенциалов по наземным измерениям нивелированием (кстати, нивелирование горизонтальным лучом в геодезии называется геометрическим, в отличие от тригонометрического - где луч может быть наклонным и измеряется вертикальный угол) плюс измерением силы тяжести вдоль линии хода. При этом $W_0-W_P$ =$\int\limits_{O}^{P}gdh. (где $OP$ - линия хода)
Если начала счета высот разделены океаном, нивелирование не подходит. GPS, само собой, тоже не поможет, т.к. дает "не те" высоты. Единой системы так и нет.

[Pphantom]

pauz в сообщении #968754 писал(а):

Если начала счета высот разделены океаном, нивелирование не подходит. GPS, само собой, тоже не поможет, т.к. дает "не те" высоты. Единой системы так и нет.

Ну вот, стало быть, аналогия еще более полная. Простите за неточности в деталях, я все-таки не геодезист.

[pauz]

Вопрос вдогонку: правильно я понимаю, что квантово-оптические часы, за которые в том числе дали Нобелевскую премию в 2012 г. (David Wineland), и которые, судя по описанию, регистрируют изменение геопотенциала, эквивалентное изменению высоты на 30 см - всё равно не приближают нас к абсолютному определению потенциала? (подразумевается, что та самая константа равна нулю на бесконечности)
Вроде бы измеряется единственная величина: время/частота - во вполне абсолютных единицах...
Мы же умеем из тех же единиц определять абсолютное значение $g$ ...