Теория относительности Эйнштейна подтверждена математикой

[Юрий Иванов]

Gekla

Цитата:

Электроны тоже не падают на Землю, подтверждено экспериментально в металлической трубе,

На форуме Лебедева когда-то сообщалось, что так называемые холодные электроны падают, экспериментальный факт. Я поинтересовался, с каким ускорением, не ответили. У меня были предположения, что ускорение падения электрона меньше в 2 раза, чем у остальных тел, предпосылки забыл.

[Quater]

pc20b писал(а):

Вы, извините, не правы : в рассматриваемой двумерной (по 3-пространству) ситуации при преобразовании Лоренца компонент нулевого 4-волнового вектора электромагнитной волны направление взаимного движения систем отсчета источника и приемника выбирается именно в направлении вектора скорости приёмника относительно источника $V$, поэтому у волнового вектора появляются две компоненты :

$$k^1=\frac{\omega }{c}\cos {\alpha }$$

и

$$k^2=\frac{\omega }{c}\sin {\alpha }$$

.

Все гораздо проще. Скорость $V$ и угол $\alpha$ нужны только для предварительной формулировки задачи. Они определяют скорость взаимного приближения или удаления источника и приемника $V_1=V\cos{\alpha}$ или $\beta_1=\beta\cos{\alpha}$ и далее больше не нужны. Первоначальная задача сводится, таким образом, к задаче нахождения сдвига частот при движении приемника по линии источник-приемник со скоростью $V_1$ . Соответствующая формула легко выводится $\omega=\omega_0\sqrt{\frac{1+\beta_1}{1-\beta_1}}$ . Или, если уж необходимо вспомнить первоначальную формулировку задачи, — $\omega=\omega_0\sqrt{\frac{1+\beta\cos{\alpha}}{1-\beta\cos{\alpha}}}$. При этом, поперечная составляющая скорости $V_2=V\sin{\alpha}$ к "взаимодействию" источника и приемника отношения не имеет и, соответственно, не дает никакого вклада в сдвиг частоты, но "дает вклад" в аберрацию света.

[pc20b]

Quater писал(а):

Все гораздо проще. Скорость $V$ и угол $\alpha$ нужны только для предварительной формулировки задачи. Они определяют скорость взаимного приближения или удаления источника и приемника $V_1=V\cos{\alpha}$ или $\beta_1=\beta\cos{\alpha}$ и далее больше не нужны. Первоначальная задача сводится, таким образом, к задаче нахождения сдвига частот при движении приемника по линии источник-приемник со скоростью $V_1$ .

Извините, откуда следует, что вклад в сдвиг частоты даёт только проекция скорости на направление движения волны к источнику?

[Mark1]

pc20b писал(а):

Quater писал(а):

Первоначальная задача сводится, таким образом, к задаче нахождения сдвига частот при движении приемника по линии источник-приемник со скоростью $V_1$ .

Извините, откуда следует, что вклад в сдвиг частоты даёт только проекция скорости на направление движения волны к источнику?

Заведомо, не следует. Иначе не было бы поперечного эффекта Доплера.

[pc20b]

Я потому и спросил, что из формулы, приведенной Quater :

$$\omega=\omega_0\sqrt{\frac{1+\beta\cos{\alpha}}{1-\beta\cos{\alpha}}}$$

, -

следует, что поперечный эффект Доплера отсутствует.

[Gekla]

А тогда где на звездной сфере особые направления, сечения и магические фиолетовые углы смещений?
И как при созерцании Вселенной на этой картине различить подвиды славного семейства Доплеров - Доплеров расширения, поперечности, продольности и свежепрепарированного "интересного", на фоне анизотропии реликта с фотометрическим парадоксом http://www.membrana.ru/print.html?1187983260 ?

[Quater]

pc20b писал(а):

Извините, откуда следует, что вклад в сдвиг частоты даёт только проекция скорости на направление движения волны к источнику?

С точки зрения эффекта Доплера есть только система — источник и приемник, соединенные лучом света. И эффект Доплера учитывает только их взаимное движение по этому лучу. Поперечная составляющая скорости приемника определяется относительно какого-то внешнего, по отношению к системе, тела отсчета и не входит в эту систему. Эта скорость только поворачивает систему, как целое, вокруг источника, и то только в случае небольшого удаления источника от приемника. Если же источник бесконечно удален (например, Эйнштейн, при выводе формулы (2) специально оговаривает бесконечную удаленность источника), то можно считать, что система просто сдвигается как целое (что равносильно тому, что она покоится). И в том, и в другом случае нет оснований говорить о каком-то “поперечном” эффекте.

Я полагаю, что Природа предоставила нам множество доказательств отсутствия поперечного эффекта Доплера. Приемник света на поверхности Земли движется с вращающейся Землей, движется с Землей по околосолнечной орбите, солнечная система движется в Галактике. Выберите звезду в направлении, перпендикулярном одному из этих движений, и поищите “поперечный” сдвиг частот.

[pc20b]

Gekla писал(а):

А тогда где на звездной сфере особые направления, сечения и магические фиолетовые углы смещений?
И как при созерцании Вселенной на этой картине различить подвиды славного семейства Доплеров - Доплеров расширения, поперечности, продольности и свежепрепарированного "интересного", на фоне анизотропии реликта с фотометрическим парадоксом http://www.membrana.ru/print.html?1187983260 ?

Об этом, вроде бы, и речь. Надо поискать и подумать.

Добавлено спустя 12 минут 45 секунд:

Quater писал(а):

С точки зрения эффекта Доплера есть только система — источник и приемник, соединенные лучом света. И эффект Доплера учитывает только их взаимное движение по этому лучу.

С точки зрения эффекта Доплера, наверно, есть измеренные в приёмнике частота электромагнитной волны и направление её прихода. Известен также спектр излучения покоящегося источника. Неизвестных два - скорость источника относительно приёмника и её направление относительно направления прихода. Не так?

Цитата:

Эйнштейн, при выводе формулы (2) специально оговаривает бесконечную удаленность источника

Вы знаете, вроде бы формулу (2) можно получить точно без этого предположения.

[Someone]

pc20b писал(а):

Цитата:

Эйнштейн, при выводе формулы (2) специально оговаривает бесконечную удаленность источника

Вы знаете, вроде бы формулу (2) можно получить точно без этого предположения.

Здесь есть следующие обстоятельства:
1) само излучение определяется на расстояниях, существенно больших как размеров излучающей системы, так и длины волны излучения;
2) волна должна быть с достаточной степенью плоской, что также требует достаточно большого расстояния от излучателя.
"Бесконечная" удалённость источника в прямом смысле не требуется, но указанные условия должны выполняться.

[Quater]

pc20b писал(а):

С точки зрения эффекта Доплера, наверно, есть измеренные в приёмнике частота электромагнитной волны и направление её прихода. Известен также спектр излучения покоящегося источника. Неизвестных два - скорость источника относительно приёмника и её направление относительно направления прихода. Не так?

Теперь Вы заговорили о поперечной скорости источника, по-видимому имея в виду, что в наблюдаемый сдвиг частот имеют вклад как продольная, так и поперечная скорости источника, а мы просто не умеем пока их разделить и тем самым не можем определить однозначно составляющие скорости источника. Я правильно Вас понял? С таким подходом можно было бы согласиться, если бы скорость имела некий абсолютный смысл, т.е. определялась бы в некой абсолютной системе отсчета. И если продольная составляющая скорости определяется относительно конкретного тела отсчета (приемника), то поперечная составляющая в принципе не определяется однозначно, и может принимать любые значения в зависимости от тела отсчета, в частности — быть нулевой в системе отсчета источника. Таковы мои, дополнительные к сформулированным ранее, доводы в пользу отсутствия поперечного эффекта Доплера.

Проблема существования поперечного эффекта Доплера мне представляется очень похожей на проблему существования эфира : о них можно говорить, строить теории и т.д., но можно обойтись и без них, поскольку нет бесспорных фактов существования как эфира, так и поперечного эффекта Доплера.

Цитата:

Вы знаете, вроде бы формулу (2) можно получить точно без этого предположения.

Конечно можно, только не формулу (2), которая, как я считаю, ошибочна совсем по другой причине.

[VeiNo]

Quater
Извиняюсь, а как же эксперименты Айвса и Стилуэлла, в которых существование поперечного эффекта Допплера было подтверждено?

[Gekla]

После Паунда и Ребеки кто нибудь перепроверял их результат? На них часто ссылаются. В их случае получается, что гравитационное поле смещает частоту фотонов ровно на предсказанную для фотонов величину, приемник это однозначно зафиксировал. Они были вынуждены двигать приемник, т.к. он был не перестраиваемый, с фиксированной частотой приема, и вычисляли смещение через скорость движения приемника, чисто по Доплеру.
Т.е. гравитационное смещение фотонов обнаруженное приемником, по идее, должно быть двойным, а они обнаружили только однократное. Выходит, что гравитационное поле не действует на источник фотонов и их приемник, либо не действует на фотоны?

[Quater]

VeiNo писал(а):

Quater
Извиняюсь, а как же эксперименты Айвса и Стилуэлла, в которых существование поперечного эффекта Допплера было подтверждено?

Опыты Айвса-Стилуэла являются косвенными и фактически определяли не поперечный эффект Допплера, а эффект Допплера для двух направлений, близких к $\alpha=0$ и $\alpha=\pi$ , то есть эффекты, близкие к продольным. За неимением других, прямых измерений поперечного эффекта Доплера (“На безрыбье …”) опыт Айвса-Стилуэла цитируется в литературе как подтверждающий этот эффект. С другой стороны есть опыты, не обнаружившие поперечного смещения частот (например, Чемпни Д. К., Мун П. Б. Отсутствие доплеровского сдвига при движении источника и детектора гамма-излучения по одной круговой орбите // Эйнштейновский сборник, 1978 - 1979. - М.: Наука, 1983. - с. 319 - 322. ) Так что бесспорных фактов существования поперечного эффекта Доплера не было и нет.

[pc20b]

Вывод формулы (2) эффекта Доплера

В пространстве Минковского на множестве инерциальных систем отсчета с декартовыми координатами

$$x^{\mu}=(x^0, x^i)$$

,

$$\mu =0,1,2,3; i=1,2,3$$

в форминвариантных метриках

$$g_{\mu \nu }=diag (1,-1,-1,-1)$$

рассмотрим плоскую монохроматическую электромагнитную волну, зависимость 4-потенциала которой от координат описывается фазовым множителем

$$exp(ik_{\mu}x^{\mu})$$

,

c нулевым волновым 4-вектором

$$k^{\mu}=(k^0=\frac{\omega}{c},k^i)$$

:

$$k_{\mu}k^{\mu}=0$$

, откуда следует

$$k^0^2-k_ik^i=0$$

,

$$k^2=k_ik^i=\frac{\omega^2}{c^2}$$

- квадрат модуля 3-волнового вектора.

Пусть эта волна падает на приемник, и в покоящейся относительно него инерциальной системе отсчета наблюдатели измеряют её 4-волновой вектор

$$k^{\mu}$$

, т.е. частоту

$$\omega}$$

и направление излучения, т.е. направление 3-волнового вектора

$$k^i$$

.

Допустим, что эта волна излучается источником, который в системе отсчета приёмника движется с постоянной 3-скоростью с модулем

$$V$$

под углом

$$\alpha$$

к направлению 3-волнового вектора

$$k^i$$

.

Пусть направление оси $x^1$ в системе координат приёмника будет параллельным 3-вектору скорости источника относительно приёмника. Тогда в этой системе отсчета отличные от нуля компоненты 3-волнового вектора будут равны :

$$k^1=\frac{\omega}{c}\cos {\alpha}$$

,

$$ k^2=\frac{\omega}{c}\sin {\alpha}$$

.

Свяжем с источником неподвижную относительно него инерциальную систему отсчета с координатами

$$x^{\tilde\mu}$$

, в которых 4-волновой вектор имеет компоненты

$$k^{\tilde\mu}$$

. Выберем направление оси

$$x^{\tilde 1}$$

параллельным направлению оси

$$x^1$$

в системе отсчета приёмника.

Тогда компоненты 4-волнового вектора в этих системах отсчета связаны преобразованием Лоренца :

$$k^{\tilde\mu}=L^{\tilde\mu}_{\mu}k^{\mu}$$

,

где отличные от нуля компоненты матрицы Лоренца равны :

$$L_0^{\tilde 0}=L_1^{\tilde 1}=\gamma$$

,

$$L_2^{\tilde 2}=L_3^{\tilde 3}=1$$

,

$$L_1^{\tilde 0}=L_0^{\tilde 1}=-\beta\gamma$$

,

где

$$\beta=\frac Vc$$

,

$$\gamma=\frac {1}{\sqrt{1-\beta^2}}$$

- лоренц-фактор.

Отсюда получаем нужную нам связь компонент 4-волнового вектора в данных инерциальных системах отсчета :

$$k^{\tilde 0}=L_0^{\tilde 0}k^0+L_1^{\tilde0}k^1$$

,

или, обозначив

$$k^{\tilde 0}=\frac{\omega_0}{c}$$

,

где

$$\omega_0$$

- частота электромагнитной волны в системе отсчета источника, отсюда получаем преобразование

$$\omega _0=\omega \gamma (1-\beta \cos {\alpha})$$

,

откуда следует формула (2) эффекта Доплера :

(2)

$$\omega =\omega_0\frac{\sqrt {1-\beta ^2}}{1-\beta \cos {\alpha}}$$

.

Добавлено спустя 24 минуты 28 секунд:

Someone писал(а):

Здесь есть следующие обстоятельства:
1) само излучение определяется на расстояниях, существенно больших как размеров излучающей системы, так и длины волны излучения;
2) волна должна быть с достаточной степенью плоской, что также требует достаточно большого расстояния от излучателя.
"Бесконечная" удалённость источника в прямом смысле не требуется, но указанные условия должны выполняться.

Эти условия, очевидно, можно считать входящими в модель условиями "эйконального приближения" геометрической оптики.

[mzmz]

Иллюстрация к предыдущему сообщению.



$\vec v$ - скорость движения ИСО источника относительно ИСО приемника.
$\vec k$ - 3-волновой вектор волны в ИСО приемника.