shust писал(а):
А вот здесь есть вопрос: почему верно

, откуда это следует?
С точки зрения математики утверждение 1)'

должно быть либо аксиомой, либо теоремой. Рассмотрим обе альтернативы.
Пусть 1)'

будем считать аксиомой. Тогда SAD определение сложения можно использовать. Однако в этом случае возникают две сложности:
1. Из нее нельзя вывести частное утверждение

, которое также придется объявить аксиомой.
2. Совокупность аксиом
1)

1)'

явно избыточна, что не хорошо.
Пусть по-прежнему только 1)

будем считать аксиомой.
Тогда 1)'

является теоремой, требующей для своего доказательства использования других аксиом и правил вывода . Вот рассуждения (без излишнего использования формализма), состоящее из посылок
-

верно для всех натуральных

,
- аксиомы (дополнительной!): из того, что

- натуральное число следует, что

- натуральное число и
- известного правила вывода, в соответствии с которым и получается, что

- верно
(совершенно аналогично известному примеру: "Сократ человек, все люди смертны, значит Сократ умрет"

)
Из того, что эти рассуждения проводится, как говорится, в уме, неявно, на интуитивном уровне,
Someone писал(а):
Потому что в аксиоме

- это любое натуральное число. А

- натуральное число, поэтому к

аксиома тоже применима
Профессор Снэйп писал(а):
первое равенство определяет результат прибавления нуля к любому числу

. В том числе и к числу

из второго равенства
утверждение

не теряет в этом случае статус теоремы и не приобретает, соответственно, статус аксиомы.
Итак, резюмирую, в случае классического определения операции сложения
оба утверждения - аксиомы, согласованные друг с другом и не требующие других аксиом и правил вывода.
Для SAD определения операции сложения
требуется дополнительная аксиома и правило вывода. Вам это надо?
Классическое определение операции сложение корректно не потому, что оно приведено в первоисточниках, а приведено в них , потому, что оно корректно.
Ps. Д. Гильберт в своем уже цитируемом несколько выше труде
http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=98779&si ... 4e20#98779,
даже в двух местах (стр. 376 и стр. 439) пишет, что формулу

можно доказать с помощью индукции.