Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма.

[Алексей К.]

Удалено, дабы не раздражать автора темы, который почему-то счёл этот пост оскорбительным.
Хотя, конечно, ничего и близкого к оскорблениям там не было.

AK.

----------------------- Всё устаканилось, восстановлю, пожалуй... через полтора года -----------------------

Семен писал(а):

Вы задаете четкие вопросы и даете понятные зaмечания, при этом не оскорбляя.

Вас, Семён, здесь никто не оскорблял --- я просмотрел всю тему, чтобы убедиться. Вас, возможно, обижали. Или даже не обижали --- просто некоторые ответы Вам было обидно читать. Оскорбляли других, но с Вами всё обошлось с редкой снисходительностью.
Мне тоже, например, говорили, --- "это не плов, это пародия на плов" (правда, всё равно сожрали). А я их теперь зову на "рисовую кашу (с мясом)".
Будьте в своей борьбе... мужественнее, что ли. Нет, слово "мужество" сюда как-то не очень лезет, а правильное слово сейчас в голову не приходит...

Ежели любезный Henrylee (или следующий оппонент) доведёт дело до конца, разубедит Вас, Вы потом на свои сообщения с жалобными нотками будете смотреть, слегка постыживаясь, что ли...

Добавлено спустя 14 минут 41 секунду:

Вот, например, Brukvalub Вам однажды писал(а):

А заголовок напомнил мне еще тогда поразившее меня название как-то виденной в детстве книжки: " Пятьдесят семь способов ремонта автомобиля "Запорожец" при помощи пробки из-под шампанского"

Что он имел в виду? А то, что "доказательство... при помощи рациональных и иррациональных чисел" --- это некая ерунда. А какие ещё числа бывают??? Так почти любую теорему можно оформить.
Что, теорема Пифагора не использует рациональных и иррациональных чисел?
Или теорема синусов не использует рациональных и иррациональных чисел?
Или в теоремах о равенстве треугольников нет рациональных и иррациональных чисел?
Что, бывают какие-то другие числа? (Ну да, у них там на мехмате преподают ещё какие-то комплексные числа, но он не об этом стебался).

Добавлено спустя 15 минут 51 секунду:

"Использование бинома Ньютона для доказательства теоремы Ферма" ещё как-то можно пропустить, но Вы уверены, что это уникально? Что все другие доказыватели до этого не допёрли?
Где Вы видели заголовок "использование подобия треугольников для доказательства теоремы Пифагора"?
Где Вы видели заголовок "использование формулы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ для доказательства теоремы Пифагора"?
Так что там, где Вы увидели только язвительность, было язвительное указание на глупость...
А уж в вопросе про "интерес к доказательству" --- это только Ваша вина.

Понимаю, что Вы жаждете сообщений "о реальных ошибках", но хотя бы поправьте заголовки на основе этого сообщения...

Добавлено спустя 16 минут 61 секунду:

Нет, не надо править заголовки, к биному уже все привыкли и по этому признаку распознают тему. Внутри темы можно поправить (удалить рациональных и иррациональных чисел), в будущем стоит учесть...

[Семен]

AV_77

Здравствуйте!

Semen писал(а):

А это значит, что для выполнения условия Ферма, минимальное натуральное $ k_2>=2.412...$

AV_77 писал(а):

Берем $ k_2=2$. Тогда $ X=k_2^2-1=3, Y=2*k_2=4, Z_2=k_2^2+1 = 5$ и $ 3^2+4^2=5^2$ .

Вы своим примером подтверждаете, что если $ k_2<2.412...$, то нарушается условие, принятое при док-ве, что$ X>Y$. A ,именно на этом условии построенно док-во, в т.ч. получены ур-ния (14) и (15).
У Вас $ k_2=2$, что меньше $ k_2=2.412...$. При этом $ X=3$, а $ Y=4$.

Добавлено спустя 52 минуты 3 секунды:

Применение Бинома Ньютона при доказательствe ТФ

Алексей К. из Противино писал(а):

Ср Янв 16, 2008 14:01:38 Заголовок сообщения: Обобщённый образ Семёна по материалам форума мехмата.
Добавлено: Пн Янв 21, 2008 01:53:57 Заголовок сообщения: Re: Применение Бинома Ньютона при доказательствe ТФ

Сейчас не хочу тратить время в ответ на твои оскорбительные, в мой адрес, разглагольствования. Но отвечу, когда посчитаю нужным, Писатель, а не читатель, Ты - Наш!

[TOTAL]

Семен писал(а):

Здравствуйте!

Семен, а не попробовать ли достичь взаимопонимания следующим образом. Вы, используя свой метод "Бинома Ньютона", доказываете теорему Ферма для частного случая. Скажем, докажите, что не существует положительных рациональных чисел $x, y, z$, для которых верно равенство $x^5+y^5=z^5$. Не ссылайтесь на свои другие посты, дайте доказательство только для этого частного случая.

[Henrylee]

Семен писал(а):

Henrylee писал(а):

Вы спросили в конце концов, где ошибки в параграфе 1. Если Вас устроит такой ответ : ошибок ("в содержании") там нет, так как ошибаться там не в чем. Ничего в этом параграфе нет (за исключением начальной посылки: пусть корни уравнения (9)имеют вид.)

Как же нет? А $ (Z_n - X) = m_n$,a
$ m_n^n+n*X*(m_n) $^{n-1}$+ ..+n*X$^{n-1}$*m_n - Y^n =0 $ (9),
a $m_n=Y/k_n$? Поясните, пожалуйста.

Под "ничего нет" я имел в виду, что нет ничего, что нужно необходимо понять или с чем не согласиться. Все, что там есть: 1. Вводятся последовательности, 2. Выводится уравнение, 3. Предполагается (но еще ничего не доказывается и не опровергается!), что существуют рациональные корни. 4. Рассматривается тривиальный случай $n=1$. Резюме: в параграфе 1 нет никаких научных результатов. Уже говорилось о том, что на параграф это не тянет, ну да и Бог с ним. Назвали и назвали. Вот собственно. комментарий. (Я попытался как можно понятней объяснить то, почему все-таки здесь Вас поняли не так, как Вы того хотели).
PS Если под "спец. по числам" Вы понимаете "спец. именно по Теории чисел", отвечу нет. Но вполне достаточно понимать в математике вообще, чтобы были видны неточности изложения, которые у Вас присутствуют.
Найду время, позже прокомментирую еще, но очень советую прислушаться к рекомендации TOTAL. Действительно, доказательство для частного случая во -первых короче, во-вторых воспринимается легче, а кроме того, если в него заложена идея для общего случая, то, уверяю Вас, ее здесь все поймут даже без выкладывания док-ва для общего случая.

[Семен]

TOTAL писал(а):

Семен, а не попробовать ли достичь взаимопонимания следующим образом. Вы, используя свой метод "Бинома Ньютона", доказываете теорему Ферма для частного случая. Скажем, докажите, что не существует положительных рациональных чисел X, Y, Z, для которых верно равенство $X^5+Y^5=Z^5$. Не ссылайтесь на свои другие посты, дайте доказательство только для этого частного случая.

Если Вы согласны с выводами параграфа 2 в предложенном ранее док-ве для n=2, то предлагаю такое решение :
В БР,(см. параграф 2), наименьшее натуральное $k_2=3$. Пользуясь ур-ниями (14), (15) и (16) определим в БР для $k_2=3 : X=8, Y=6, Z_2=10$. А $ m_2$, в БР, всегда, даже при иррац. $k_2$, равно двум. T.е. $m_2=2$. Если предположить, что в БР $Z_5$ - натyральное число, то $m_5=1$. Воспoльзyемся ур-нием (9b). Тогда, для n=5, оно примет вид: $5*X^4*m_5-Y^5=5*8^4*1+6^5=20480-7776=12704$.
Это значит, что только наибольшая положительная часть ур-ния (9), больше всей отрицатльной, на 12704. Т.е. $m_5$ не равно 1, ур-ние (9) не имеет в этом случае, натурального корня, а $Z_5=(X+m_5)$ не может быть натуральным числом в БР. Если же рассматривать Ваш пример для $ k_2=4, k_2=5$ и т.д., то разница только увеличится. Т.е, в БР, $Z_5$ не может быть натуральным числом.
Я попытался рассмотреть док-во только для n=5 совместно с n=2. B принципе получается одно и то же.
Здесь док-во только для БР.

[Henrylee]

Семен Посмотрите, о чем Вас просили:

TOTAL писал(а):

Не ссылайтесь на свои другие посты

А у Вас опять куча ссылок на БР, уравнения итд.
Я думаю, мы так далеко не уедем. Видимо поторопились даже с $n=5$. Разъясните-ка сначала параграф 2. Замечания ( по возможности "не обращая внимания на форму") у меня вот какие: (насколько я понял суть параграфа 2, переведя его на математический язык)
1. Утверждение: Пусть $k_2$ - произвольное натуральное число. Выберем $X$ и $Y$ следующего вида: $X:=k_2^2-1,~Y:=2k_2$. Тогда $m_2=Y/k_2$ является корнем уравнения $m_2^2+2Xm_2-Y^2=0$. Это по предположению сделанному выше будет означать существование рац. решений. Наконец, находятся натуральные числа $X=k_2^2-1,~Y=2k_2,~Z=k_2^2+1$, такие, что выполняется

$$ \begin{equation} X^2+Y^2=Z^2 \label{1} \end{equation} $$

Резюме: Таким образом Вы нашли некоторые корни уравнения (1), что в общем-то тривиально.
2. Вы составляете БР из $X$ и $Y$ специального вида (см. выше). Вы будете его использовать дальше? Для чего? Чтобы доказать, что ЭТИ $X$ и $Y$ не являются решением (1) для бОльших степеней? Тогда это не будет док-вом т. Ферма. Нужно проверять ВСЕ $X$ и $Y$, а не только эти. Если здесь где-то я понял Вас неверно, поправьте меня.

[TOTAL]

Семен писал(а):

TOTAL писал(а):

Семен, а не попробовать ли достичь взаимопонимания следующим образом. Вы, используя свой метод "Бинома Ньютона", доказываете теорему Ферма для частного случая. Скажем, докажите, что не существует положительных рациональных чисел X, Y, Z, для которых верно равенство $X^5+Y^5=Z^5$. Не ссылайтесь на свои другие посты, дайте доказательство только для этого частного случая.

Если Вы согласны с выводами параграфа 2 в предложенном ранее док-ве для n=2, то предлагаю такое решение :

Пожалуйста, не ссылайтесь на свои параграфы. Отзывы на них снова покажутся Вам оскорбительными.

[Семен]

Henrylee писал(а):

1...

Ответ по п.1: Вы правильно поняли. Но это относится только к БР, с условием,что X и Y - натуральные числа. Эти же X и Y являются в этом же БР равноправными членами ур-ний не только для n=2, но и для n=3,...,n. Затем, подставляя эти X и Y в ур-ние 9, с n=3, n=4,...,n, определяeм рациональность элементов, именно этого ПМ (БР):$ Z_3, Z_4,...,Z_n$, с теми же X и Y, что и для n=2.
Прилагаю ссылку рис 1, в которой показан Базовый ряд c элементами этого ряда: $ Z_1, Z_2, Z_3, Z_n, Z_p $. Подробно вce изложено в док-ве из 17 страниц. Но всех так страшит объем, что мне пришлось на Форум выслать 5-ти страничный экземпляр.

$k_2 $в БР может быть дробным рац. числом, но обязательно больше 2,412... В этом случае, в БР, X и Y, (не всегда), будут дробными рац.числами. Но в Подобных рядах (предполагаю, что об этом Вы еще не читали), увеличенные в необходимое число раз, X, Y и Z могут быть натуральными числами. X и Y, определенные по ур-ниям БР и Подобных рядов, являются равноправными членами ур-ний не только для n=2, но и для n=3,...,n.

Henrylee писал(а):

Резюме: Таким образом, Вы нашли некоторые корни уравнения (1), что в общем-то тривиально.

Определены все рациональные корни. Ограничение для них:
$2.412...<k_2<Y$.

Henrylee писал(а):

2. Вы составляете БР из X и Y специального вида (см. выше). Вы будете его использовать дальше? Для чего? Чтобы доказать, что ЭТИ X и Y не являются решением (1) для бОльших степеней? Тогда это не будет док-вом т. Ферма.

Наоборот, я их использую, чтобы доказать, что элементы бОльших степеней не могут быть натуральнми числами. A т.к. в любом БР $m_2=2$, то, используя это и, подставляя $m_n=1$, при любом $n>=3$, доказываю (как мне кaжется) ТФ.

Henrylee писал(а):

Нужно проверять ВСЕ X и Y, а не только эти. Если здесь где-то я понял Вас неверно, поправьте меня.

Нет, не надо все. Но это связано с Подобными рядами . О чем, если мне повезет, а у Вас хватит терпeния, будем разговариаать позже.
http://img526.**invalid link**/img526/4968/dtf20eu1.gif

Добавлено спустя 11 минут 26 секунд:

Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Фермa

TOTAL писал(а):

Пожалуйста, не ссылайтесь на свои параграфы.Отзывы на них снова покажутся Вам оскорбительными

Я ПОСТАРАЮСЬ ОТВЕТИТЬ, КАК ВЫ ЖЕЛАЕТЕ. НО НА ЭТО МНЕ НУЖНО ВРЕМЯ.

[Henrylee]

Из Ваших объяснений я ничего не понял. Вы не даете четкого определения БР, говорите странные фразы о равноправии членов уравнения, увеличение "в необходимое число раз". Умалчивая о форме, все равно хочется к каждому слову задавать вопрос: что это и почему это так. Поэтому я пока воздержусь от комментариев и дождусь Вашего док-ва, обещанное TOTAL.

[Семен]

TOTAL писал(а):

Не ссылайтесь на свои другие посты

Рассматривать будем совместно для n =2 и n =5.
Дано: $Z^2 =X^2 +Y^2 (1), Z^5 =X^5 +Y^5 (1a) $,
$ X, Y $ – натуральные числа.
Требуется доказать: $Z_5 =$\sqrt[5]{X^5+Y^5}$ $ не может быть целым положительным числом.
Доказательство:
Принимаем при доказательстве: $ X > Y$. Из (1) и (1а):
$Z_2 =$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ (2), Z_5 =$\sqrt[5]{X^5+Y^5}$ $ (2a).
Обозначим разницу, между $ Z_2 $ и $ X $, символом $m_2$. Тогда: $ (Z_2 - X)=m_2 $ (3).
Обозначим разницу, между $ Z_5 $ и $ X $, символом $m_5$. Тогда: $ (Z_5 - X)=m_5 $ (3a).
Тогда: $ Z_2 = (m_2 + X ) (4), a Z_5 = (m_5 + X ) $ (4a)
T.e.: $(m_2 + X)= $\sqrt[]{X^2+Y^2}$ (5), a (m_5+X)=$\sqrt[5]{X^5+Y^5}$$ ( 5a).
Возведя левую и правую части ур-ния (5) в квадрат, получим уравнение:
$ m_2^2+2*X*m_2 $ - Y^2= 0 $ (6).
Возведя левую и правую части ур-ния (5а) в 5-ую степень, получим уравнение:
$ m_5^5+5*X*m_5^4+10*X^2*m_5^3+10*X^3*m_5^2+5*X^4*m_5-Y^5=0 $ (6a). Предположим, что в (6) $ Z_2$ - натуральное число. Тогда и $m_2$ будет натуральным числом. При этом, $1<=m_2<Y$.
Предположим, что и в (6а) $ Z_5$ - натуральное число. Тогда и $m_5$ будет натуральным числом. При этом, $1<=m_5<Y$.
Найдём возможные рациональные корни: для (6) - это: $ Y/k_2$,
а (6а) - это: $ Y/k_5$. Проверим предположение о том, что $ m_2=Y/k_2 $ (7) и $ m_5=Y/k_5 $ (7а) могут быть натуральными числами. Предварительно отметим:
$ m_2*k_2=m_5*k_5, m_2>m_5, k_2<k_5 $.
$ k_2>1/( $\sqrt[]{2}$-1), a k_5>1/($\sqrt[5]{2}$-1) $, т.к. в противном случае X<Y. Из вышеизложенного видно: в (6) и в (6а) X и Y - одни и те же натуральные числа. Поэтому $Z_2 =$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (2) и $ Z_5 =$\sqrt[5]{X^5+Y^5}$ $ (2a) являются элементами одного Подмножества.Эти элементы отличаются друг от друга только показателями степени.
Теперь приступим к раздельному рассмотрению ур-ния (6) и ур-ния (6а).
Сначала рассмотрим уравнение $ m_2^2+2*X*m_2 $-Y^2=0 $ (6):
Проверим на рациональность корень $ Y/ k_2 $, подставив его вместо $ m_2 $ в уравнение (6).
Получим: $ 2* k_2* X - Y*( k_2^2 -1)= 0 $ (8)
Перенеся число $ Y*( k_2^2 -1) $ в правую сторону уравнения (8), получим: $ 2* k_2*X=Y*( k_2^2 -1) $ (9)
Составим пропорцию: $ X/Y= ( k_2^2 -1)/ 2* k_2 $ (10)
Как один из вариантов уравнения (10), принимаем:
$ X=(k_2^2 -1) $ (11)
$ Y= 2* k_2 $ (12)
При дальнейших расчётах, этот вариант будем называть– Базовым рядом. Базовым рядом названо Подмножество, состоящее из элементов $ Z_1, Z_2, Z_3, Z_4, Z_5,..., Z_(n-1), Z_n $.. При этом, X и Y во всех элементах имеют одно и тоже численное значение и определяются по ур-ниям БР, {см. (11) и (12)}. B БР $ k_2 $ – натуральное число, т.к. в противном случае, X будет дробным числом.
Для проверки рациональности корня $ Y/k_2 $, подставим (11) и (12) в уравнение (2). Получим:
$Z_2=( k_2^2 + 1) $ (13).
Здесь $ Z_2 $ – натуральное число. Полученный результат доказывает, что, в БР, при натуральном корне $ m_2=Y/k_2 $, число $ Z_2 $ является натуральным числом уравнения (2).
Теперь определим $ m_2$ для Базового ряда:
$ m_2=(Z_2-X )=( k_2^2+1) - ( k_2^2-1)=2 $. Т.е., в Базовом ряду,
всегда: $ m_2=2 $ (13)
Вернёмся к уравнению (9). Из этого уравнения определяем:
$ Y=2*k_2* X /( k_2^2 -1) $ (14)
В БР это уравнение показывает взаимную зависимость натуральных значений, $ X, Y $ и $ Z_2 $ от натурального числа $ k_2 $, при натуральном корне $ m_2=Y/k_2 $. Это вариант, в котором, при натуральных $ X $ и $ Y $, соответствующем натуральном корне $ m_2=Y/k_2 $ и показателе степени $ n=2$, $ Z_2 $ будет натуральным числом.
Уравнение (14) открывает возможность определять все натуральные и рациональные (дробные) значения $ Z_2 $ в уравнении $ Z_2=$\sqrt{X^2+Y^2}$ $, в зависимости от численного значения (рационального) $ k_2 $, равного $ Y/ m_2 $. В этом случае в Базовом ряду, всегда:
$ m_2=(Y/k_2)=2, X=( k_2^2 -1), Y=2*k_2, Z_2=( k_2^2 + 1) $.
Для определения натуральных $X $ и $ Y $ в БР назначают натуральное число $ k_2>= 3 $, затем находят, для Базового ряда, $ X =( k_2^2 -1), Y=2*k_2, Z_2=( k_2^2 +1) $. В Базовый ряд входят $ Z_1, Z_2, Z_3, Z_4, Z_5,..., Z_(n-1), Z_n $.
Необходимо подчеркнуть, что в Базовом ряду, всегда, $ Z_2= (X+2) $. Это можно использовать для быстрого нахождения $ Z_2 $.
Примечание: В БР, при рациональном (дробном) значении $ k_2: X, Y, Z_2$ всегда, будут рациональными числами. В БР все рац. корни являются рациональными корнями уравнения (2), при условии, что $ Y>k_2>1/( $\sqrt[]{2}$-1) $, Теперь проверим: «Может ли $ Z_5 $ быть натуральным числом в уравнении $ Z_5 =$\sqrt[5]{X^5+Y^5}$ $ (2a)?» Определим в БР численное значение $ X, Y, $ по ур-ниям Базового ряда: $ X =( k_2^2 -1), Y=2*k_2 $, подставив в них минимальное натуральное численное значение $ k_2=3 $. Получим: X=8, Y=6.
Примем, что $ m_5=1 $, т. к. в БР $m_2 =2 $. Оставив в уравнении (6а) только наибольший, положительный элемент и всю отрицательную часть получим: $ 5*X^4*m_5-Y^5=0 $ (6b). Подставив в (6b): X=8, Y=6, $ m_5=1 $, имеем:
20480-7776=12704. А это значит, что уравнение (6b) - ложно.
Т. е. $ m_5 $, при $ k_2=3 $, не может быть натуральным числом в БР. А значит и $ Z_5 $ не может быть натуральным числом в БР. В БР, при подстановке в (6а) или в (6b) $ m_5=1 $ и $ k_2=4, k_2=5 $ и т.д., разница между положительной и отрицательной частями этих уравнений возрастает.
Это доказательство неполно, т.k. касается только Подмножества, названного Базовым рядом. Поэтому, после ознакомления с этим док-вом, надо еще рассмотреть как будут вести себя элементы $ Z_2_p_r, Z_5_p_r $ в Подмножествax, названныx подобными рядами. В этом доказательстве я не показал, как находил рац корни $ m_2=Y/k_2 $ и $ m_5=Y/k_5 $. Если необходимо, то сообщу.

[Brukvalub]

Семен писал(а):

Дано: $Z^2 =X^2 +Y^2 (1), Z^5 =X^5 +Y^5 (1a) $

Уже это предположение абсурдно и к утверждению ПТФ отношения не имеет. Дальше можно не читать.

[Семен]

Brukvalub писал(а):

$Z^2 =X^2 +Y^2 (1), Z^5 =X^5 +Y^5 (1a) $,
Уже это предположение абсурдно и к утверждению ПТФ отношения не имеет. Дальше можно не читать.

Это не предположение, а факт. Почему не может быть $Z^2 =15^2 +8^2 (1), Z^5 =15^5 +8^5 (1a) $?
Уж, больно Вы шустры в своих заключениях. Это Вам не " Пятьдесят семь способов ремонта автомобиля "Запорожец" при помощи пробки из-под шампанского". Это не мои, это Ваши слова.

[Brukvalub]

Семен писал(а):

Почему не может быть $Z^2 =15^2 +8^2 (1), Z^5 =15^5 +8^5 (1a) $?

Так Вы и этого не знаете, наверное в выпускном классе средней школе плохо учили показательную функцию. Вот сначала ее подучите, а уж потом за теорему Ферма и бином Ньютона беритесь Хотя, боюсь, что не осилите, поэтому сам Вам все разжую.
Пусть

\[ Z^2 = X^2 + Y^2 \Leftrightarrow 1 = (\frac{X}{Z})^2 + (\frac{Y}{Z})^2 \Rightarrow 1 > (\frac{X}{Z})^5 + (\frac{Y}{Z})^5 \Leftrightarrow Z^5 > X^5 + Y^5 \]

Так что с ремонтом Запорожца я был очень даже своевременен

[Henrylee]

Семен писал(а):

Рассматривать будем совместно для n =2 и n =5.
Дано: $Z^2 =X^2 +Y^2 (1), Z^5 =X^5 +Y^5 (1a) $,
$ X, Y $ – натуральные числа.

Brukvalub прав, во-первых это абсурд, в такой записи это не выполняется ни при каких положительных $X,Y,Z$, тем более для целых. Во-вторых, у Вас там дальше кажется есть $Z_2$ и $Z_5$. Поэтому первые две строчки вообще надо убрать.

Без этих двух строк дальше все понятно, тривиально и обсуждалось раньше.
До этой фразы:

Семен писал(а):

Предположим, что в (6) $ Z_2$ - натуральное число.

Этим предположением Вы автоматически исключаете из рассмотрения все пары $(X,Y)$, для которых $Z_2$ не целое. Ну а дальше Вы делаете еще одно предположение:

Семен писал(а):

Предположим, что и в (6а) $ Z_5$ - натуральное число.

Таким образом, Вы делаете предположение о разрешимости уравнения Ферма для некоторых пар $(X,Y)$.
Дальше уже не важно, придете Вы к противоречию или нет - к ТФ это уже не относится. Поэтому читать не стал. Давайте остановимся на
этом месте. Прокомментируйте Ваши предположения. Либо обоснуйте, либо выбросьте их.

[Семен]

Henrylee писал(а):

Из Ваших объяснений я ничего не понял. Вы не даете четкого определения БР, говорите странные фразы о равноправии членов уравнения, увеличение "в необходимое число раз". Умалчивая о форме, все равно хочется к каждому слову задавать вопрос: что это и почему это так. Поэтому я пока воздержусь от комментариев и дождусь Вашего док-ва, обещанное TOTAL.

Например: : $ X =24, Y=10 $. Тогда ПМ $Z_n=$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $ будет выглядеть:
$Z_1=24+10 $, $Z_2 =$\sqrt[]{24^2+10^2}$ $, $Z_3 =$\sqrt[3]{24^3+10^3}$$, $Z_4=$\sqrt[4]{24^4+Y10^4}$$, $Z_5=$\sqrt[5]{24^5+10^5}$$,..., $Z_n=$\sqrt[n]{24^n+10^n}$$.
В ПМ, которое названо Базовый ряд, определена закономерность, дaющая возможность определять натyральные (и не только) численные значения X и Y по ур-ниям БР: $ X=(k_2^2 -1) $ и
$ Y=2* k_2$, задав натyральные (и не только) численные значения
$k_2=3, k_2=4, k_2=5 $и т.д. Рассмотрим примеры:
Пример1-ый: $k_2=8$, тогда: X=63, Y=16. Здесь элементы БР:
$Z_1=63+16, $Z_2=$\sqrt[]{63^2+16^2}$$,
$Z_3=$\sqrt[3]{63^3+16^3}$$,..., $Z_n=$\sqrt[n]{63^n+16^n}$$.
Пример 2-ой: $k_2=11$, тогда: X=120, Y=22. Здесь элементы БР:
$Z_1=120+22$, $Z_2=$\sqrt[]{120^2+22^2}$$,
$Z_3=$\sqrt[3]{120^3+22^3}$$,..., $Z_n=$\sqrt[n]{120^n+22^n}$$.
Задаваясь любым натуральным значeнием $k_2 $ можно создать бесчисленное множество Базовых рядов с натуральными $ X, Y, Z_2$. А с этими X и Y получить соответствующие элементы в соответствующем БР. На остальные вопросы я смогу дать ответ, когда Вы ознакомитесь с другими разделами док-ва.