Выражение 0^0

[Yarkin]

Someone писал(а):

А без всякой идеи, никакой нейтральности нуль не означал. Означал он, как и положено, "ничто", то есть, отсутствие чего-либо. И вовсе не всегда и не везде был связан с отрицательными числами, да и сейчас ситуация такая же.

Ситуация в корне изменилась. Никаких операций с "ничего" раньше не было. В записи чисел были пустые места. В равенствах обязательно была правая часть и т. д. Записать бессмысленное обсуждаемое выражение или делить на ничего было просто невозможно. Они, как им и положено, не существовали. Математики сперва для "ничто" нашли удачное обозначение - $0$ - оказалось очень... удобно, а потом придали ему статус числа. Для математиков стало не только удобно, а благодать. И вот результат: $0^0=1$; "ничто" равно единице! Почему бесконечности обидели,оставив их в ранге символов?

[Brukvalub]

Yarkin писал(а):

Почему бесконечности обидели,оставив их в ранге символов?

Есть такая область математики - нестандартный анализ. Так там бесконечности - это тоже числа. Просветитесь: Успенский В.А. — Что такое нестандартный анализ?

[tolstopuz]

STilda писал(а):

Потому отрицательность и положительность отдельная от количества характеристика.

Если вы пытаетесь доказать эту гипотезу, то вы не можете пользоваться ей же самой в ее доказательстве. Поэтому пока запишем ваше предположение в уже определенных терминах:
"Умножение целых можно задать двояко. ($1\cdot1=1$, $1\cdot1=-1$)."

По определению единицы кольца для любого $a$ выполняется $1\cdot a=a$. Следовательно, при $a=1$, получаем $1\cdot1=1$, то есть задать умножение вашим вторым способом никак не получается.

Так что гипотезу об отдельности отрицательности от количества вам доказать не удалось.

[STilda]

Во втором случае единицей кольца будет $-1$.
Товарищи, если кто-то не может отличить барана от положительного барана, то вам никто не поможет. Интересно, вы в реальности видите двух баранов или двух положительных баранов или может, если бывает отрицательное количество, то покажете мне двух отрицательных баранов, или минус три литра воды, или предмет с шириной минус пять метров?

[tolstopuz]

STilda писал(а):

Во втором случае единицей кольца будет $-1$.

В результате чего "целые" числа не будут расширением натуральных - соотношение $1\cdot1=1$, верное для натуральных чисел, для "целых" становится неверным. Что ж тогда мелочиться - пусть в "целых" числах $2\cdot2=5$, например, а единицей станет $3$. Не правда ли, если мы не обязаны расширять натуральные числа, то умножение "целых" чисел можно задать более чем двояко?

[STilda]

может и правда.
в математике и не требуется чтоб одно было расширением другого. иногда довольствуются каноническим вложением. с какой стати натуральные числа должны быть целыми?

[tolstopuz]

STilda писал(а):

в математике и не требуется чтоб одно было расширением другого. иногда довольствуются каноническим вложением. с какой стати натуральные числа должны быть целыми?

Каноническое вложение как раз и означает расширение.
http://en.wikipedia.org/wiki/Canonical_injection
Если же вы говорите о естественном вложении, то оно должно быть гомоморфизмом алгебраических структур, в данном случае полуколец, то есть отображать единичный элемент в единичный. А называть единичный элемент кольца "минус единицей", а единицей другой элемент - софистика и бессмысленное запутывание.

Возвращаясь к сути разговора о натуральных и целых положительных числах, образом натурального числа $1$ при естественном вложении является целое число $1$ - единица кольца целых чисел, и натуральные числа отождествляются с целыми положительными числами посредством этого вложения.

[Someone]

Профессор Снэйп писал(а):

Все объекты в математике суть множества. Математика работает только с множествами, ничего другого у них просто нет. Числа вводятся так:

...

Если есть желание, я все эти конструкции могу подробно расписать. Но это долго... Я это сделаю, если для Вас это действительно важно.

Спасибо, не тратьте время. Меня этому научили ещё на первом курсе, лет 40 назад. И я ещё в состоянии эти построения воспроизвести в деталях, если потребуется.

Профессор Снэйп писал(а):

Если нет, то предлагаю спор завершить. Вопрос, с какого числа следует начинать натуральный ряд не столь уж принципиален, тут об этом, по-моему, все мало-мальски продвинутые люди твердят.

Ага. В частности, я сам это периодически повторяю (это я на комплимент напрашиваюсь, дескать, "какой я продвинутый").

Добавлено спустя 13 минут 2 секунды:

STilda писал(а):

Потому отрицательность и положительность отдельная от количества характеристика.

Нет, не отдельная. Другое дело, что при желании Вы можете интерпретировать положительность и отрицательность в духе своих "полярностей". Но такая интерпретация не является предопределённой.

STilda писал(а):

Someone писал(а):

Понятие "нейтрального элемента" в алгебре также не имеет отношения к "полярностям", Вам же хочется видеть их везде

)) А вам хочется не видеть их нигде. Подходы до определенного момента равноправны.

Вы не понимаете отношения математиков к "полярностям". Для математиков это просто одна из возможных интерпретаций некоторых алгебраических систем. Кому-то интересная, кому-то - нет. И совершенно не обязательная, поскольку существует масса других интерпретаций. Та же теория групп, как легко видеть, существенно шире "теории полярностей". И за двести лет разработана очень глубоко и очень широко.

[shust]

Предлагаю интересный отрывок из дискуссии на аналогичную тему по адресу http://forum.tsure.ru/lofiversion/index.php/t18126-0.html

"...Но это все присказка. А вот и сказка. Сравнив свои записи с экселовской табличкой, врачиха сказала: а что тут делает единица?
Как что, говорим мы, это два в нулевой степени.
В какой-какой, говорит врачиха.
В нулевой, говорим мы.
А три в нулевой степени сколько, говорит врачиха.
Дык... тоже единица, говорим мы.
И это что же, говорит врачиха, любое число в нулевой степени - единица, говорит врачиха.
Любое, подтверждаем мы.

Ага, говорит врачиха, тут я вас и поймала. А ноль в нулевой степени - это что?
Единица, говорим мы.

Это что же, потрясенно говорит врачиха, берем ничего, возводим в степень ничего, и получаем полноправную единицу? Это что же такое в вашей математике делается?

Ну почему же, говорит экономист, в обычной жизни такое тоже сплошь и рядом бывает. Все российские состояния именно так и сделаны.
..."

Выделение жирным шрифтом - это моих рук дело. Раздолье для философов порассуждать как из ничего появляется что-то.

[Yarkin]

shust писал(а):

Раздолье для философов порассуждать как из ничего появляется что-то.

Вы думаете, что математиков интересует мнение философов? Те времена прошли.

[Yarkin]

Brukvalub писал(а):

Есть такая область математики - нестандартный анализ. Так там бесконечности - это тоже числа. Просветитесь:

Спаибо за просвещение. Речь идет об общей математике, которую изучают массы. Там они везде - символы.

[shust]

Подведем некоторые промежуточные итоги опроса. Как всегда в сложных случаях мнения разошлись.
На мой взгляд все правы, но правы по своему, каждый со своей точки зрения.

В рамках существующей аксиоматики числовых действий
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%BE%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%8C
выражение $0^0$ нельзя определить однозначно даже в случае неотрицательных целых чисел.
Точнее можно ввести аксиоматически, но во первых острой необходимости в принятии этой аксиомы нет (как правильно сказал PAV "Оно ведь не используется в формулах и выражениях", и вспомним бритву Оккама
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%9E%D0%BA%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B0),
во вторых всегда возникнет вопрос об обоснованности этой аксиомы, особенно
в случае использования вещественных чисел (неоднозначность предела
функции x^y в окрестности нуля) и т. д.
Поэтому проще объявить это выражение как не имеющее смысла, что и делают авторитетные
источники (Математический энциклопедический словарь под редакцией Ю.В. Прохорова 1988г., издательство "Советская энциклопедия" , стр.564: "СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ - ...a)... $0^0$ определенного смысла не имеет." ),
чем излагать все эти соображения. И в этом я с ними - источниками - совершенно и полностью согласен.

Однако потребности ряда разделов математики все-таки требует, чтобы выражение $0^0$ было бы определено
и имело вполне конкретное значение
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Zero_to_the_zero_power

На мой взгляд, лучше было бы так, что вопрос о значении выражении $0^0$ был бы не аксиомой,
а ТЕОРЕМОЙ, в которой вопрос о значении выражения $0^0$ решался бы однозначно, и более того
строго ДОКАЗЫВАЛСЯ, исходя из некоторой аксиоматики.

Т.е. в рамках этой аксиоматики хотелось бы, чтобы выражение $0^0$:

1. имело смысл и определенное значение,
3. согласовывалось со значением, ожидаемом от него в одних областях математики,
4. не противоречило ожидаемому значению в других областях, осуществляя единственный выбор среди множества возможных,
5. являлось теоремой.

Короче говоря, вопрос формулируется следующим образом:
существует ли аксиоматика, которая согласовывалась бы с известной классической
аксиоматикой числовых действий и в которой выражение $0^0$ было бы теоремой?

[Профессор Снэйп]

shust писал(а):

...существует ли аксиоматика, которая согласовывалась бы с известной классической аксиоматикой числовых действий и в которой выражение $0^0$ было бы теоремой?

Конечно существует Например, аксиоматика Цермело-Френкеля

[shust]

Профессор Снэйп писал(а):

shust писал(а):

...существует ли аксиоматика, которая согласовывалась бы с известной классической аксиоматикой числовых действий и в которой выражение $0^0$ было бы теоремой?

Конечно существует Например, аксиоматика Цермело-Френкеля

Это так..., ну, а без использования теории множеств?

[shust]

shust писал(а):

Короче говоря, вопрос формулируется следующим образом:
существует ли аксиоматика, которая согласовывалась бы с известной классической
аксиоматикой числовых действий и в которой выражение $0^0$ было бы теоремой?

Такая аксиоматика числовых действий существует и представлена в книге
"Общее числовое действие и некоторые его свойства" - М.: Издательство ЛКИ, 2008,
автор Шустов В.В.
Без согласования с автором и издательством я не могу детально воспроизвести ее здесь.
Ограничусь лишь некоторым словесным описанием.

В книге вводится так называемое общее числовое действие (или просто общее действие),
под которым понимается вычислимая функция, ставящая упорядоченной четверке чисел,
например, $a,n,k,h$ определенное число, называемое значением этой функции.

Общее действие записывается в виде
$a[n]^kh$,
имет параметры: начальный $a$, операционный $n$-выделяется скобками [ ], итерационный $k$ ,
записываемый как верхний индекс, и шаговый $h$, соответственно,
и определяется конечным набором начальных и итерационных аксиом.

Пример связи общего действия и, например, действия сложения, соответствующего значению $n=1$:
$1[1]^23=1+3+3=7$.

Фактически общее действие - это частный, но черезвычайно важный для теории и
практики класс рекурсивных функций, представленный в так называемой инфиксной
форме - привычной форме записи арифметических действий.
Общее действие не только включает 7 известных классических действий, но и
в силу представления операций в числовой форме неограниченно расширяет их
количество.
Аксиоматика общего действия включает классическую аксиоматику числовых действий
и является ее расширением; некоторые аксиомы классической аксиоматики являются теоремами
аксиоматики общего действия.

Допускается, что итерационный параметр - число повторений операции может
принимать и нулевое значение.Также вводится нулевая операция, возвращающая при любых
значениях параметров $k,h$ начальный параметр $a$ .

В рамках аксиоматики общего действия выражение $0^0$ имеет смысл, а значение его
устанавливается доказуемым утверждением - теоремой, названной в книге свойством,
в соответствии с которой
$0^0=1$ .
Поэтому имеет место равенства:
$0^1=0, 0^0=1, 0^{0^0}=0, ... .$

В обозначениях общего действия этот неограниченный набор равенств можно
записать короче в линейной форме:
$a[4]0 = 0$ при $a$ - нечетном и $(1)$
$a[4]0 = 1$ при $a$ - четном $(2)$.

На рисунке, расположенном по ссылке http://en.wikipedia.org/wiki/Tetration
в правой части страницы представлены графики функций вида
$x^x, x^{x^x}$ ..., полученных из действия tetration или в обозначениях общего
действия как $y=a[4]x$ для различных значений начального параметра $a$.

Из рисунка видно, что пределы этих функций при $x$ стремящемся к $0$ вполне соответствует
формулам $(1),(2)$. Это является дополнительным подтверждением в пользу верности
$0^0=1$.
Как уже отмечено выше, в аксиоматике общего действия - это теорема, в классической -
выражение смысла не имеет.