Вывод формулы (2) эффекта Доплера
В пространстве Минковского на множестве инерциальных систем отсчета с декартовыми координатами

,

в форминвариантных метриках
рассмотрим плоскую монохроматическую электромагнитную волну, зависимость 4-потенциала которой от координат описывается фазовым множителем

,
c нулевым волновым 4-вектором

:

, откуда следует

,

- квадрат модуля 3-волнового вектора.
Пусть эта волна падает на приемник, и в покоящейся относительно него инерциальной системе отсчета наблюдатели измеряют её 4-волновой вектор

, т.е. частоту

и направление излучения, т.е. направление 3-волнового вектора

.
Допустим, что эта волна излучается источником, который в системе отсчета приёмника движется с постоянной 3-скоростью с модулем

под углом

к направлению 3-волнового вектора

.
Пусть направление оси

в системе координат приёмника будет параллельным 3-вектору скорости источника относительно приёмника. Тогда в этой системе отсчета отличные от нуля компоненты 3-волнового вектора будут равны :

,

.
Свяжем с источником неподвижную относительно него инерциальную систему отсчета с координатами

, в которых 4-волновой вектор имеет компоненты

. Выберем направление оси

параллельным направлению оси

в системе отсчета приёмника.
Тогда компоненты 4-волнового вектора в этих системах отсчета связаны преобразованием Лоренца :

,
где отличные от нуля компоненты матрицы Лоренца равны :

,

,

,
где

,

- лоренц-фактор.
Отсюда получаем нужную нам связь компонент 4-волнового вектора в данных инерциальных системах отсчета :

,
или, обозначив

,
где

- частота электромагнитной волны в системе отсчета источника, отсюда получаем преобразование

,
откуда следует формула (2) эффекта Доплера :
(2)

.
Добавлено спустя 24 минуты 28 секунд:
Someone писал(а):
Здесь есть следующие обстоятельства:
1) само излучение определяется на расстояниях, существенно больших как размеров излучающей системы, так и длины волны излучения;
2) волна должна быть с достаточной степенью плоской, что также требует достаточно большого расстояния от излучателя.
"Бесконечная" удалённость источника в прямом смысле не требуется, но указанные условия должны выполняться.
Эти условия, очевидно, можно считать входящими в модель условиями "эйконального приближения" геометрической оптики.