я не знаю что такое вектор инерции
А что такое вектор действия силы инерции Вы знаете? Впрочем, вполне можете его называть вектором действия силы тяжести, что по сути одно и то же, только в несколько различных ипостасях.
а производная импульса, сила, приложенная вами к дощечке, не параллельна вектору ускорения.
Совершенно верно

.
Да, и получается, что сила натяжения нити напараллельна самой нити. Опять же - это странно, но только на первый взгляд.
Эк Вас занесло. Не усложняйте, пожалуйста, сверх необходимого. В коробке и пробном теле, связанными с движущейся СО, всего лишь сжатые атомы с замедленными колебаниями.
Представьте, что за движением отвеса и воздействующими на него силами (см. рис. 3.1), Вы наблюдаете покоясь относительно ИСО, движущейся со скоростью

. В таком случае Ваше наблюдение должно соответствовать показанному на рис. 3.2, где

независимо от Вашей собственной скорости.
С.Мальцев, вы просто силу

неправильно преобразовали. Она и на правом рисунке будет перпендикулярной днищу.
Нет, это Вы всё правильно преобразовали, при этом получив другую силу

.
(epros)
предложу топикстартеру для разминки такую задачку:
Есть однородное поле тяжести, направленное вертикально вниз (к поверхности Земли). Есть фотон, летящий вниз, но не вертикально, а под углом 45 градусов к вертикали. Как и на всякую нормальную частицу, на фотон действует сила тяжести, изменяющая его импульс. Определить направление ускорения фотона.
Прекрасно понимаю, к чему Вы клоните – желаете дополнительный балаган (к данной теме не относящийся) здесь устроить на тему ускоряется/замедляется ли фотон? Так тут и так балагана более чем достаточно.
Если есть такое желание, открывайте свою тему.