Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма.

[Henrylee]

У Вас базовый ряд один или их много? Какой базовый ряд Вы имеете в виду здесь:

Семен писал(а):

В §1 есть такая фраза: » Предположим, что в М-ве (3) $ Z_n $- натуральное число. » Используя это предположение, по уравнениям (14) и (15), находим натуральные пары $X $ и $ Y $, доказываем, на мой взгляд, ошибочность предположения, что $ Z_3,...,Z_(n-1), Z_n $ могут быть натуральными числами в Базовом ряду.

А какой здесь:

Семен писал(а):

2.

Henrylee писал(а):

Что (конкретно: какой математический или логический вывод/результат) Вы получаете, рассматривая случай $ n=2 $.?

Получаем Подмножество, названное - Базовый ряд. Получаем уравнения (14) и (15), определяем коэф. Базового ряда - $ k_2$, который равен $ Y/2$, определяем в Базовом ряду - $ m_2$, определяем в Базовом ряду - $ Z_2$.
Всё это позволяет определить в Базовом ряду натуральные пары $ ( X, Y )$ и $ m_n $, что используется в доказательстве ТФ.

Или это один и тот же?

[Семен]

Henrylee писал(а):

У Вас базовый ряд один или их много? Какой базовый ряд Вы имеете в виду здесь:....А какой здесь:...Или это один и тот же?

Их много.
Конкретный Базовый ряд зависит от численной величины коэффициента БР $ k_2 $ .
С этим же постом направляю в Ваш и TOTALa адрес письмо. Надеюсь, что все прояснится.

Henrylee и TOTAL, здравствуйте!
Подведём итог дискуссии от начала док-ва до §2, включительно.
Если Вы будете не согласны или у Вас возникнут вопросы, то прошу сообщите.
Рассмотрим кратко только основные элементы этой части док-ва.
Рассматривать в Подмножестве, названном Базовый ряд (БР), будем только натуральные величины (X,Y). Итак:
1. Зафиксированы натуральные числа $ Z_n (X, Y) $ и множество всех чисел вида $Z_n =$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $,
$n=1, 2, 3,…$. Обозначим $ Z_n (X, Y) $.
2. Учтено, что $ (X> Y) $.
3. Получено уравнение (9), общее для всех $ Z_n (X, Y) $, с учётом, что $ Z_n=(m_n+X) $ и $Z_n =$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $.
4. Определён рациональный корень ур-ния (9): $ m_n=Y/k_n $.
5. Из (9) получено ур-ние $2*X*m_2+m_2^2-Y^2$=0 (10).
6. После подстановки в (10) рац. корня $ m_2=Y/k_2 $, получены уравнения для определения пар $ X=(k_2^2 - 1) $ (14) и $ Y=2*k_2 $ (15) в Подмножестве, названном Базовый ряд (БР).
7. Определено, что в БР $ Z_2=(k_2^2+1) $ (16).
8. Определено, что в БР, всегда, число: $ m_2=2 $ (16а).
9. Для выполнения условия $ X>Y $ должны быть:
$ k_2>1/($\sqrt{2}$ - 1)=2.4142...$,
$ k_3>1/($\sqrt[3]{2}$ - 1), k_4>1/($\sqrt[4]{2}$ - 1),…, k_n>1/($\sqrt[n]{2}$ - 1)$. В связи с этим, минимальное численное значение натурального $ k_2 $ должно быть: $ k_2=3 $. Т.е., оно может быть: $ k_2=3, k_2=4, k_2=5, k_2=6, $ и т.д.
Теперь подробней о Базовых рядах. Каждое $ k_2 $ образует БР. А т.к. натуральных численных значений $ k_2 $ – множество, то и Базовых рядов с соответствующими парами
$ X, Y $, тоже множество. Рассмотрим примеры:

Пр.1. Дано: $ k_2=3 $, тогда по (14) и (15) определяем пару $ X, Y $, а именно: $ X=8, Y=6 $. По (16) определяем, что в этом БР $ Z_2=10 $, а
$ m_2=Z_2-X=10-8=2 $. БР будет выглядеть следующим образом:
$ Z_1=8+6, $, $ Z_2 = $\sqrt{8^2+6^2}$ $ ,
$Z_3 =$\sqrt[3]{8^3+6^3}$ $,...,
$ Z_n =$\sqrt[n]{8^n+6^n}$ $.

Пр.2. Дано: $ k_2=4 $, тогда по (14) и (15) определяем пару $ X, Y $, а именно: $ X=15, Y=8 $. По (16) определяем, что в этом БР $ Z_2=17 $, а
$ m_2=Z_2-X=17-15=2 $. Этот БР будет выглядеть следующим образом:
$ Z_1=15+8, $, $ Z_2 = $\sqrt{15^2+8^2}$ $ ,
$Z_3 =$\sqrt[3]{15^3+8^3}$ $,...,
$ Z_n =$\sqrt[n]{15^n+8^n}$ $.
Пр.3. Дано: $ k_2=5 $, тогда по (14) и (15) определяем пару $ X, Y $, а именно: $ X=24, Y=10 $. По (16) определяем, что в этом БР $ Z_2=26 $, а
$ m_2=Z_2-X=26-24=2 $. Этот БР будет выглядеть следующим образом:
$ Z_1=24+10, $, $ Z_2 = $\sqrt{24^2+10^2}$ $ ,
$Z_3 =$\sqrt[3]{24^3+10^3}$ $,...,
$ Z_n =$\sqrt[n]{24^n+10^n}$ $.
Обратите внимание:
1.Чем больше $ k_2 $, тем больше разница между соответствующими $ X $ и $ Y $. Т.е.,
$ X $ растёт стремительней, чем $ Y $.
2. $ m_2 $, независимо от величины $ k_2 $, всегда, равен 2. Этим обстоятельством мы воспользуемся при док-ве ТФ, учитывая, что в Базовых рядах $ Z_2>Z_3>Z_4>…>Z_n $. Поэтому $ m_2> m _3> m _4>…> m _n $.
3. А, т.к. в любом БР $ m_2=2 $, то на участке множества от $ Z_3 $ до $ Z_n $, а это зона действия теоремы Ферма, остаётся только одно натуральное $ m_n=1 $, что и используется для док-ва ТФ.

Если Вы согласны с тем, что выше изложено, и если нет вопросов, то можем приступить к обсуждению §3 и решения примера TOTALa с $ Z_5 $.

[AV_77]

Семен, насколько я понял, вы делаете следующее.

1. Рассмотрим множество $M = \{ (a, b)\ | \ a, b \in \mathbb{N},\ a < b \}$.
2. Для каждого элемента $(a, b) \in M$ определим последовательность $z(a,b) = \{ z_n(a, b) \}$, где $z_n(a,b) = \sqrt[n]{a^n + b^n}$.
3. Последовательность $z(a^2-1, 2a)$ при $a > 2$ называем базовым рядом. Если $z(a,b)$ - базовый ряд, по последовательность $z(ka, kb)$ при любом рациональном(?) $k$ называется подобным рядом.
4. Доказываем, что если $z(a,b)$ - базовый (или подобный) ряд, то $z_n(a,b) \in \mathbb{Q}$ тогда и только тогда, когда $n = 1,\ 2$.

Просьба уточнить, так ли это.

[TOTAL]

Семен писал(а):

2. $ m_2 $, независимо от величины $ k_2 $, всегда, равен 2. Этим обстоятельством мы воспользуемся ...

$X_2=12, Y_2=5, Z_2=13, m_2=1$

[Henrylee]

$X_2=16,~Y_2=12,~Z_2=20,~m_2=4$

[Семен]

TOTAL писал(а):

Семен писал(а):
2.$m_2 $, независимо от величины$ k_2 $, всегда, равен 2. Этим обстоятельством мы воспользуемся ...

$X_2 =12, Y_2=5, Z_2=13, m_2=1 $

Это не Базовый ряд, это Подмножество, названное мной- Подoбным рядом. Подобные ряды рассматриваются в § 5.
Ваша запись будет выглядеть так: $X_p_r =12, Y_p_r=5, Z_2_p_r=13, m_2_p_r=1 $. Этот Подобный ряд подобен Базовому : $X=24, Y=10, Z_2=26, m_2_=2, k_2=5 $. . При этом коэффициент Подобного ряда $ d = 0.5 $.

Henrylee писал(а):

$X_2 =16, Y_2=12, Z_2=20, m_2=4 $

Это не Базовый ряд, это Подмножество, названное мной- Подoбным рядом. Подобные ряды рассматриваются в § 5.
Ваша запись будет выглядеть так: $X_p_r =16, Y_p_r=12, Z_2_p_r=20, m_2_p_r=4 $. Этот Подобный ряд подобен Базовому : $X=8, Y=6, Z_2=10, m_2=2, k_2=3 $. . При этом коэффициент Подобного ряда $ d = 2 $.

[TOTAL]

Семен писал(а):

2. $ m_2 $, независимо от величины $ k_2 $, всегда, равен 2. Этим обстоятельством мы воспользуемся при док-ве ТФ, учитывая, что в Базовых рядах $ Z_2>Z_3>Z_4>…>Z_n $. Поэтому $ m_2> m _3> m _4>…> m _n $.
3. А, т.к. в любом БР $ m_2=2 $, то на участке множества от $ Z_3 $ до $ Z_n $, а это зона действия теоремы Ферма, остаётся только одно натуральное $ m_n=1 $, что и используется для док-ва ТФ.

Мы можем, конечно, считать, что всегда $Z_2-X_2=2$, но в этом случае нельзя ограничиваться только целыми $Z_2, X_2$. Поэтому непонятная фраза

Цитата:

на участке множества от $ Z_3 $ до $ Z_n $, а это зона действия теоремы Ферма, остаётся только одно натуральное $ m_n=1 $

становится еще непонятней.

[Семен]

TOTAL писал(а):

…становится еще непонятней.

В посте от 3. 02.08 я просил:"Рассматривать в Подмножестве, названном Базовый ряд (БР), будем только натуральные величины (X,Y).” Подтверждаю, что в БР $ m_2=2 $, не только при рац $ k_2 $, но и при иррац. $ k_2 $.
Пример для рац.(дробного): $ k_2 =3.7$.. Тогда X=12.69, $ Z_2 =14.69, m_2=2, Y=7.4 $. T. k. $ m_2>m_3>m_4>…>m_n $,то можно предположить, что oдно из них натуральное и
может быть равно 1(ЕДИНИЦЕ).

[Семен]

AV_77 писал(а):

Просьба уточнить, так ли это.

Здравствуйте!
Я прошу написать тот же текст, но с буквенными симвoлами и индексами, как в док-ве.
Еще раз прочитайте, пожалуйста, док-во от начала до §2, включительно. А также прочитайте,
если не трyдно, переписку с TOTAL и Henrylee. После этого, я обязатeльно отвечу, тем более, что это нужно и мне.

[Henrylee]

Семен писал(а):

AV_77 писал(а):

Просьба уточнить, так ли это.

Здравствуйте!
Я прошу написать тот же текст, но с буквенными симвoлами и индексами, как в док-ве.
Еще раз прочитайте, пожалуйста, док-во от начала до §2, включительно. А также прочитайте,
если не трyдно, переписку с TOTAL и Henrylee. После этого, я обязатeльно отвечу, тем более, что это нужно и мне.

Забавно, а почему бы Вам не потрудиться говорить на нормальном языке и разобраться в том, что написал AV_77 ?

[Семен]

Henrylee писал(а):

Забавно, а почему бы Вам не потрудиться говорить на нормальном языке и разобраться в том, что написал AV_77 ?

Я только прошу написать тот же текст, но с буквенными симвoлами и индексами, как в док-ве. Тем более, мне представляется, что в п.п. 3 и 4 неточно трактуeтся док-во.

[Henrylee]

Поменяйте $a,b$ на $x,y$ вот и будут обозначения "как в доказательстве".

Добавлено спустя 1 минуту 27 секунд:

А, пардон
Не $x,y$, а $X,Y$. А $z$ на $Z$. Ну а с $M$ как-нибудь смиритесь.

Добавлено спустя 4 минуты 46 секунд:

Лады, вопроc AV_77 (с позволения автора вопроса) в "новых обозначениях, как в доказательстве"

1. Рассмотрим множество $M = \{ (X, Y)\ | \ X, Y \in \mathbb{N},\ X < Y \}$.
2. Для каждого элемента $(X, Y) \in M$ определим последовательность $Z(X,Y) = \{ Z_n(X, Y) \}$, где $Z_n(X,Y) = \sqrt[n]{X^n + Y^n}$.
3. Последовательность $Z(X^2-1, 2X)$ при $X > 2$ называем базовым рядом. Если $Z(X,Y)$ - базовый ряд, по последовательность $Z(kX, kY)$ при любом рациональном(?) $k$ называется подобным рядом.
4. Доказываем, что если $Z(X,Y)$ - базовый (или подобный) ряд, то $Z_n(X,Y) \in \mathbb{Q}$ тогда и только тогда, когда $n = 1,\ 2$.

[Семен]

Henrylee писал(а):

Поменяйте $a,b $ на $x,y $ вот и будут обозначения "как в доказательстве".

А, пардон
Не $x,y $, а $ X,Y $. А $ z $ на $ Z $. Ну а с $ M $ как-нибудь смиритесь.

Лады, вопроc AV_77 (с позволения автора вопроса) в "новых обозначениях, как в доказательстве"

Юмор- это хорошо! Ну, зачем же так?
А если серьезно, то не все и в этом сообщении, как в доказательстве, что, на мой взгляд, может привести к абсурду. Если еще кто-нибудь примет: Х-это $ c $, а У -это $ f $, то представьте, что будет с док-вом. Но не это главное. Дело в том, что все символы препутаны. И $ a $ не X, и $ b $ не Y.
Сравните: "Вот как должен выглядеть текст, пpисланный мне.":
1. Рассмотрим множество $ M=\{(X, Y) | X, Y \in\ N, X>Y } $.

2. Для каждого элемента $ (X, Y) \in\ M $ определим последовательность $ (X, Y) \in\ M Z (X, Y) = {Z_n(X,Y)} $, где
$Z_n(X,Y) = $\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $.
3. Последовательность $Z(X=k_2^2-1, Y=2*k_2) $ при $ k_2>1/($\sqrt{2}$ - 1)$ называем базовым рядом.
Если $ Z (X, Y) $ - базовый ряд, то последовательность $ Z_p_r (d*X, d*Y) $ при любом рациональном, именно так, $ d $ называется подобным рядом.
4. Доказываем, что если $ Z(X,Y) $- базовый (или подобный) ряд, то $ Z_n(X,Y) \in\ Q $ тогда, когда $ n=1, 2, 3, 4,…,n $.
Здесь, $ Q $-Пoдмножество, названное в док- ве: Блок подобных рядов.
Примечания:
1. Базовый ряд - это подобный ряд, в котором $ d=1$.
2. В доказательстве рассматриваются только положительные числа.

[Henrylee]

Ну что же, очень хорошо, что Вы начинаете отвечать более содержательно. В таком случае позвольте Ваш вариант несколько подправить.

1. Рассмотрим множество $ M=\{(X, Y) | X, Y \in\ N, X>Y\} $.

2. Для каждого элемента $ (X, Y) \in\ M $ определим последовательность $Z (X, Y) = \{Z_n(X,Y)\} $, где
$Z_n(X,Y) = \sqrt[n]{X^n+Y^n}$.
3. Пусть $k_2$ произвольное натуральное число, такое, что $k_2\geqslant 3$ (Это равносильно Вашему условию $ k_2>1/(\sqrt{2} - 1)$), $d$ - произвольное рациональное. Последовательность $Z_{br}(k_2)=Z(k_2^2-1, 2k_2) $ называем базовым рядом.
Последовательность $Z_{pr} (k_2, d)=Z(d(k_2^2-1), 2dk_2) $ назывем подобным рядом.
4. Доказываем, что все элементы всех подобных рядов принадлежат "Блоку подобных рядов"

Вопрос: Опишите Блок подобных рядов. Что это такое?

[Семен]

Henrylee писал(а):

Вопрос: Опишите Блок подобных рядов. Что это такое?

Спасибо за правку!
Я внес незначительные коррективы и заменил " $ d $ - произвольное рациональное число." на " $ d $ - произвольное натуральное число." Если у Вас нет возражений, то предыдyщиий пост будет выглядеть так:
1. Рассмотрим множество $ M=\{(X, Y) | X, Y \in\ N, X>Y } $.
2. Для каждого элемента $ (X, Y) \in\ M $ определим последовательность $ Z (X, Y) = {Z_n(X,Y)} $, где
$Z_n(X,Y) = $\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $.
3. Пусть $ k_2 $ произвольное натуральное число, такое, что $ k_2 >=3$, $ d $ - произвольное натуральное число. Последовательность $Z_b_r(k_2)=Z(k_2^2-1, 2*k_2) $ называем базовым рядом.
Последовательность $Z_p_r(k_2, d)=Z(d*(k_2^2-1, 2d*k_2) $ называем подобным рядом.
Если $ Z (X, Y) $ - базовый ряд, то последовательность $ Z_p_r (d*X, d*Y) $ при любом рациональном $ d $ называется подобным рядом.
4. Доказываем, что все элементы базовoгo рядa и всех, соответствующих ему, подобных рядов принадлежат "Блоку подобных рядов."
Когда будем разбираться с рац. (дробными) $ k_2 $, тогда и рассмотрим рац.(дробные) $ d $.

Теперь отвечаю на Ваш вопрос:
Pассмотрим на примерах:
Пример 1.
1. Задаем произвольное натуральное число $ k_2=4 $. Tогда в баз. pяду:
$ X=15, Y=8, Z_2=17, m_2= 2 $.
2. Задаем произвольное натуральное числo $ d=2 $
Получаем подобный ряд (буду писать без индексов - $_p_r$): $ X=15*2=30, 8*2=16, Z_2=17*2=34, m_2=2*2= 4, k_2=4 $.
3. Задаем произвольное натуральное числo $ d=3 $
Получаем следующий подобный ряд : $ X=15*3=45, 8*3=24, Z_2=17*3=51, m_2=2*3= 6, k_2=4 $.
4 Задаем произвольное натуральное числo $ d=4 $.
Получаем следующий подобный ряд : $ X=15*4=60, 8*4=32, Z_2=17*4=68, m_2=2*4=8, k_2=4 $ и т. д. Получаем бесконечое кол- во, подобных этому базовому ряду, (см. п1), рядов. При этом во всех подобных рядах $ k_2 $ остается неизменным и равным $ k_2 $ бaзового ряда. При этом, во всех подобных рядах $ Z_1, Z_3, Z_4,..., Z_n $ и $ m_1, m_3, m_4,..., m_n $ изменяются в $ k_2 $ раз. Все эти подобные ряды с базовым рядом и составляют Подмножество, названное- Блок подобных рядов. А $ k_2 $ называется - коэффициент блока подобных рядов. Также остаются неизменными в Блокe подобных рядов $ k_1, k_3, k_4,…,k_n $. Т.k. коэффициентов блока подобных рядов множество, то и блоков подобных рядов множество. При этом, во всех базовых рядах, независимо от численного значения, $ m_2=2 $. Блоки подобных рядов составляют Подможество, названное Сиcтемный ряд, который, в свою очередь, входит в Множество действительных положительных чисел Q.