Интеграл от модуля гауссовой кривизны

[Metford]

Оператор Ходжа мне известен.
Сходил по ссылке. Red_Herring, там про оператор, сопряжённый оператору внешнего дифференцирования, с помощью которого фактически формула Стокса формулируется - так? Он ставит в соответствие $k$-мерной цепи $(k-1)$-мерную цепь.

g______d, т.е. это то, что у Новикова и Тайманова в "Современных геометрических структурах и полях" называется ограничением на образ отображения?

[Red_Herring]

Metford в сообщении #962368 писал(а):

Сходил по ссылке. Red_Herring, там про оператор, сопряжённый оператору внешнего дифференцирования, с помощью которого фактически формула Стокса формулируется - так? Он ставит в соответствие $k$-мерной цепи $(k-1)$-мерную цепь.

Ну, для Стокса нужен только $d$. А вот для определения Лапласиана на формах нужны оба.

Но g______d, скорее всего прав: там вовсе не этот оператор.

[Metford]

Ясно, спасибо!

[g______d]

Metford в сообщении #962368 писал(а):

g______d, т.е. это то, что у Новикова и Тайманова в "Современных геометрических структурах и полях" называется ограничением на образ отображения?

Да, на странице 273 это объясняется, в том числе и гауссово отображение.

(Оффтоп)

Правда, я так и не понял, почему они обратный образ называют ограничением на образ; это же на самом деле перенос на прообраз. Кроме того, вводят эту операцию в точке (теорема 8.4), но не обсуждают, как она действует на тензорные или векторные поля. А это важный момент, в котором есть некоторая асимметрия: если $f\colon M\to N$, то $f^*$ переносит $k$-формы с $N$ на $M$. Но при этом нет естественного отображения, переносящего векторные поля с $M$ на $N$. И наоборот, $f$ индуцирует морфизм касательных расслоений $TM\to TN$, но не индуцирует морфизма кокасательных расслоений ни в какую сторону.

Это связано с тем, что векторное поле — это одновременно "ко" и "контра" - объект. Это функция, т. к. точке сопоставляется вектор. Функции отображаются в обратную сторону. С другой стороны, это дифференцирование алгебры функций, поэтому должно отображаться в сторону, противоположную той, в которую отображаются функции. Поэтому отдельные касательные векторы отображаются в прямом направлении, а векторные поля нет: если $f(x)=f(y)=z\in N$, то непонятно, какой из двух векторов брать в точке $z$: пришедший из точки $x$ или из точки $y$.

С формами такого не возникает, т. к. там обе части отображаются в одну и ту же сторону.

[VanD]

g______d в сообщении #962361 писал(а):

Здесь

очевидно, словом "кодифференциал" обозначается обратный образ (pullback) формы: если $f\colon M\to N$, то $f^*\colon C^{\infty}(\wedge^k T^*N)\to C^{\infty}(\wedge^k T^*M)$.

Кодифференциалом его называть, вообще, не принято.

Да, это он. Я заимствовал это название у П. Олвера в его "Applications of Lie groups to differential equations" но похоже оно и правда не общепринято.