2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 9  След.
 
 Re: Что такое матрица плотности?
Сообщение27.05.2012, 10:57 


23/05/12

1245
Munin писал(а):
определение наблюдаемой в КМ: берём любой эрмитов оператор, и его собственные значения называем наблюдаемой физической величиной.

красиво, оказывается мы измеряем собств.числа неких динамических систем

Munin писал(а):
Для квантовой системы при этом получится набор случайных значений. У квантовой системы нет траектории.

Употребляя слово траектория я имел ввиду, последовательность измерений характеристики, нанесенную на график, по горизонтальной оси момент измерения, по вертикальной оси значение характеристики.
Например, для дискретного случайного блуждания и в марковских процессах допустимо слово траектория.
Возможно более корректно было сказать так: "траектория значений параметра".

Munin писал(а):
Точнее, если её не измерять, а оставить в покое, то её квантовый вектор состояния будет совершать какую-то эволюцию в пространстве состояний (но не в пространстве параметров!). Но наблюдать её будет нельзя, можно будет её только измерить в начале и в конце.

Т.е. получается, что за именно за характеристики в векторе состояния мы не знаем.
Когда измеряем, то получаем собственное число, проекцию каких-то состояний (характеристик) на измеряемый параметр.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое матрица плотности?
Сообщение27.05.2012, 12:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71882
Lukum в сообщении #577017 писал(а):
Употребляя слово траектория я имел ввиду, последовательность измерений характеристики, нанесенную на график, по горизонтальной оси момент измерения, по вертикальной оси значение характеристики.
Например, для дискретного случайного блуждания и в марковских процессах допустимо слово траектория.
Возможно более корректно было сказать так: "траектория значений параметра".

В математическом смысле это, наверное, траектория, просто в физике принято это так не называть, чтобы не путать с траекторией классической системы. В физике принято говорить "эволюция квантового состояния".

Lukum в сообщении #577017 писал(а):
Т.е. получается, что за именно за характеристики в векторе состояния мы не знаем.
Когда измеряем, то получаем собственное число, проекцию каких-то состояний (характеристик) на измеряемый параметр.

Да. Но есть обходной путь. Мы можем поставить много экспериментов, в которых задать одинаковые начальные условия, и провести в них разные измерения. Тогда мы получим сведения не об одной проекции вектора состояния, а о разных проекциях, и в разные моменты времени. И тогда, можно подобрать такой вектор состояния, и его эволюцию, чтобы они удовлетворяли этому множеству измерений. Разумеется, у нас нет гарантий, что за этим не стоит что-то ещё, но та картина, которая получается, нас устраивает, мы не видим в ней каких-то скрытых течений и подводных камней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое матрица плотности?
Сообщение27.05.2012, 14:17 


23/05/12

1245
Да, это мне понятно.

Можно наверное перейти к вопросу о комплексных числах?
Как они у вас (у физиков) "затесались" или "проявились" в операторах-матрицах?

ps
Я понимаю математиков, когда им понадобилось вычислять корни из отрицательных чисел, они добавили комплексную ось и стали работать с комплексными числами. Ряд задач стал решаться легче и т.п.

Подозреваю, что и физики ощутили похожие потребности.
Понятно, что компл.числа можно заменить было матрицами 2х2 и было бы тоже самое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое матрица плотности?
Сообщение27.05.2012, 15:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71882
Да, в принципе, сначала просто потребовались величины, такие, что их квадрат равен отрицательному числу. И в их качестве взяли комплексные числа. А потом потребовались величины, произведение которых некоммутативно. И тут уже стали использовать матрицы. Можно было сразу взять матрицы, и обойтись вещественными, но по сути они были бы строго эквивалентны соответствующим комплексным, так что разницы всё равно нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое матрица плотности?
Сообщение27.05.2012, 21:01 


23/05/12

1245
Все таки хотелось бы поговорить о кубике с использованием языка квантовой механики.
Я понимаю, что не совсем корректно, но по моему некоторые относительно корректные аналогии можно проводить.

Предполжим квантовая система находится в суперпозиции чистых состояний и пусть таких состояний шесть.
Это похоже на кубик до броска. Бросили кубик - произвели измерение. Получили число 2 например - измерили квантовую систему, получили вероятностный результат в виде собственного числа.
Допустима такая аналогия к вероятностному процессу "бросок кубика"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое матрица плотности?
Сообщение27.05.2012, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5651
Мне кажется, в википедии про это довольно неплохо написано.

http://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix

Главный вопрос --- что означает "суперпозиция чистых состояний". Суперпозиция может быть квантовой (тогда это тоже чистое состояние, представляющее собой сумму ортогональных базисных с коэффициентами $\frac{1}{\sqrt{6}}$) или классической (тогда это матрица плотности: сумма проекторов на эти ортогональные базисные состояния с коэффициентами $\frac16$). Разницу между ними можно увидеть, проведя измерение с помощью квантового прибора. Как я понимаю, классический прибор не увидит разницы (правда ли это?).

Посмотрите по этой же ссылке еще опыт с поляризацией света.

Я предполагаю, что на самом деле матриц плотности так в явном виде не существует. Это некая абстракция, позволяющая свести какие-то статистические задачи о многочастичном операторе к одночастичному. Это упрощает дело, но это некоторое приближение. В том же примере с поляризацией матрица плотности возникает, если мы рассматриваем сразу много фотонов, и у нас есть какой-то внешний фактор, который мы не контролируем, и который отвечает за то, какой волновой функцией будет обладать фотон. И результат, который мы получаем, --- это нечто, усреденное по всему ансамблю фотонов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое матрица плотности?
Сообщение27.05.2012, 21:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71882
Lukum в сообщении #577383 писал(а):
Все таки хотелось бы поговорить о кубике с использованием языка квантовой механики.

Проблема в том, что о классическом кубике так говорить не имеет смысла.

Само по себе использование языка квантовой механики возносит обсуждаемую систему на квантовый уровень.

Lukum в сообщении #577383 писал(а):
Предполжим квантовая система находится в суперпозиции чистых состояний и пусть таких состояний шесть.
Это похоже на кубик до броска.

Нет. Кубик до броска - находится в смеси чистых состояний. Не в суперпозиции.

В случае суперпозиции между двумя состояниями всегда задана связь - комплексный коэффициент. Он играет роль "разности фаз" при интерференции, если мы взяли разные суперпозиции с разными "разностями фаз" - они будут вести себя отличимо друг от друга в экспериментах.

В случае смеси, такого коэффициента нет.

Lukum в сообщении #577383 писал(а):
Бросили кубик - произвели измерение. Получили число 2 например - измерили квантовую систему, получили вероятностный результат в виде собственного числа.
Допустима такая аналогия к вероятностному процессу "бросок кубика"?

Ну, да, но такой аналогией вы не приблизитесь к пониманию квантовых систем. На самом деле, надо двигаться наоборот: очистив свой разум, понять с нуля смысл квантовых систем и их поведения, и потом с удивлением обнаружить, как оно само по себе служит объяснением для классических и вероятностных систем. Но не наоборот.

-- 27.05.2012 22:36:58 --

g______d в сообщении #577394 писал(а):
Суперпозиция может быть... классической

В контексте квантовой физики это последовательно называют не суперпозицией (superposition), а смешанным состоянием, смесью (mixed state, mixture).

g______d в сообщении #577394 писал(а):
Я предполагаю, что на самом деле матриц плотности так в явном виде не существует. Это некая абстракция, позволяющая свести какие-то статистические задачи о многочастичном операторе к одночастичному. Это упрощает дело, но это некоторое приближение.

На самом деле, есть забавный познавательный парадокс: хотя мы и пользуемся всегда КМ для векторов состояния, как истинной картиной мира, но у нас нет никаких доказательств, что истинной картиной мира не является всегда только матрица плотности, и нет никаких способов доказать это.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое матрица плотности?
Сообщение27.05.2012, 21:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5651
Munin в сообщении #577397 писал(а):
В контексте квантовой физики это последовательно называют не суперпозицией (superposition), а смешанным состоянием, смесью (mixed state, mixture).


Да, согласен, было неточно сказано.

Munin в сообщении #577397 писал(а):
На самом деле, есть забавный познавательный парадокс: хотя мы и пользуемся всегда КМ для векторов состояния, как истинной картиной мира, но у нас нет никаких доказательств, что истинной картиной мира не является всегда только матрица плотности, и нет никаких способов доказать это.


Да, это один из вопросов интерпретации квантовой механики. Моя точка зрения состоит в том, что все разговоры про взаимодействие квантовых систем с классическими приборами --- это некоторое приближение. Например, у нас есть уравнение Шредингера от очень большого числа частиц, но некоторые очень слабо взаимодействуют друг с другом, и можно считать, что переменные делятся, и дальше рассматривать два уравнения независимо. Если мы в одном из двух уравнений используем квазиклассическое приближение, то то, что получилось, будет как раз взаимодействие квантовой системы с классической. Видимо, это то же самое, что интерпретация со множественностью миров.

Проблема всех остальных интерпретаций --- в том, что никакими разумными математическими средствами нельзя описать коллапс волнового пакета. И с физической точки зрения это довольно неестественный процесс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое матрица плотности?
Сообщение27.05.2012, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71882
g______d в сообщении #577404 писал(а):
И с физической точки зрения это довольно неестественный процесс.

Почему, физически как раз естественный. В эксперименте наблюдается постоянно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое матрица плотности?
Сообщение27.05.2012, 22:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5651
Munin в сообщении #577417 писал(а):
Почему, физически как раз естественный. В эксперименте наблюдается постоянно.


И происходит мгновенно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое матрица плотности?
Сообщение27.05.2012, 22:32 


23/05/12

1245
Над этим постом "27.05.2012, 22:32" буду медитировать не спеша :)

g______d в сообщении #577404 писал(а):
Проблема всех остальных интерпретаций --- в том, что никакими разумными математическими средствами нельзя описать коллапс волнового пакета.


Возьмем функцию Y(n) =sign{ Х(n) } известно, что это последовательность случайных чисел, состоящая из {-1,1}
где X(n)=1-2*X(n-1)*X(n-1)
где sign(х)= {1, если х>0; -1, если х<0; 0, если x=0}

Вспоминаем о клеточных автоматах.
Предположим, каждый квантовый объект это такой автомат, который вычисляет эту функцию в дискретные моменты времени. Тогда производя эксперимент и измеряя например спин, мы будем получать то 1, то -1.
Но я от физики далек. Поэтому придумал себе такую аналогию.
ps
Не может ли некий такой или похожий механизм быть стандартным генератором случайности в микромире!?
Я не альтернативщик и у меня нет теорий всего сущего :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое матрица плотности?
Сообщение28.05.2012, 01:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71882
g______d в сообщении #577422 писал(а):
И происходит мгновенно?

Нет, зачэм? Просто происходит, за какое-то время :-) Главное, что за это время сам волновой пакет не успевает проэволюционировать достаточно далеко, так что коллапс "ловит" его в состоянии, достаточно (для экспериментальных приближений) хорошо соответствующем мгновенному. Например, когда фотон стукается в электрон с люминофором, вспыхивает точка там, где был волновой пакет этого фотона.

Lukum в сообщении #577425 писал(а):
Не может ли некий такой или похожий механизм быть стандартным генератором случайности в микромире!?

Мы ничего не знаем о генерации случайности в микромире. Так что воображать про неё можем что угодно, главное, чтобы статистическая функция распределения воспроизводилась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое матрица плотности?
Сообщение28.05.2012, 03:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5651
Munin в сообщении #577473 писал(а):
g______d в сообщении #577422 писал(а):
И происходит мгновенно?

Нет, зачэм? Просто происходит, за какое-то время :-) Главное, что за это время сам волновой пакет не успевает проэволюционировать достаточно далеко, так что коллапс "ловит" его в состоянии, достаточно (для экспериментальных приближений) хорошо соответствующем мгновенному. Например, когда фотон стукается в электрон с люминофором, вспыхивает точка там, где был волновой пакет этого фотона.


Все-таки непонятно. При коллапсе детерминируемость нарушается? Т. е. в принципе нельзя написать однозначно разрешимое уравнение, описывающее мир? Или хотя бы поведение частицы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое матрица плотности?
Сообщение28.05.2012, 04:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71882
У физиков бывает два стремления :-) Одни стремятся записать уравнение, описывающее мир. Другие стремятся описать то, что наблюдается в экспериментах. Я и то и другое в какой-то степени понимаю и уважаю, но нельзя заниматься и тем и другим одновременно. Точнее, пока нельзя. Не сходится одно с другим.

Частицу описать можно. Пока её не измеряют, она движется детерминированно. Когда её измеряют - подвержена коллапсу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое матрица плотности?
Сообщение28.05.2012, 15:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5651
Munin в сообщении #577483 писал(а):
Частицу описать можно. Пока её не измеряют, она движется детерминированно. Когда её измеряют - подвержена коллапсу.


Ну да, но коллапс все-таки подразумевает наличие классического прибора, а на самом деле все приборы состоят из атомов и являются квантовыми. Наверное, правильной является точка зрения, что существует некоторый предельный переход при количестве частиц прибора, стремящемся к бесконечности, в котором он ведет себя как классический. И время коллапса будет какая-нибудь экспонента от минус количества частиц прибора или что-то вроде того.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 132 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 9  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group