Интеграл от модуля гауссовой кривизны

[Metford]

VanD в сообщении #959370 писал(а):

Фактически гауссова кривизна есть коэффициент пропорциональности между формой объема удовлетворяющей условиям теоремы поверхности (двумерная, связная, компактная, без края, ориентируемая) и результата действия кодифференциала гауссова отображения на форму объема сферы.

Про теорему Гаусса-Бонне я знаю. Только там ведь интеграл от кривизны, а не от модуля кривизны.
А где можно прочитать про утверждение, которое Вы сформулировали? Я с удовольствием попробую разобраться в этом.

[Metford]

Так. Кажется, становится понятнее. Если гауссова кривизна - якобиан сферического отображения, то интеграл по поверхности от модуля её гауссовой кривизны равен интегралу по образу этой поверхности при сферическом отображении. А этот интеграл равен площади поверхности сферы единичного радиуса, взятой столько раз, сколько сфера покрывается, грубо говоря, при рассматриваемом отображении. Каждое направление нормали на торе повторяется дважды, поэтому получается, что сфера покрывается дважды при отображении на неё тора. Поэтому интеграл равен $8\pi$.
Я понимаю, что формулировки у меня оставляют желать лучшего, но саму идею я понял верно?

[VanD]

Metford в сообщении #959381 писал(а):

Только там ведь интеграл от кривизны, а не от модуля кривизны.

Да, тут я с модулем промахнулся. А так Ваше рассуждение правдоподобное.

Metford в сообщении #959407 писал(а):

сфера покрывается, грубо говоря, при рассматриваемом отображении

Это можно формализовать. Это что-то близкое к понятию накрытия получается, но для окрестности нерегулярных значений не выполняется определение накрытия, зато их по теореме Сарда не больше, чем на меру 0 и наберётся. Только это всё таки не накрытие и возникает вопрос: когда мы считаем интеграл от модуля гауссовой кривизны, то видимо пытаемся пользоваться тем, что у каждого регулярного значения ровно 2 прообраза, но всегда ли количество прообразов одинаково для всех регулярных значений в общем случае? Или конкретно с тором нам повезло?

Metford в сообщении #959381 писал(а):

А где можно прочитать про утверждение, которое Вы сформулировали?

Наверно в курсе лекций любом по дифференциальной геометрии. Точно это есть в лекциях Иванова, Тужилина во 2 части. Они есть на сайте кафедры дифференциальной геометрии и приложений МГУ.

[Утундрий]

Вызывает антерес и ещё такой разрез: нафига кому он нужен (с модулями, али без)?

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #959439 писал(а):

Вызывает антерес и ещё такой разрез: нафига кому он нужен (с модулями, али без)?

С модулем—скорее всего просто учебная задача. Без модуля—вдруг, как чёртик из табакерки выскакивает топологический инвариант. Это уже интересно .

Вот подобная задача (там, правда, не топологический инвариант, а нечто другое). Рассмотрим область $V$. Найдем множество $V_\varepsilon$ её точек отстоящих от границы менее чем на $\varepsilon$ и посчитаем его объём. Как он будет себя вести при $\varepsilon\to 0$? Ответ: $c_1 \varepsilon + c_2 \varepsilon^2 + … $ где $c_1$ это площадь $S$ (границы области), а $c_2$ это интеграл кривизны, правда не гауссовой, а средней (т.е. не $k_1k_2$, а $(k_1+k_2)/2$ где $k_{1,2}$—главные кривизны. Про следующие коэффициенты не знаю.

(Исправлено)

[Metford]

VanD в сообщении #959436 писал(а):

Это можно формализовать. Это что-то близкое к понятию накрытия получается, но для окрестности нерегулярных значений не выполняется определение накрытия, зато их по теореме Сарда не больше, чем на меру 0 и наберётся. Только это всё таки не накрытие и возникает вопрос: когда мы считаем интеграл от модуля гауссовой кривизны, то видимо пытаемся пользоваться тем, что у каждого регулярного значения ровно 2 прообраза, но всегда ли количество прообразов одинаково для всех регулярных значений в общем случае? Или конкретно с тором нам повезло?

Да, вот мне как раз было интересно, как формализовать рассуждение. Если для тора ещё можно так порассуждать, то для более сложных поверхностей уже не пройдёт. Да и обоснование фактически отсутствует...
В самой задаче речь шла о вычислении трёх интегралов: по тору, по эллипсоиду и по эллиптическому параболоиду. Теперь ясно, что для эллипсоида это будет просто $4\pi$. А вот для параболоида опять-таки приходится прибегать к "правдоподобным рассуждениям". Что-то вроде того, что если записать нормаль и проследить, как ведёт себя её составляющая $n_z$ ($z$ - ось параболоида), то окажется, что стремится она к нулю, если удаляться от вершины. Т.е. нормаль к параболоиду может составлять с его осью углы от нуля до $\pi/2$. Это получается отображение параболоида только на половину сферы - искомый интеграл равен $2\pi$. Но это по-моему слабоватое объяснение. Тем более, на поверхности посложнее его уже, видимо, не распространить.

Red_Herring в сообщении #959479 писал(а):

Без модуля—вдруг, как чёртик из табакерки выскакивает топологический инвариант

А без модуля - этот интеграл ведь и входит как раз в теорему Гаусса-Бонне. А там фигурирует эйлерова характеристика поверхности. Наверное, когда интеграл от модуля кривизны считается, тоже можно его значение связать с ней?

[VanD]

Metford в сообщении #959499 писал(а):

Да, вот мне как раз было интересно, как формализовать рассуждение

А в тех лекциях Иванова Тужилина как раз показано как это сделать - в лекции 14. Только там показано без модуля, но с модулем аналогично - надо додумать немного.

[Metford]

VanD, спасибо! Буду читать, разбираться.

[Утундрий]

Red_Herring в сообщении #959479 писал(а):

Вот подобная задача (там, правда, не топологический инвариант, а нечто другое). Рассмотрим область $V$. Найдем множество $V_\varepsilon$ её точек отстоящих от границы менее чем на $\varepsilon$ и посчитаем его объём. Как он будет себя вести при $\varepsilon\to 0$? Ответ: $c_1 \varepsilon + c_2 \varepsilon^2 + … $ где $c_1$ это площадь $S$ (границы области), а $c_2$ это интеграл кривизны, правда не гауссовой, а средней (т.е. не $k_1k_2$, а $(k_1+k_2)/2$ где $k_{1,2}$—главные кривизны. Про следующие коэффициенты не знаю.

Интересная задача. Третий день над ней зависаю. То ль лыжи не едут, то ль задача действительно сложная?

[g______d]

Red_Herring в сообщении #959479 писал(а):

Про следующие коэффициенты не знаю.

Не оно?

[Red_Herring]

g______d
То
Утундрий
Я думаю. что посчитать это меньшая часть проблемы, распознать же геометрический объект—самое сложное

[Metford]

Что-то сразу не уточнил... VanD, Вы употребили термин "кодифференциал". Может быть, просто не знаю, где смотреть, но я такого термина не встречал. У Иванова и Тужилина я его тоже не видел. Скажите пожалуйста, что это?

[Red_Herring]

Metford в сообщении #962350 писал(а):

Что-то сразу не уточнил... VanD, Вы употребили термин "кодифференциал". Может быть, просто не знаю, где смотреть, но я такого термина не встречал. У Иванова и Тужилина я его тоже не видел. Скажите пожалуйста, что это?

Оператор $*$ (звездочка Ходжа) там есть? Если есть то $\delta=d^* (см напр http://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_dual#Hodge_star_on_manifolds)

[g______d]

Здесь

VanD в сообщении #959370 писал(а):

Фактически гауссова кривизна есть коэффициент пропорциональности между формой объема удовлетворяющей условиям теоремы поверхности (двумерная, связная, компактная, без края, ориентируемая) и результата действия кодифференциала гауссова отображения на форму объема сферы.

очевидно, словом "кодифференциал" обозначается обратный образ (pullback) формы: если $f\colon M\to N$, то $f^*\colon C^{\infty}(\wedge^k T^*N)\to C^{\infty}(\wedge^k T^*M)$.

Кодифференциалом его называть, вообще, не принято.

[Red_Herring]

g______d в сообщении #962361 писал(а):

Кодифференциалом его называть, вообще, не принято.

Или принято, но не его.