удар частицы об стенку

[Oleg Zubelevich]

да, действительно так можно определять абсолютно упругий удар.

[sup]

Статья Schatzman
Journal of Math. Analysis & App. 73, pp138-191,1980.

Oleg Zubelevich в сообщении #951827 писал(а):

Это так к слову. Это неправильная постановка вопроса. Физик Вам на это скажет, что моделирование гитарной струны волновым уравнением согласовано с многочисленными экспериментами. А Вы решаете другую задачу. У Вас есть данные о согласованности Вашей модели с реальностью? Цифры эксперименты?

Как показали эксперименты, я ни разу не физик. Но у меня сложилось впечатление, что они немного не так ставят вопрос. А именно, годится любая теория, которая работает в неких рамках своей применимости. Не буду настаивать на слове "любая". Главное здесь, рамки применимости. От того, что Вы допишете к уравнениям еще десяток линейных и нелинейных слагаемых, а потом еще и добавите полсотни параметров, оно не станет лучше. У него, возможно, изменится область применения.
Я уже говорил Вам, что перед глазами всегда стоит простое соображение. Давайте идеализируем задачу. Найдем у нее решение, а потом ДОКАЖЕМ, что решения сложных уравнений (которые "прекрасно" моделируют нашу задачу) сходятся к этому идеальному. Если это доказано, то дело в шляпе. Незачем мучиться и решать сложные уравнения, в которых, к слову бездна неизвестных параметров. Давайте возьмем за основу решение того самого идеализированного. Разве не это подразумевается во всех этих задачах с веревками, шкивами, ударами, клиньями и прочими средствами для экзекуций.
К слову, вот примерчик, когда эта чудесная концепция не работает.
Стол. На столе стоит тело массы $M$. Сила тяжести, коэффициент трения $\mu$. На краю стола шкив. К телу привязана нитка, переброшена через шкив и там привязано тело массы $m$. Задача, какую массу $m$ надо подвесить, чтобы большое тело начало движение. Если нитка не растяжима, то $\mu Mg$. А если она работает как пружина, то $\mu Mg/2$. Следовательно, в этой задаче предельный переход по жесткости пружины невозможен.

Вы, как вариант, предложили некие соображения по определению упругих и неупругих решений как пределов чего-то-там. Первый же вопрос. А пределы то есть? Если их нет, то определение бесполезное. Кроме того, тут еще одна ловушка. Предположим что предел есть. Нам дали в руки конкретное решение и спрашивают. А оно "правильное" или нет? Сиречь, оно может быть получено как предел чего нужно или нет? И что будем делать? Вот для этого и хочется найти такие условия, которые бы характеризовали решение в его собственных терминах, без привлечения дополнительных сущностей. Вы можете называть все это наивностью, но, боюсь, только до тех пор, пока лично не столкнетесь с этой проблемой.

-- Чт дек 25, 2014 10:49:02 --

Да, кстати, насчет сохранения энергии

$$\iint \Bigl[-(u_t^2+u_x^2)\frac{\partial}{\partial t} \phi + 2u_xu_t\frac{\partial}{\partial x}\phi -2fu_t\phi\Bigr]dxdt=0$$

Это соотношение будет выполнено, если доказать сильную сходимость в $W_2^1(Q)$ решений уравнения со штрафом

$$u_{tt} - u_{xx} + \frac{1}{\varepsilon}(u-1)^+ =f$$

Именно вот для этого уравнения я не знаю есть такая сходимость или нет. Но вот для для других задач она есть и, как следствие, есть и упругий удар.
Ну, например, если ограничение в виде $\|u(x,t)\|_{L_2(D)} \leqslant R$ для п.в. $t \in (0,T)$.

[Oleg Zubelevich]

прикинул как выгляядит "ударное многообразие" в конфигурационном пространстве -- объединение континума гиперплоскостей. Вообщем если Вы докажете для этой задачи корректность (существование может и докажете) но если докажете непрерывную зависимость от начальных данных и единственность хоть в каком-то смысле , то, думаю, Вам памятник поставят.

-- Чт дек 25, 2014 13:56:48 --

sup в сообщении #951906 писал(а):

чение в виде $\|u(x,t)\|_{L_2(D)} \leqslant R$ для п.в. $t \in (0,T)$.

я , конечно имею в виду ограничение в виде $u\le c$. Хорошие результаты для шара в $L^2$ это не очень удивительно

[sup]

Oleg Zubelevich в сообщении #952019 писал(а):

если докажете непрерывную зависимость от начальных данных и единственность хоть в каком-то смысле , то, думаю, Вам памятник поставят.

Ну значит придется обойтись без памятника. Ни единственности ни непрерывной зависимости не ожидается.
Я уже давно задумываюсь не столько о разрешимости этих уравнений, сколько о поведении приближенных решений при уменьшении параметра. Вот интересно, можно ли привести пример, чтобы не было сходимости к решению (хоть какому-нибудь). Думаю, именно свойства сходимости имеют какой-то смысл, а не решения сами по себе.
Хотя, конечно, хотелось бы и существование доказать. Досадно, но для разрешимости волнового уравнения в двумерном случае не хватило "сколь угодно малого $\varepsilon$" . Мне нужно компактное вложение $W_2^1(\Omega) \subset C(\Omega)$. В одномерном случае это проходит. А для $n=2$ уже нет. Поэтому требуется $W_2^2(\Omega)$ и бигармонический оператор. Ну хотя бы так. Мне кажется, что разрешимость там все же есть, но, возможно, есть какие-то паталогии в сходимости.

Oleg Zubelevich в сообщении #952019 писал(а):

Хорошие результаты для шара в $L^2$ это не очень удивительно

Да, согласен. Ничего сногсшибательного (сам факт не удивляет). Хотя и доказательство совсем не очевидное. Можно обобщить на множества с непустой внутренностью в $L^2$ и "гладкой" границей. Но по сути это примерно то же самое.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #952234 писал(а):

Ни единственности ни непрерывной зависимости не ожидается.

это возвращает нас к вопросу о физичности модели

-- Пт дек 26, 2014 10:06:17 --

sup в сообщении #951906 писал(а):

насчет сохранения энергии

$$\iint \Bigl[-(u_t^2+u_x^2)\frac{\partial}{\partial t} \phi + 2u_xu_t\frac{\partial}{\partial x}\phi -2fu_t\phi\Bigr]dxdt=0$$

всетаки не надо называть это уравнение законом сохранения энергии, это сбивает с толку слушателя

[sup]

Oleg Zubelevich в сообщении #952457 писал(а):

это возвращает нас к вопросу о физичности модели

Я, от такого анализа и не отказываюсь. Только, как мне кажется, надо сместить акценты. Известная "уродливость" возникающей структуры решений - верный признак того, что система приближенных решений сама по себе весьма сложно устроена. Малое шевеление какого-то из параметров может приводить к серьезной перестройке решения. Я уже об этом упоминал. В этом смысле никакая супер-пупер модель не поможет. Хотя сами по себе уравнения будут "хорошими" (ну как то, со штрафом). Но, как говорится, хрен редьки не слаще. В условиях такой неустойчивости в области малых параметров нельзя полагаться на какое-то конкретное решение с конкретными параметрами. Я смоделирую стенку жесткой пружиной (а какой закон мы для нее выберем?), Вы - как-то по другому. В результате получим два совершенно разных решения. Оба отражают суть дела, и предпочесть одно другому невозможно. Именно поэтому мне и хотелось бы выяснить, что там происходит со сходимостью приближенных решений. Вот уж они то обладают "нормальным" физическим смыслом.
Еще раз повторю свою мысль. Изучая разрешимость "идеальной" задачи, я анализирую свойства приближенных (читай - "настоящих") решений в области малых параметров и нарабатываю подходящий аппарат для решения трудных вопросов. Вполне себе достойная задача.

Oleg Zubelevich в сообщении #952457 писал(а):

кстати то, что там выше написано это не закон сохранения энергии , а уравнения Даламбера-Лагранжа

Не берусь дискутировать с Вами по этому вопросу. Я всегда смотрел на это тождество (и доводилось читать в литературе), как на интегральную форму локального баланса энергии.

[Oleg Zubelevich]

а Вы обобщенные решения в смысле Коломбо не пробовали рассматривать?

-- Пт дек 26, 2014 10:46:27 --

sup в сообщении #952464 писал(а):

В этом смысле никакая супер-пупер модель не поможет.

Это так сразу нельзя сказать. Может там надо рассматривать струну упругую не только на растяжение но и на сжатие и на изгиб, так чтоб она не могла углами складываться.

[sup]

Oleg Zubelevich в сообщении #952474 писал(а):

Может там надо рассматривать струну упругую не только на растяжение но и на сжатие и на изгиб

Ну что Вы. Такой серьезный анализ я даже и не предполагал. Моя задача куда более прозаическая. Чисто технически вопрос стоит так. Как перейти к пределу в квадратичной форме

$$(\nabla u)^2 - (u_t)^2$$

если производные лишь ограничены в $L^2$ и ничего кроме слабой сходимости нет. В стационарных задачах производной по времени нет. Поэтому работает метод монотонности. Однажды, я наткнулся на странный трюк, который позволил мне перейти к пределу в одномерном случае. Но это был какой-то фокус. Только спустя некоторое время я понял каковы там действующие пружины. Оказалось, дело в некой геометрии множества ограничений $K$.
Вот, собственно, и все вопросы, которые я рассматриваю. Как переходить к пределу? Кроме этого, хотелось бы знать, что там получится в пределе. Ну а разговоры о физике ... Это все надежды по аналогии набрести на новые идеи и доп. соображения.

[Red_Herring]

sup в сообщении #952464 писал(а):

Не берусь дискутировать с Вами по этому вопросу. Я всегда смотрел на это тождество (и доводилось читать в литературе), как на интегральную форму локального баланса энергии.

Мне не кажется эта точка зрения экзотической. Скорее наоборот

Oleg Zubelevich в сообщении #952474 писал(а):

Может там надо рассматривать струну упругую не только на растяжение но и на сжатие и на изгиб, так чтоб она не могла углами складываться.

Это будет "уравнение балки" которое в простейшем случае выглядит так:

$$ u_{tt}+ u_{xxxx}=f. $$

[sup]

Red_Herring в сообщении #952519 писал(а):

Это будет "уравнение балки"

Ну, я думаю, при желании там можно много чего наворотить. Но проблема от этого никуда не денется. Будет последовательность приближенных решений сходиться или нет? Конкретно для такой балки, надо будет рассматривать форму

$$ (u_{xx})^2 - (u_t)^2$$

Для размерностей 1,2,3 здесь можно перейти к пределу. Но, должен заметить, что ситуация меняется, если в уравнении есть слагаемое $-\mu u_{xxt}$. Там дела обстоят лучше.

[Oleg Zubelevich]

что то я перестал понимать о каких размерностях речь? точнее говоря, просто не обратил внимание, размерность и в постах выше Вы упоминали это что?

-- Пт дек 26, 2014 13:30:54 --

а понял, мембраны

[sup]

Я поленился честно описать $n$-мерный случай

$$u_{tt} + \Delta^2u =f$$

Тогда форма будет

$$(\Delta u)^2 - (u_t)^2$$

Для ограничения $u(x,t) \leqslant m(x)$ я могу перейти к пределу при условии $n = 1,2,3$

[Red_Herring]

sup в сообщении #952532 писал(а):

в уравнении есть слагаемое $-\mu u_{xxt}$.

В каком? Уже было несколько их.

Впрочем, я просто отмечаю, что струна, работающая (только) на изгиб называется по-другому. Впрочем, мембрана работающая на изгиб называется пластиной.

Кстати, когда ок 200 лет назад Парижская Ак. Наук объявила конкурс … это уже понимали; см http://dxdy.ru/post823093.html

[sup]

Обычно рассматривают что-нибудь типа

$$u_{tt} - \Delta u - \Delta u_t=f$$

Но вообще, это слагаемое улучшает свойства любого уравнения, поскольку дает достаточно сильную диссипацию энергии и способствует выглаживанию решений. Все на свете проблемы оно решить не может, но для этой задачи вроде бы достаточно для разрешимости. Единственность оно не гарантирует (хотя и контрпримеров не было). С непрерывной зависимостью от начальных данных та же петрушка. Я видел некие работы по разрешимости. Насколько я помню, никаких откровений там не было. Надо бы освежить в памяти.

[Skeptic]

(Оффтоп)

sup в сообщении #951906 писал(а):

Стол. На столе стоит тело массы $M$. Сила тяжести, коэффициент трения $\mu$. На краю стола шкив. К телу привязана нитка, переброшена через шкив и там привязано тело массы $m$. Задача, какую массу $m$ надо подвесить, чтобы большое тело начало движение. Если нитка не растяжима, то $\mu Mg$. А если она работает как пружина, то $\mu Mg/2$. Следовательно, в этой задаче предельный переход по жесткости пружины невозможен.

Жёсткость пружины не влияет. Провёл эксперимент. Бутылка с водой весит 1 кг. Взвешивание через резинку показало тот же вес. Только с резинкой увеличилось расстояние от бутылки до безмена. Это увеличение расстояния зависит жесткости резинки.