Что такое матрица плотности?

[Munin]

Уж сколько раз твердили миру...

Наблюдаемая соответствует оператору, да. Вот только оператору, не зависящему от состояния. Состояние описывается вектором состояния, к которому применяется этот оператор. А матрица плотности (стат. оператор) сама по себе именно состояние и выражает. Так как вы будете ставить ей в соответствие наблюдаемую, если даже заранее не знаете, какую именно?

[maximav]

Еще раз. Наблюдаемых великое множество. Например, не вызывает вопросов, что проектор - это оператор. "Нормальный" оператор с наблюдаемыми значениями, скажем, 0 и 1 (элементарный проектор). Нейман кажется называет такие наблюдаемые алтернативными... и, "рассудимости". Поэтому сочиняем "хороший/нормальный" оператор, координаты которого (числа) совпадают с координатами матрицы плотности. Он при этом не отождествляется с ОПЕРАТОРОМ плотности, у которого природа иная; описывать состояния. Но числовое представление пусть себе будет таким же как и у $\varrho$. Иными словами имеем пространство операторов $\hat A$ (наблюдаемых), а состояния - это сопряженное к нему. Там живут "операторы" плотности. Скалярное произведение между этими пространствами - это $\mathrm{Spur}(\hat\varrho\,\hat A)$. За одинаковыми числами могут скрываться разные сущности. Сложить стат оператор и наблюдаемую - нонсенс, а вот сложить наблюдаемую и другую наблюдаемую, у которой координаты такие же как и у $\varrho$ - пожалуйста. Складываются не числа, а объекты.

[Munin]

maximav в сообщении #1081429 писал(а):

Поэтому сочиняем "хороший/нормальный" оператор, координаты которого (числа) совпадают с координатами матрицы плотности.

Если у вас задано состояние системы, то препятствий к этому нет.

Но вот систему взяли в другом состоянии, и ваш оператор перестал иметь всякое отношение к её матрице плотности.

Похоже, придётся говорить явным текстом: наблюдаемая - это любой наперёд заданный эрмитов оператор.

При этом, вообще говоря, ровно наоборот, матрицу плотности можно сделать какой угодно (с единственным ограничением, что все собственные значения положительны, и их сумма равна единице), и таким образом, подогнать под любой желаемый оператор наблюдаемой.

maximav в сообщении #1081429 писал(а):

Иными словами имеем пространство операторов $\hat A$ (наблюдаемых), а состояния - это сопряженное к нему.

Дело не в том, кто кому сопряжён. Дело в том, что операторы наблюдаемых - постоянные, а состояния - переменные.

Вы упорно пытаетесь "взять константу, равную $x$".

maximav в сообщении #1081429 писал(а):

За одинаковыми числами могут скрываться разные сущности.

Вот именно это вам надо сказать самому себе. И повторить столько раз, сколько потребуется, пока не дойдёт.

-- 11.12.2015 20:19:26 --

Кстати, post866464.html#p866464
Полтора года назад, те же грабли, вид в профиль. И даже прямо в этой теме.
Тому джентльмену хватило объяснений с одного раза.

[maximav]

Munin в сообщении #1081448 писал(а):

Но вот систему взяли в другом состоянии, и ваш оператор перестал иметь всякое отношение к её матрице плотности....

"Мой оператор" к матрице плотности и не имел никакого отношения... как, если бы, "Munin, скажем, = 30кг" имеет отношение к "maximav, скажем, = 30кг".

Munin в сообщении #1081448 писал(а):

Дело не в том, кто кому сопряжён...

А вот тут вы как раз и ошибаетесь. Камня на камне от "этой вашей математики" не оставляет банальная "философия" про состояние и наблюдаемую.

Возьмите стандартные формулы для наблюдаемой

$$ \hat L=\sum_\lambda\lambda\cdot|\lambda\rangle \langle\lambda| $$

и смеси

$$ \hat\varrho= w\cdot|\alpha\rangle\langle\alpha| +(1-w) |\beta\rangle\langle\beta|\,. $$

А теперь запретите (задавшему вопрос про спектр статоператора) складывать эти два оператора. Или даже вырежьте из этого $\hat L$ кусок $|\lambda\rangle\langle\lambda|$ и запретите сложение

$$\big(|\lambda\rangle\langle\lambda|\big) +\big(w\cdot|\alpha\rangle\langle\alpha| +(1-w) |\beta\rangle\langle\beta|\big)$$

Упрямо смотрим на эти формулы и запрещаем складывать два оператора. Упрямо смотрим на ЭТОТ ОПЕРАТОР, обозначаемый $\hat\varrho$, и запрещаем говорить слова про его спектр. Картина, что называется, "Приплыли". Без приговорок о разной сущности этих двух "якобы не отличающихся" по природе объектов не обойдетесь. Мало ли, что и тот и другой являются операторами. Если координаты/килограммы нельзя складывать, коль скоро они есть не более, чем числа, то это не значит, что если начать работать не с числами, а с "операторами, векторами, ..." - якобы инвариантными объектами - то можно возрадоваться и начать подряд их складывать/умножать/сравнивать. Подкрутки на размерности, единичные следы и прочие несущественные "ядерности" суть не меняют. Если у чисел/координат вообще никакой природы нет и быть не может, то у объектов выше она есть, но она разная. А сравнивать объекты из разных пространств (не только ЛВП, а вообще любых множеств) можно только через скалярные надстройки над ними - линейные функционалы. Ничего другого никто никогда не придумал и не придумает; пока сидим в "линейном царстве". Это неизбежно ведет к введению сопряженных "зверей". Так что без явного/неявного введения дуальных объектов/пространств Вы никуда не денетесь.

Иными словами, пока Вы не произнесете слова "скалярный объект" и "разные пространства" любое "объяснение" будет "недоделанным". А именно эти слова и вы и не писали, когда отвечали на вопросы спрашивающих здесь. Интуитивно, спрашивающий про собствзначения статоператора именно и имел в виду "а если я сложу две формулы выше ... ?". При плохом формулировании ответа получаем и вовсе искажения смыслов или, как минимум, "страус, голова в песок". Объяснение НЕ ДОЛЖНО начинаться с тензорного произведения бра на кет и называнием этого статоператором (ваши первые посты в потоке). Вопрос про спектр $\hat\varrho$ - это вопрос, естественно возникающий от сваливания в кучу разных сущностей. И вам, как сведующему, следовало/желательно было бы НЕ начинать с бра-кет интерпретаций. Тем более, что бра-кетные конструкции - это не интерпретации, а "аккуратности". Вопросы людей в этом потоке хороши тем, что ответы-интерпретации (вариации из плохих книжек) оказываются хуже и сложнее НЕинтерпретаций, т.е. простых формулировок сущностей.

Состоянию МОЖНО взаимно однозначно СОПОСТАВИТЬ в соответствие оператор (у Макки это наверняка есть). Но оператором-наблюдаемой оно от этого не станет. Искажение (и запудривание студенческих мозгов) кроется в "НЕ ПРОИЗНЕСЕНИИ" слов "ВзаимнОднзчнСпствт", и замене их сумбуром "состояние-смесь = оператор"; поголовное заклинание в книжках. На естественном же языке ("неустранимых") сопряженных пространств путаница просто не возникает как явление. Незабывание того, что смеси-состояния и наблюдаемые, как операторы, изначально лежат/родились в разных пр-вах - это самый естественный способ не путать их. Но равноправие дуальных пр-в вещь фундаментальна и она является следствием того, что как только вы имеете НЕЧТО ЛИНЕЙНОЕ (суперпозиции, линейные операторы и т.д.) то до того, пока вы не введете скалярную надстройку над этим множеством (лин функционал) оно - это ЛВП - останется АБСОЛЮТНО ПУСТОПОРОЖНИМ и голым объектом. С ним никто ничего и никогда не сможет сделать; кроме как глазеть на абстрактные комбинации

$$\boldsymbol a= a_j \boldsymbol e_j \qquad\text\qquad |\psi\rangle=\sum_x\;\psi(x)|x\rangle\,.$$

Примерно также, как множество без надстроек типа многообразий и структур на нем. Жизнь/физика начинается (и заканчивается) именно здесь, со скалярных объектов над этим ЛВП. Ничего кроме этих чисел мы не видим/наблюдаем. Средние, спектры и всякие другие вероятности - это они: скаляры на элементах наших ЛВП. И не важно какой природы элементы этих ЛВП; векторы, операторы, функции, ... Вот и сочиняем теперь всякие $\langle\psi|\varphi\rangle$, $(\hat\varrho, \hat L)=\mathrm{Spur}(\hat\varrho\hat L)$ и т.д. и радуемся...

Munin в сообщении #1081448 писал(а):

... Дело в том, что операторы наблюдаемых - постоянные, а состояния - переменные.
Вы упорно пытаетесь "взять константу, равную $x$".

Все, что я якобы "упорно" и якобы "пытаюсь взять" написано в моем посте. Не приписывайте мне ваши воображения. Текст перед вами. Это не вопрос интерпретации или вопрос переменные/константы. Но даже если и так, то напомню вам факт. Пробегитесь по ВСЕМ наблюдаемым (операторы = переменные) при ФИКСИРОВАННОМ состоянии - рождаем функционалы-средние - это тоже самое, что и полностью задать это состояние. Вот вам и приписываемая мне ваша "состояние-константа" при приписываемой мне же ваша "оператор-переменная". Оба пространства живут сами по себе своей жизнью и все их объекты могут считаться переменными/константами в зависимости от того, каков контекст. Нужна полнота, бегите по собственным состояниям при заданной наблюдаемой. Нужно состояние, бегите по достаточно большому набору операторов. И так и так получите, что хочется. В обоих пр-вах уже все есть. Контактировать они начинают, философски говоря, только когда появляется "третье лицо", условно назовем его homosapiens, который осознает себя и то, что он есть элемент пары - человек/природа, объект/субъект, наблюдатель/система. Эта двойственность, "нечто ДВА" - следует осознавать - несет колоссальный и математический и физический смысл. Даже нобелевки за дуальности дают (Намбу). Homosapiense скрещивает эти пары, через инвариантные числа и называет словами вероятности, скалярные произведения, функционалы и т.д. А себя и природу называет словами операторы/состояния.

Когда были чистые состояния, то вполне можно было обходиться "нормальными" векторами и "нормальными" операторами; объектами разной природы даже по внешнему восприятию. Но как только переходим к смесям, векторы куда-то исчезают, а операторы остаются. ТУТ ТО И НАЧИНАЕТСЯ КУЧА-МАЛА и вопросы про спектры или еретическое сложение двух формул выше. Спрашивающий мог бы быть еще проще и спросить типа: а что, нельзя сложить две функции $\psi(x) + \varphi^*(x)$, фигурирующие в скалярном произведении $(\psi(x),\varphi(x))$? А как тогда понимать "дираковское" $|\psi\rangle+\langle\varphi|$?

Слово "МОЖНО", написанное выше, ничто не запрещает заменить на "А МОЖНО И НЕ СОПОСТАВЛЯТЬ". Работай тогда пожалуйста с исходным пространством и функционалом/числами над ним не называя это словами "они/функционалы" образуют ЕЩЕ ОДНО ЛВП. Но двойственность (пр-во + скалярная надстройка над ним) от этого не исчезнет. Ее не истребить.

[Munin]

Ох, как Остапа понесло...

maximav в сообщении #1082121 писал(а):

А теперь запретите (задавшему вопрос про спектр статоператора) складывать эти два оператора.

Складывать два оператора можно. Нельзя то, что получилось, называть наблюдаемой.

Аналогия. Допустим, у нас есть константа $5$ и переменная $x.$ Сложить их можно: получится $5+x.$ Но никакой константой это уже не будет. По определению.

Понятия "наблюдаемая" и "оператор" - всё-таки разные.

Остальное пропускаю.

[g______d]

Munin в сообщении #1081448 писал(а):

При этом, вообще говоря, ровно наоборот, матрицу плотности можно сделать какой угодно (с единственным ограничением, что все собственные значения положительны, и их сумма равна единице), и таким образом, подогнать под любой желаемый оператор наблюдаемой.

Нет, оператор со следом — далеко не всякий оператор.

Munin в сообщении #1081448 писал(а):

Дело не в том, кто кому сопряжён. Дело в том, что операторы наблюдаемых - постоянные, а состояния - переменные.

Это все равно, что говорить "бра-вектора — постоянные, а кет-вектора — переменные". По-моему, здесь вы выдумали проблему.

Munin в сообщении #1082167 писал(а):

Понятия "наблюдаемая" и "оператор" - всё-таки разные.

Не настолько.

[Munin]

g______d в сообщении #1082202 писал(а):

Это все равно, что говорить "бра-вектора — постоянные, а кет-вектора — переменные".

Не всё равно, и я такого не говорил.

g______d в сообщении #1082202 писал(а):

Не настолько.

Простите, мы всё ещё о физике говорим?

[g______d]

Munin в сообщении #1082207 писал(а):

Простите, мы всё ещё о физике говорим?

О квантовой механике в ее современном состоянии.

Munin в сообщении #1082207 писал(а):

Не всё равно, и я такого не говорил.

То, что вы говорили, интерпретируется вполне однозначно — что из состояний нельзя построить наблюдаемые, потому что состояния являются переменными, на которые наблюдаемые действуют. Ну это замечание на уровне того, что нельзя построить функцию, равную единице, потому что единица является числом, а числа являются аргументами функций.

Про то, что состояние является переменной, по-моему, вы сами придумали, в словах maximav этого не было.

[Red_Herring]

Munin: матрица плотности это самосопряжённый оператор со следом. Т.е. в дополнение к самосопряжённости никакого спектра, кроме точечного нет, собственные значения положительны неотрицательны и их сумма равна $1$.

Т.е. с математической точки зрения это очень хороший оператор. Но этой хорошести может и не хватить для существования следа его произведения с оператором, который наблюдаемая.

[maximav]

g______d в сообщении #1082216 писал(а):

То, что вы говорили, интерпретируется вполне однозначно...
Ну это замечание на уровне того, что нельзя построить функцию, равную единице, потому что единица является числом, а числа являются аргументами функций.

... лучше по-моему и не скажешь! ... Munin просто горячится с настаиванием. Ему можно, он человек уважаемый на форуме.

Пространства живут прекрасно и независимо друг от друга. Вся такая формулировка КМ - это известная $C^*$-теория Гельфанда-Наймарка; причем упоминавшаяся здесь в потоке. Я расписал здесь лишь потому, что (как похожее было в темах про тензоры) есть важные вещи, которые обязательно надо произносить. Не говорить про них - вводить в заблуждение или, как минимум, городить тень на плетень. Появление гильбертовых пространств, операторов "начинающих жить поголовно там" и естественные изоморфизмы в $L^2$ - это уже как я понимаю - теоремы из теории. Но основы довольно просты и естественно мотивированы. Кстати недавно обнаружил интересные дела про самодуальные трактовки темы оператор-состояния. См http://arxiv.org/abs/1110.3516 и http://arxiv.org/abs/0912.5530

-- 15.12.2015, 19:52 --

Red_Herring в сообщении #1082231 писал(а):

в дополнение к самосопряжённости никакого спектра, кроме точечного нет

Кстати, это теорема? Ну в смысле: нет остаточного? Это наверно что-то полуочевидное...?

[Red_Herring]

Самосопяжённые операторы не имеют остаточного спектра, но могут иметь непрерывный. В этом случае если мы хотим чтобы оператор имел след, не должно быть никакого непрерывного спектра (или, м.б. $0$ если говорить об общей классификации спектра—у самосопряжённых операторов своя классификация). http://dxdy.ru/post1063946.html#p1063946

[Munin]

g______d в сообщении #1082216 писал(а):

То, что вы говорили, интерпретируется вполне однозначно — что из состояний нельзя построить наблюдаемые, потому что состояния являются переменными, на которые наблюдаемые действуют. Ну это замечание на уровне того, что нельзя построить функцию, равную единице, потому что единица является числом, а числа являются аргументами функций.

Простите, ровно наоборот: нельзя построить число, равное $x,$ потому что $x$ является функцией, а числа бывают функциями, но не все функции являются числами.

Кажется, вы тоже забыли о физическом содержании понятия "квантовая механика". Надо напомнить.

Квантовая система - это система микрочастиц, не взаимодействующих с макроскопическими телами, приборами, наблюдателями, или взаимодействующих очень ограниченным, специально оговорённым образом: электрон может двигаться в вакуумной камере во внешне созданных электрическом и магнитном поле, квазичастица - в кристалле (не слишком долгое время), и т. п. Система ограничена в пространстве и во времени: дальше происходит то или иное нарушение её квантовости. Система обладает состоянием, которое полностью характеризует то, что физики хотят о ней узнать. Это состояние обусловлено тем, как система возникла, и как дальше эволюционировала. Оно не задаётся условиями эксперимента напрямую (хотя возможно, задаётся однозначно), и его надо специально исследовать - измерить, - чтобы говорить о нём что-то определённое. Таким образом, к моменту измерения известно только то, что состояние системы принадлежит некоторому пространству состояний. Остальное - всего лишь теоретические гипотезы, предсказания о том, что система будет или не будет находиться в некотором состоянии, исходя из подразумеваемых начальных условий и квантовых законов.

Измерения возможны различными способами, которые осуществляются различными макроскопическими телами - приборами. (Более точно говоря, с прибором должен сочетаться и определённый экспериментальный метод.) Поскольку квантовые опыты кратковременны, то прибор обычно изготавливается до опыта. В любом случае, он должен быть готов к моменту измерения, и по вышесказанному, при этом он не должен заранее взаимодействовать с квантовой системой. И вот понятие прибора приводит к понятию наблюдаемой величины - это та величина, для измерения которой прибор предназначен. Наблюдаемая величина не может охватывать целиком состояние системы (принцип неопределённости), поэтому приходится говорить о множестве наблюдаемых. В теории подразумевается, что любую наблюдаемую, построенную по определённым правилам (например, алгебраически из наблюдаемых координаты и импульса), можно измерить. На практике это может быть затруднительно, ведь для каждой выдуманной наблюдаемой необходимо разработать новый измерительный прибор, и неизвестно, не будет ли это слишком сложно. Но на практике, слишком много разных наблюдаемых и не нужно: обычно достаточно тех же самых координат, импульсов, энергий, поляризаций, и может быть ещё нескольких. Оговаривать "все возможные наблюдаемые" (возможные в теоретическом смысле) более важно для теории.

Итак, теперь, надеюсь, должно быть понятно, что состояние - величина переменная от эксперимента к эксперименту, а некоторая наблюдаемая - постоянная. Её можно измерить в разных экспериментах. И нет возможности сделать её зависимой от состояния.

g______d в сообщении #1082216 писал(а):

Про то, что состояние является переменной, по-моему, вы сами придумали, в словах maximav этого не было.

Разумеется, в его словах этого не было, потому что он несёт чушь, оторванную от смысла. Но это не я сам придумал. См. выше в этом сообщении.

maximav в сообщении #1082368 писал(а):

Вся такая формулировка КМ - это известная $C^*$-теория Гельфанда-Наймарка

К сожалению, квантовая механика - это физическая теория, а не математическая теория. Как бы вы ни настаивали на обратном. И пока вы находитесь в физическом разделе, будьте любезны уважать этот факт.

maximav в сообщении #1082368 писал(а):

Я расписал здесь лишь потому, что (как похожее было в темах про тензоры) есть важные вещи, которые обязательно надо произносить. Не говорить про них - вводить в заблуждение или, как минимум, городить тень на плетень.

Самая важная вещь, которую надо произнести, - это то, что квантовая механика - это физическая теория. Она имеет смысл, видите ли.

[g______d]

Munin в сообщении #1082570 писал(а):

Простите, ровно наоборот: нельзя построить число, равное $x,$ потому что $x$ является функцией, а числа бывают функциями, но не все функции являются числами.

Ну так там не строилось число, равное $x$. Там выбиралось конкретное состояние (а не переменное), и по нему строился соответствующий оператор.

Munin в сообщении #1082570 писал(а):

Кажется, вы тоже забыли о физическом содержании понятия "квантовая механика". Надо напомнить.

Мне кажется (правда, это, видимо, слишком громкое заявление для данной темы), что эти физические постулаты были, фактически, пересказом математических оснований для физиков и были некой временной мерой, пока физики не выучат соответствующую математику. А вместо этого они прочно вошли в учебники.

(Оффтоп)

Впрочем, не во все; в учебниках в стиле "quantum mechanics for mathematicians" часто всё излагается нормально. См. например, книжку Тахтаджян, "Квантовая механика для математиков".

После этого куча физиков воспринимает эти словесные описания математических конструкций как фундаментальные определения. Ничего хорошего из этого, в целом, не выходит.

Munin в сообщении #1082570 писал(а):

Наблюдаемая величина не может охватывать целиком состояние системы (принцип неопределённости), поэтому приходится говорить о множестве наблюдаемых.

Обычно, когда произносят слова "не может охватывать", говорят, что нужно ввести систему наблюдаемых и в качестве примера приводят три координаты в $\mathbb R^3$. Они коммутируют, и принцип неопределённости здесь ни при чём; важна простота совместного спектра.

В 1D одна удачно выбранная наблюдаемая (например, координата) полностью описывает состояние системы в том смысле, что нахождение в собственном состоянии координаты с данным собственным значением однозначно определяет состояние системы.

Munin в сообщении #1082570 писал(а):

Самая важная вещь, которую надо произнести, - это то, что квантовая механика - это физическая теория. Она имеет смысл, видите ли.

Я уже говорил, что современный статус у неё такой же, как у классической механики: математическая теория с физической интерпретацией результатов.

[Munin]

g______d в сообщении #1084021 писал(а):

Я уже говорил, что современный статус у неё такой же, как у классической механики: математическая теория с физической интерпретацией результатов.

Ну так это неправда. Может быть, математики на неё так смотрят, не спорю. Но в физике ситуация другая.

В физике:
- классическая механика - это прежде всего теоретический шаблон для всех остальных разделов теорфизики;
- квантовая механика - это непосредственно применимая теория, а в "немеханических" разделах физики - очень мала разница между "теоретическим шаблоном" и "непосредственно применимой теорией".

Например, в классической механике есть обобщённые координаты и импульсы $q$ и $p$ (или в поле - $\varphi$ и $\pi$). В механической интерпретации, они естественно интерпретируются напрямую, но в других разделах физики - в общем-то наплевать, есть такая интерпретация или нет. Например, в калибровочном поле они могут быть принципиально ненаблюдаемыми, это не мешает пользоваться всем остальным аппаратом.

В квантовой механике есть квантовое состояние $\psi$ и квантовые наблюдаемые $\hat{f}.$ И они интерпретируются именно так же, как и в КМ, так и в КТП. Какая-то экзотика, может быть, лезет только в аксиоматической КТП, в теории струн. Но это, как ни крути, маргинальные разделы теорфизики.

(Оффтоп)

g______d в сообщении #1084021 писал(а):

Мне кажется (правда, это, видимо, слишком громкое заявление для данной темы), что эти физические постулаты были, фактически, пересказом математических оснований для физиков и были некой временной мерой, пока физики не выучат соответствующую математику. А вместо этого они прочно вошли в учебники.

Я не понимаю такого упорства в своей позиции. Неужели нельзя признать, что в словосочетании "пять яблок" есть нечто большее, чем математическое понятие "пять", что там есть ещё и связь с понятием "яблоки"? И неужели нельзя признать право садоводов на своё компетентное мнение в этом вопросе?

g______d в сообщении #1084021 писал(а):

После этого куча физиков воспринимает эти словесные описания математических конструкций как фундаментальные определения.

Есть разница между понятиями "физическое определение" и "математическое определение". Вы, видимо, имеете в виду именно последние. На это, на самом деле, физики не претендуют. А речь идёт о первом.

g______d в сообщении #1084021 писал(а):

В 1D одна удачно выбранная наблюдаемая (например, координата) полностью описывает состояние системы в том смысле, что нахождение в собственном состоянии координаты с данным собственным значением однозначно определяет состояние системы.

В том-то и дело, что этот смысл физиков не интересует. Система бывает и в других состояниях, и в них - измерение этой наблюдаемой ничего однозначного не скажет.

g______d в сообщении #1084021 писал(а):

Там выбиралось конкретное состояние (а не переменное), и по нему строился соответствующий оператор.

Снова и снова повторю, что к построению оператора нет никаких претензий. Нельзя просто называть его оператором наблюдаемой. Потому что оператор наблюдаемой - обязан быть постоянным при переменном состоянии. Это в ваших математических формулировках не указано, но физически это так, и всё.

[g______d]

Munin в сообщении #1084071 писал(а):

Потому что оператор наблюдаемой - обязан быть постоянным при переменном состоянии.

Что значит "при переменном состоянии"? Я так и не понял. Состояние, по которому строится оператор, не переменное; это фиксированный (раз и навсегда) вектор гильбертова пространства.

-- Пн, 21 дек 2015 07:24:27 --

Munin в сообщении #1084071 писал(а):

Например, в классической механике есть обобщённые координаты и импульсы $q$ и $p$ (или в поле - $\varphi$ и $\pi$).

Нет, в классический механике есть фазовое пространство. Координаты $q$ и $p$ там можно ввести только иногда. Есть классические состояния -- вероятностные меры на фазовом пространстве. Есть классические наблюдаемые -- функции на фазовом пространстве. Есть правило эволюции наблюдаемых -- уравнение Лиувилля.

У всего этого есть квантовые аналоги.

Ну т. е. я не понимаю, почему квантовая механика должна быть менее абстрактной, чем классическая механика. Квантовых гамильтоновых систем, интересных для изучения, не меньше, чем классических.