Что такое матрица плотности?

[arseniiv]

Lukum в сообщении #960378 писал(а):

$C^{-1}AC$ видимо так

А это уже, в отличие от индексной записи, зависит от соглашений.

[Munin]

arseniiv в сообщении #960710 писал(а):

А это уже, в отличие от индексной записи, зависит от соглашений.

Скорей всего, подразумевается матричная алгебра.

[arseniiv]

Просто изредка попадается представление контравариантных векторов строками, а ковариантных — столбцами, и тогда…

[Munin]

Ой ужас, где ж вам такое встретилось?

А в общем, выраженьице $C^{-1}AC$ совершенно нечувствительно к замене строк на столбцы и наоборот.

[arseniiv]

Хм, но по какому-то поводу встречалось $CAC^{-1}$, странно… До конца бы эти матрицы забыть вообще, хоть это и не очень конструктивно.

Munin в сообщении #960945 писал(а):

Ой ужас, где ж вам такое встретилось?

Да даже на форуме раза полтора точно. Ну и в одном прикладном курсе — видимо, из соображений того чтобы матрицы умножались в том порядке, в котором применяются операторы к вектору (ковекторов там не было).

[Munin]

arseniiv в сообщении #960978 писал(а):

Хм

Упражнение: взять некоторое произведение матриц, и транспонировать его.
Вторая часть упражнения: объяснить, зачем вы это сделали.

arseniiv в сообщении #960978 писал(а):

До конца бы эти матрицы забыть вообще, хоть это и не очень конструктивно.

Как раз наоборот, надо отработать до автоматизма, чтобы от зубов отскакивали. Потому что на них держится половина понимания физики, не говоря уже о всякой технике. Вторая половина - на интегралах и дифурах.

arseniiv в сообщении #960978 писал(а):

Ну и в одном прикладном курсе — видимо, из соображений того чтобы матрицы умножались в том порядке, в котором применяются операторы к вектору (ковекторов там не было).

Обычно всё наоборот: контравариантный вектор - столбец, и матрицы умножаются в том порядке, в котором применяются операторы к вектору - только операторы применяются слева. Это удобно, в том числе, тем, что композиция операторов записывается в том же порядке, что и композиция функций.

[Toucan]

Sicker, Munin, Nemiroff, замечание за оффтопик
Отделено сюда: «Как Sicker сдавал экзамен по квантам»

[arseniiv]

Munin в сообщении #960982 писал(а):

Обычно всё наоборот: контравариантный вектор - столбец, и матрицы умножаются в том порядке, в котором применяются операторы к вектору - только операторы применяются слева. Это удобно, в том числе, тем, что композиция операторов записывается в том же порядке, что и композиция функций.

Спасибо за повторение.

Munin в сообщении #960982 писал(а):

Как раз наоборот, надо отработать до автоматизма, чтобы от зубов отскакивали. Потому что на них держится половина понимания физики, не говоря уже о всякой технике.

Разве не лучше отработать до такого состояния тензоры?

Munin в сообщении #960982 писал(а):

Упражнение: взять некоторое произведение матриц, и транспонировать его.
Вторая часть упражнения: объяснить, зачем вы это сделали.

Ясно, что незачем — $(C^{-1}AC)^t = C^tA^tC^{-t}$, но $C$ не является матрицей какого-то оператора, и в транспонированном мире вместо неё, раз формула должна остаться такой же, будет $C^{-t}$. А вот дотянуться до бумажки и проверить лень, да и позднее время…

[Munin]

arseniiv в сообщении #961007 писал(а):

Разве не лучше отработать до такого состояния тензоры?

Это два сапога пара. Если вы хорошо умеете работать с матрицами, то для вас легко и естественно будет работать с тензорами. А если вы в матрицах путаетесь, то тензоры освоить для вас будет ну очень тяжело.

Да, и разумеется, обычные векторы (3-мерные) тоже хорошо бы тоже знать.

arseniiv в сообщении #961007 писал(а):

$(C^{-1}AC)^t = C^tA^tC^{-t}$

LOL
Да-а-а, вот $C^{-t}$ впервые вижу. Видимо, мало практики приёма экзаменов :-)

[arseniiv]

Эмм, по поводу чего LOL-то?

Вот я ночью расписал эти обычные выводы нормально:
Из $x = Cx', \; y = Ax$ следует $Cy' = ACx', \; y' = C^{-1}ACx',$ так что $A' = C^{-1}AC$, спору нет. Теперь транспонируем всё это, для удобства обозначив $C^t = D, x^t = v, y^t = u$ etc.:
Из $v = v'D, \; u = vA^t$ следует $u'D = v'DA^t, \; u' = v'DA^tD^{-1},$ так что $A'^t = DA^tD^{-1}$, что не особо удивительно, конечно — но вот множители $D, D^{-1}$ стоят в обратном порядке, и переход $D \mapsto C^t$ обратности не меняет. Вот если бы $C$ была ортогональной — а с чего ей быть?

[Munin]

arseniiv в сообщении #961370 писал(а):

Вот если бы $C$ была ортогональной — а с чего ей быть?

Ну-ну-ну, ну же?..

-- 13.01.2015 18:40:02 --

arseniiv в сообщении #961370 писал(а):

Эмм, по поводу чего LOL-то? :?

Транспонирование не есть возведение в степень :-)

[arseniiv]

Munin в сообщении #961385 писал(а):

Ну-ну-ну, ну же?..

Так ведь решительно не с чего! Например, плоскость и такая связь между базисами: $\mathbf e_1 = a\mathbf e'_1, \mathbf e_2 = b\mathbf e'_2$. Легко проверить, что матрица перехода не ортогональна. Т. е. или я снова не туда смотрю, или…

-- Вт янв 13, 2015 22:51:50 --

Munin в сообщении #961385 писал(а):

Транспонирование не есть возведение в степень

А, ну это же ничего. Засунем его в один моноид вместе с возведениями в степень, оно будет даже коммутировать со всеми ими — красота! Потом ещё чего-нибудь можно добавить. Хорошая основа для обозначения.

[Munin]

arseniiv в сообщении #961506 писал(а):

Так ведь решительно не с чего!

Напоминаю, это матрица перехода от базиса к базису. Если вспомнить ещё, что мы живём в квантовой механике, то какие там базисы?

[arseniiv]

Ааа, квантовой механике… Я-то думал, вообще. Ну тогда ясно, конечно.

-- Ср янв 14, 2015 02:57:53 --

Вот до чего оффтоп доводит, тему забыл.

[maximav]

rotozeev в сообщении #866464 писал(а):

А вот такой вопрос. Матрица плотности - эрмитов оператор, а значит, ему соответствует какая то наблюдаемая величина, измеряя которую мы будем получать собственные значения этой матрицы плотности...

Всякому эрмитову оператору можно сопоставить в соответствие некоторую наблюдаемую; Нейман про это писал кажется открытым текстом. Стат оператор не исключение. Наблюдаемых величин великое множество, даже в классическом случае. Т.е. не только стандартно привычные функции на фазовом пр-ве.