2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение07.01.2015, 20:10 
Аватара пользователя
Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, понять, где я ошибаюсь в расчёте. Расчёт сам по себе простой, даже как-то неудобно спрашивать... :oops:
Вычисляется интеграл от модуля гауссовой кривизны тора $T^2$ по его поверхности.
Я использую параметризацию
$$\vec{r}(u,v)=\{(a+b\cos u)\cos v,(a+b\cos u)\sin v,b\sin u\}.$$
Коэффициенты первой и второй квадратичных форм получаются
$$g_{uu}=b^2;g_{vv}=(a+b\cos u)^2;g_{uv}=0,$$
$$b_{uu}=b;b_{vv}=(a+b\cos u)\cos u;b_{uv}=0.$$
Элемент поверхности $dS=\sqrt{g_{uu}g_{vv}-g^2_{uv}}dudv$, гауссова кривизна $K=\frac{b_{uu}b_{vv}-b^2_{uv}}{g_{uu}g_{vv}-g^2_{uv}}$.
$$\iint|K|dS=\iint\left|\frac{b_{uu}b_{vv}-b^2_{uv}}{\sqrt{g_{uu}g_{vv}-g^2_{uv}}}\right|dudv=
\iint\left|\frac{b(a+b\cos u)\cos u}{\sqrt{b^2(a+b\cos u)^2}}\right|dudv=\int\limits_0^{2\pi}dv\int\limits_0^{2\pi}|\cos u|du=8\pi.$$

Подскажите, что не так?

 
 
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение07.01.2015, 20:14 
Аватара пользователя
Чем, собственно, не устраивает результат?

 
 
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение07.01.2015, 20:19 
Аватара пользователя
Видите ли, я знаю, что иногда делаю в вычислениях довольно примитивные ошибки - по невнимательности.
Интеграл этот мне встретился в задачнике по дифференциальной геометрии. В ответе там $4\pi$ (в двух изданиях разных лет).
Засомневался, решил уточнить: вдруг это я ошибаюсь.

 
 
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение07.01.2015, 20:27 
Аватара пользователя
В условии задачи точно говорится о гауссовой, а не о скалярной кривизне?

 
 
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение07.01.2015, 20:29 
Аватара пользователя
О гауссовой. Об этом я уже думал.

 
 
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение07.01.2015, 20:51 
Аватара пользователя
Посчитал на всякий случай $\int \sqrt g {\left| R \right| dudv} $, получил $16 \pi$.

 
 
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение07.01.2015, 21:00 
Аватара пользователя
Так как скалярная кривизна вдвое больше гауссовой, то фактически получилось то же самое.
Ну что же, два независимых расчёта - это уже неплохо :-)

Спасибо Вам!

 
 
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение08.01.2015, 13:31 
Аватара пользователя
а можно и без расчетов через гауссово отображение (его якобиан равен гауссовой кривизне)
должно получится две площади сферы, то есть $8\pi$

 
 
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение08.01.2015, 18:06 
Аватара пользователя
Интересно.
Думаю, что задам тривиальный вопрос, но дифференциальной геометрии как отдельного предмета у меня не было, к сожалению...

Вы говорите, что это без расчёта можно сказать. Если я правильно понимаю, гауссово отображение ставит в соответствие каждой точке данной поверхности точку на сфере. Т.е. по крайней мере нужно построить в каждой точке поверхности единичную нормаль - это уже расчёт. Несложный, конечно, но тем не менее. А потом якобиан считать. Как это связано с площадью сферы?
Нет, какие-то полуинтуитивные соображения есть, но я их лучше даже высказывать не стану.

Хотелось бы разобраться, раз уж занялся этим вопросом.

 
 
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение08.01.2015, 18:51 
Аватара пользователя
Metford в сообщении #958148 писал(а):
Здравствуйте!
Я использую параметризацию
$$\vec{r}(u,v)=\{(a+b\cos u)\cos v,(a+b\cos u)\sin v,b\sin u\}.$$
Подскажите, что не так?


Параметр $u\in[0,\pi]$. В противном случае поле $\vec{r}(u,v)$ определено неоднозначно. (Обратите внимание на то, что при $a=0$ и $b=1$ конец вектора пробегает единичную сферу.)

 
 
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение08.01.2015, 18:57 
Аватара пользователя
lek в сообщении #958686 писал(а):
Параметр $u\in[0,\pi]$. В противном случае поле $\vec{r}(u,v)$ определено неоднозначно.
Ничего подобного.


У вас нет доступа для просмотра вложений в этом сообщении.

 
 
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение08.01.2015, 19:01 
Аватара пользователя
Утундрий в сообщении #958692 писал(а):
Ничего подобного.

Это связано с тем, что $a\ne0$ ?

 
 
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение08.01.2015, 19:02 
Аватара пользователя
Добавил картинку.

 
 
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение08.01.2015, 19:21 
Аватара пользователя
Согласен.

 
 
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение10.01.2015, 00:56 
Metford в сообщении #958658 писал(а):
Как это связано с площадью сферы?

Посмотрите теорему Гаусса-Бонне. Фактически гауссова кривизна есть коэффициент пропорциональности между формой объема удовлетворяющей условиям теоремы поверхности (двумерная, связная, компактная, без края, ориентируемая) и результата действия кодифференциала гауссова отображения на форму объема сферы.

Там довольно много всего придётся разобрать - про степень отображения. Хотя может быть можно и без неё.

 
 
 [ Сообщений: 35 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group