Доказательство алгебраичности числа

[maximk]

Последнее равенство, где $p/q:=q, \pi:=x$

[ex-math]

Ну пусть так. Теперь возьмем $x=p\pi/q$. Только напишите результат полностью, пожалуйста.

[maximk]

А почему нельзя сделать так, как я сделал в прошлом посту?

[ex-math]

Там не очень понятно написано, но Вам же многочлен нужен, поэтому дробных степеней лучше избегать.

[maximk]

$\sin qp\pi/q=\operatorname{Im}(\cos^{q-1} (p\pi/q) i\sin (p\pi/q) +...+i^{q}\sin^{q} (p\pi/q))=\cos^{q-1} (p\pi/q) \sin (p\pi/q) +\operatorname{Im}(...+i^{q}\sin^{q} p\pi/q)=0$

[ex-math]

В каких степенях в правую часть входит $\cos p\pi/q$, если предположить, что $q$ --- нечетное?

[maximk]

Пусть $q$ нечетное, тогда косинус входит в степенях: $q-1, q-3, ...,2 $.
Пусть $q$ четное, тогда $q-1, q-3, ..., 1$.

[ex-math]

Иначе говоря, при нечетном $q$ степени косинуса четные. Нам надо, чтобы был многочлен только от синуса. Как этого достичь?

[maximk]

Либо мне не нужно суваться в область исследования алгебраических и трансцендетных чисел, либо я не соображаю, т.к. у меня уже 3 часа ночи)
У нас p и q по сути любые целые, нужно, чтобы при косинусах были нулевые степени, тогда как нужно изменять q в зависимости от всех степеней одновременно? Пока нет идей. Или использовать как-то тригонометрические тождества так, чтобы сумма из произведений синусов и косинусов преобразовалась в функцию от синуса?

[ex-math]

Да, основное тождество используйте, благо степени четные.
Наверное, лучше на свежую голову Вам разбираться.
Нужно:
1. Предъявить многочлен, корнем которого будет $\sin p\pi/q$.
2. Показать, что его коэффициенты рациональны.
3. Показать, что старший коэффициент не равен нулю.
Пока для нечетного $q$. Потом подумайте, что с четным делать.

[maximk]

Спасибо.
Подумаю.
Отпишусь.

[Otta]

Для простоты разбирательства можно для начала считать, что $p=1$. Заодно и записывать проще будет.

(А можно и не считать, тогда если получится, то все сразу. )

[Terraniux]

Есть известный факт о том, что $\sin (nx) = P(\sin x)$ для нечетных $n$. Не следует ли сразу отсюда алгебраичность числа $\sin \left(\dfrac{p\pi}{q}\right)$?

[ex-math]

Terraniux
ТС этот факт неизвестен и мы этот $P$ как раз пытаемся получить.

[maximk]

$\sin q(p\pi/q)=q\cos^{q-1} (p\pi/q) \sin (p\pi/q) -q!3!^{-1}(q-3)!^{-1}\cos^{q-3} (p\pi/q) \sin (p\pi/q)+...+\sin^q (p\pi/q)$
Вся сложность в чередовании знаков слагаемых, да и биноминальные коэффициенты "мешаются". Как бы всё это свернуть. Хотя здесь мы и получили тот факт, что $\sin(q p\pi/q)=P(\sin p\pi/q)$.
У нас та $q$, что в биноминальных коэффициентах и в степени (неудачное обозначение) не есть та $q$, что в аргументе вообще говоря, значит при нечетном $q(=n)$ получаем то, что требовалось (пользуясь обозначением Terraniux).

-- 06.01.2015, 09:35 --

Но нужно еще доказать, что $P(\sin p\pi/q)=0$