2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... 25  След.

Выражение 0^0
равно 0 3%  3%  [ 2 ]
равно 1 32%  32%  [ 19 ]
не определено 39%  39%  [ 23 ]
не имеет смысла 17%  17%  [ 10 ]
ничего не могу сказать по этому поводу 8%  8%  [ 5 ]
Всего голосов : 59
 
 
Сообщение24.12.2007, 13:42 


16/03/07

823
Tashkent
Someone писал(а):
А без всякой идеи, никакой нейтральности нуль не означал. Означал он, как и положено, "ничто", то есть, отсутствие чего-либо. И вовсе не всегда и не везде был связан с отрицательными числами, да и сейчас ситуация такая же.


    Ситуация в корне изменилась. Никаких операций с "ничего" раньше не было. В записи чисел были пустые места. В равенствах обязательно была правая часть и т. д. Записать бессмысленное обсуждаемое выражение или делить на ничего было просто невозможно. Они, как им и положено, не существовали. Математики сперва для "ничто" нашли удачное обозначение - $0$ - оказалось очень... удобно, а потом придали ему статус числа. Для математиков стало не только удобно, а благодать. И вот результат: $0^0=1$; "ничто" равно единице! Почему бесконечности обидели,оставив их в ранге символов?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.12.2007, 13:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Yarkin писал(а):
Почему бесконечности обидели,оставив их в ранге символов?
Есть такая область математики - нестандартный анализ. Так там бесконечности - это тоже числа. Просветитесь: Успенский В.А. — Что такое нестандартный анализ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.12.2007, 14:11 
Заслуженный участник


31/12/05
1206
STilda писал(а):
Потому отрицательность и положительность отдельная от количества характеристика.
Если вы пытаетесь доказать эту гипотезу, то вы не можете пользоваться ей же самой в ее доказательстве. Поэтому пока запишем ваше предположение в уже определенных терминах:
"Умножение целых можно задать двояко. ($1\cdot1=1$, $1\cdot1=-1$)."

По определению единицы кольца для любого $a$ выполняется $1\cdot a=a$. Следовательно, при $a=1$, получаем $1\cdot1=1$, то есть задать умножение вашим вторым способом никак не получается.

Так что гипотезу об отдельности отрицательности от количества вам доказать не удалось.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.12.2007, 16:52 


07/09/07
463
Во втором случае единицей кольца будет $-1$.
Товарищи, если кто-то не может отличить барана от положительного барана, то вам никто не поможет. Интересно, вы в реальности видите двух баранов или двух положительных баранов или может, если бывает отрицательное количество, то покажете мне двух отрицательных баранов, или минус три литра воды, или предмет с шириной минус пять метров?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.12.2007, 17:47 
Заслуженный участник


31/12/05
1206
STilda писал(а):
Во втором случае единицей кольца будет $-1$.
В результате чего "целые" числа не будут расширением натуральных - соотношение $1\cdot1=1$, верное для натуральных чисел, для "целых" становится неверным. Что ж тогда мелочиться - пусть в "целых" числах $2\cdot2=5$, например, а единицей станет $3$. Не правда ли, если мы не обязаны расширять натуральные числа, то умножение "целых" чисел можно задать более чем двояко?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.12.2007, 18:11 


07/09/07
463
может и правда.
в математике и не требуется чтоб одно было расширением другого. иногда довольствуются каноническим вложением. с какой стати натуральные числа должны быть целыми?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.12.2007, 19:33 
Заслуженный участник


31/12/05
1206
STilda писал(а):
в математике и не требуется чтоб одно было расширением другого. иногда довольствуются каноническим вложением. с какой стати натуральные числа должны быть целыми?
Каноническое вложение как раз и означает расширение.
http://en.wikipedia.org/wiki/Canonical_injection
Если же вы говорите о естественном вложении, то оно должно быть гомоморфизмом алгебраических структур, в данном случае полуколец, то есть отображать единичный элемент в единичный. А называть единичный элемент кольца "минус единицей", а единицей другой элемент - софистика и бессмысленное запутывание.

Возвращаясь к сути разговора о натуральных и целых положительных числах, образом натурального числа $1$ при естественном вложении является целое число $1$ - единица кольца целых чисел, и натуральные числа отождествляются с целыми положительными числами посредством этого вложения.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.12.2007, 20:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17932
Москва
Профессор Снэйп писал(а):
Все объекты в математике суть множества. Математика работает только с множествами, ничего другого у них просто нет. Числа вводятся так:

...

Если есть желание, я все эти конструкции могу подробно расписать. Но это долго... Я это сделаю, если для Вас это действительно важно.


Спасибо, не тратьте время. Меня этому научили ещё на первом курсе, лет 40 назад. И я ещё в состоянии эти построения воспроизвести в деталях, если потребуется.

Профессор Снэйп писал(а):
Если нет, то предлагаю спор завершить. Вопрос, с какого числа следует начинать натуральный ряд не столь уж принципиален, тут об этом, по-моему, все мало-мальски продвинутые люди твердят.


Ага. В частности, я сам это периодически повторяю (это я на комплимент напрашиваюсь, дескать, "какой я продвинутый").

Добавлено спустя 13 минут 2 секунды:

STilda писал(а):
Потому отрицательность и положительность отдельная от количества характеристика.


Нет, не отдельная. Другое дело, что при желании Вы можете интерпретировать положительность и отрицательность в духе своих "полярностей". Но такая интерпретация не является предопределённой.

STilda писал(а):
Someone писал(а):
Понятие "нейтрального элемента" в алгебре также не имеет отношения к "полярностям", Вам же хочется видеть их везде
)) А вам хочется не видеть их нигде. Подходы до определенного момента равноправны.


Вы не понимаете отношения математиков к "полярностям". Для математиков это просто одна из возможных интерпретаций некоторых алгебраических систем. Кому-то интересная, кому-то - нет. И совершенно не обязательная, поскольку существует масса других интерпретаций. Та же теория групп, как легко видеть, существенно шире "теории полярностей". И за двести лет разработана очень глубоко и очень широко.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.12.2007, 22:40 


22/11/06
186
Москва
Предлагаю интересный отрывок из дискуссии на аналогичную тему по адресу http://forum.tsure.ru/lofiversion/index.php/t18126-0.html

"...Но это все присказка. А вот и сказка. Сравнив свои записи с экселовской табличкой, врачиха сказала: а что тут делает единица?
Как что, говорим мы, это два в нулевой степени.
В какой-какой, говорит врачиха.
В нулевой, говорим мы.
А три в нулевой степени сколько, говорит врачиха.
Дык... тоже единица, говорим мы.
И это что же, говорит врачиха, любое число в нулевой степени - единица, говорит врачиха.
Любое, подтверждаем мы.

Ага, говорит врачиха, тут я вас и поймала. А ноль в нулевой степени - это что?
Единица, говорим мы.

Это что же, потрясенно говорит врачиха, берем ничего, возводим в степень ничего, и получаем полноправную единицу? Это что же такое в вашей математике делается?

Ну почему же, говорит экономист, в обычной жизни такое тоже сплошь и рядом бывает. Все российские состояния именно так и сделаны.
..."

Выделение жирным шрифтом - это моих рук дело. Раздолье для философов порассуждать как из ничего появляется что-то.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.12.2007, 13:37 


16/03/07

823
Tashkent
shust писал(а):
Раздолье для философов порассуждать как из ничего появляется что-то.


    Вы думаете, что математиков интересует мнение философов? Те времена прошли.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.12.2007, 10:23 


16/03/07

823
Tashkent
Brukvalub писал(а):
Есть такая область математики - нестандартный анализ. Так там бесконечности - это тоже числа. Просветитесь:


    Спаибо за просвещение. Речь идет об общей математике, которую изучают массы. Там они везде - символы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.01.2008, 15:05 


22/11/06
186
Москва
Подведем некоторые промежуточные итоги опроса. Как всегда в сложных случаях мнения разошлись.
На мой взгляд все правы, но правы по своему, каждый со своей точки зрения.

В рамках существующей аксиоматики числовых действий
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%BE%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%8C
выражение $0^0$ нельзя определить однозначно даже в случае неотрицательных целых чисел.
Точнее можно ввести аксиоматически, но во первых острой необходимости в принятии этой аксиомы нет (как правильно сказал PAV "Оно ведь не используется в формулах и выражениях", и вспомним бритву Оккама
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%9E%D0%BA%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B0),
во вторых всегда возникнет вопрос об обоснованности этой аксиомы, особенно
в случае использования вещественных чисел (неоднозначность предела
функции x^y в окрестности нуля) и т. д.
Поэтому проще объявить это выражение как не имеющее смысла, что и делают авторитетные
источники (Математический энциклопедический словарь под редакцией Ю.В. Прохорова 1988г., издательство "Советская энциклопедия" , стр.564: "СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ - ...a)... $0^0$ определенного смысла не имеет." ),
чем излагать все эти соображения. И в этом я с ними - источниками - совершенно и полностью согласен.

Однако потребности ряда разделов математики все-таки требует, чтобы выражение $0^0$ было бы определено
и имело вполне конкретное значение
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Zero_to_the_zero_power

На мой взгляд, лучше было бы так, что вопрос о значении выражении $0^0$ был бы не аксиомой,
а ТЕОРЕМОЙ, в которой вопрос о значении выражения $0^0$ решался бы однозначно, и более того
строго ДОКАЗЫВАЛСЯ, исходя из некоторой аксиоматики.

Т.е. в рамках этой аксиоматики хотелось бы, чтобы выражение $0^0$:

1. имело смысл и определенное значение,
3. согласовывалось со значением, ожидаемом от него в одних областях математики,
4. не противоречило ожидаемому значению в других областях, осуществляя единственный выбор среди множества возможных,
5. являлось теоремой.

Короче говоря, вопрос формулируется следующим образом:
существует ли аксиоматика, которая согласовывалась бы с известной классической
аксиоматикой числовых действий и в которой выражение $0^0$ было бы теоремой?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.01.2008, 16:25 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
shust писал(а):
...существует ли аксиоматика, которая согласовывалась бы с известной классической аксиоматикой числовых действий и в которой выражение $0^0$ было бы теоремой?


Конечно существует :) Например, аксиоматика Цермело-Френкеля :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.01.2008, 17:38 


22/11/06
186
Москва
Профессор Снэйп писал(а):
shust писал(а):
...существует ли аксиоматика, которая согласовывалась бы с известной классической аксиоматикой числовых действий и в которой выражение $0^0$ было бы теоремой?


Конечно существует :) Например, аксиоматика Цермело-Френкеля :)


Это так..., ну, а без использования теории множеств?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.01.2008, 22:41 


22/11/06
186
Москва
shust писал(а):
Короче говоря, вопрос формулируется следующим образом:
существует ли аксиоматика, которая согласовывалась бы с известной классической
аксиоматикой числовых действий и в которой выражение $0^0$ было бы теоремой?


Такая аксиоматика числовых действий существует и представлена в книге
"Общее числовое действие и некоторые его свойства" - М.: Издательство ЛКИ, 2008,
автор Шустов В.В.
Без согласования с автором и издательством я не могу детально воспроизвести ее здесь.
Ограничусь лишь некоторым словесным описанием.

В книге вводится так называемое общее числовое действие (или просто общее действие),
под которым понимается вычислимая функция, ставящая упорядоченной четверке чисел,
например, $a,n,k,h$ определенное число, называемое значением этой функции.

Общее действие записывается в виде
$a[n]^kh$,
имет параметры: начальный $a$, операционный $n$-выделяется скобками [ ], итерационный $k$ ,
записываемый как верхний индекс, и шаговый $h$, соответственно,
и определяется конечным набором начальных и итерационных аксиом.

Пример связи общего действия и, например, действия сложения, соответствующего значению $n=1$:
$1[1]^23=1+3+3=7$.

Фактически общее действие - это частный, но черезвычайно важный для теории и
практики класс рекурсивных функций, представленный в так называемой инфиксной
форме - привычной форме записи арифметических действий.
Общее действие не только включает 7 известных классических действий, но и
в силу представления операций в числовой форме неограниченно расширяет их
количество.
Аксиоматика общего действия включает классическую аксиоматику числовых действий
и является ее расширением; некоторые аксиомы классической аксиоматики являются теоремами
аксиоматики общего действия.

Допускается, что итерационный параметр - число повторений операции может
принимать и нулевое значение.Также вводится нулевая операция, возвращающая при любых
значениях параметров $k,h$ начальный параметр $a$ .

В рамках аксиоматики общего действия выражение $0^0$ имеет смысл, а значение его
устанавливается доказуемым утверждением - теоремой, названной в книге свойством,
в соответствии с которой
$0^0=1$ .
Поэтому имеет место равенства:
$0^1=0,  0^0=1, 0^{0^0}=0, ... .$

В обозначениях общего действия этот неограниченный набор равенств можно
записать короче в линейной форме:
$a[4]0 = 0$ при $a$ - нечетном и $(1)$
$a[4]0 = 1$ при $a$ - четном $(2)$.

На рисунке, расположенном по ссылке http://en.wikipedia.org/wiki/Tetration
в правой части страницы представлены графики функций вида
$x^x,  x^{x^x}$ ..., полученных из действия tetration или в обозначениях общего
действия как $y=a[4]x$ для различных значений начального параметра $a$.

Из рисунка видно, что пределы этих функций при $x$ стремящемся к $0$ вполне соответствует
формулам $(1),(2)$. Это является дополнительным подтверждением в пользу верности
$0^0=1$.
Как уже отмечено выше, в аксиоматике общего действия - это теорема, в классической -
выражение смысла не имеет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 362 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... 25  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group