Три измерения или четыре?

[Toucan]

unistudent, три дня отдыха за провоцирование флейма.

[provincialka]

А! Я вижу, модераторы уже среагировали! Прекрасно.

[Toucan]

provincialka, замечание за множественный оффтоп.

[vkm]

Munin в сообщении #943286 писал(а):

А можно поступить иначе - ограничиться теми объектами, которые целиком и полностью лежат в этой поверхности, как бы "внутри" неё. Оказывается, что есть такая часть геометрии этой поверхности, которая даже не меняется от того, что мы эту поверхность как-то деформируем - ну представьте, например, листок бумаги, свёрнутый в трубочку, или кусок ткани, который можно мять, или мячик, который сжимают и растягивают, а рисунки, которые на них нанесены, - остаются при этом такими же, и "знать не знают" про все эти сворачивания и растяжения. Эта геометрия называется "внутренней геометрией". И вот дальше оказывается, тут сложный очень абстрактный математический шаг, оказывается, что можно построить такую поверхность - мысленно, как множество с какими-то законами и аксиомами - можно построить такую поверхность вообще безо всякого пространства вокруг неё, и без конкретной формы, которую она принимает в этом пространстве. То есть, рассмотреть эту "внутреннюю геометрию" в чистом виде.

То, что геометрия позволяет строить такие поверхности, мне более-менее понятно. Но то, что

Цитата:

рисунки, которые на них нанесены, - остаются при этом такими же, и "знать не знают" про все эти сворачивания и растяжения

как раз и вызывает вопрос. Ведь объекты в искривленном трехмерном пространстве "знают" о том, что есть некоторая сила, влияющая на них и приводящая их в движение. Не покидает ощущение противоречия или существенной неточности аналогии.
Если можете посоветовать что-нибудь читабельное, достаточно основательное и доходчивое одновременно, был бы признателен.

[Munin]

Heathy в сообщении #944108 писал(а):

А мне интересно. Назовите, пожалуйста.

На простейшем уровне:
Тейлор, Уилер. Там есть в конце про гравитацию.
Фейнман. Дюжина лекций: шесть попроще и шесть посложнее. Последняя лекция - про гравитацию.
Если вы готовы изучать это всерьёз:
Мизнер, Торн, Уилер. Гравитация.
Пенроуз. Путь к реальности.
ну и вся стопка других учебников по ОТО - Мизнер-Торн-Уилер их успешно заменяет. Внимание, необходимая подготовка: теоретическая механика, электродинамика, СТО, матан, смелость для встречи с дифференциальной геометрией, тензорами и формами.

unistudent в сообщении #944171 писал(а):

1) Наличие (возможное) червоточен противоречит вашим разглагольствованиям о внутренней геометрии

Нет, не противоречит. Оказывается, вы только понтоваться способны.

Да и нет никакого наличия, если приходится приписывать "(возможное)". Физика изучает не то, что "возможно", а то, что реально.

unistudent в сообщении #944171 писал(а):

Ну так и помогайте, а не поучайте.

Для получения помощи нужна оплата на входе: вежливое обращение за помощью.

unistudent в сообщении #944171 писал(а):

Все, с самого начала, сплошная мистификация. Дайте определение.

Метрический тензор - тензорное поле $(0,2)$ на гладком многообразии, положительно определённое. Он вводит величину $dl>0$ такую что $dl^2=g_{ij}dx^i dx^j,$ и для произвольной кривой $l=\int dl.$ Геодезические в смысле метрики $\delta l=0$ должны локально (на малых отрезках) совпадать с геодезическими в смысле аффинной связности $\nabla_{\vec{\tau}}\vec{\tau}=0.$
В ОТО рассматривается псевдометрический тензор - отличающийся знаконеопределённостью, сигнатура $(+1,-1,-1,-1).$ Соответственно, $dl$ (традиционное в физике обозначение $ds$ или $d\tau$) может быть нулём или на мнимой оси. Совпадение смыслов геодезических накладывается на знакоопределённых подмногообразиях (времениподобных $(+1),$ пространственноподобных $(-1,-1,-1),$ светоподобных $(-1,-1,0)$).

vkm в сообщении #944946 писал(а):

Ведь объекты в искривленном трехмерном пространстве "знают" о том, что есть некоторая сила, влияющая на них и приводящая их в движение.

Нет, как раз не знают.

Правильный образ - это не шарики, скатывающиеся в ямки, а муравей, ползущий по яблоку. Мизнер, Торн, Уилер:

Цитата:

    Однажды в саду под яблоней лежал студент и размышлял о том, как по-разному поиимали гравитацию Ньютон и Эйнштейн. Неожиданно он вздрогнул: рядом упало яблоко. Студент взглянул на него и заметил, как по его поверхности забегали муравьи (фиг. 1.1). Ему стало любопытно, и он решил выяснить, по какому принципу муравьи выбирают свой путь. Воспользовавшись увеличительным стеклом, он тщательно отметил путь одного муравья и, отступив от него в каждую сторону по миллиметру, сделал ножом два параллельных надреза на яблочной кожуре. Затем он снял получившуюся дорожку из кожуры и разложил ее на своей книге. Теперь путь муравья на этой дорожке был прямым, словно луч лазера. Невозможно было отыскать более экономного пути для преодоления тех десяти сантиметров, которые разделяли начало и копец вырезанной полоски яблочной кожуры. Любой зигзаг или плавный поворот при движении муравья по яблочной кожуре между начальной и конечной точками увеличил бы длину его пути.
    «Какая прекрасная геодезическая»,— отметил студент.
    Его взгляд упал на двух муравьев, отправившихся из одной и той же точки $\mathcal{P}$ в направлениях, слегка отличающихся друг от друга. На этот раз их пути случайно пролегли вблизи углубления в верхней части яблока, причем по разные стороны от него. Каждый из муравьев добросовестно следовал вдоль своей геодезической. Каждый старался бежать по яблочной кожуре как можно прямее. Однако из-за собственной кривизны углубления их пути сначала пересеклись, а затем разошлись в совершенно разных направлениях.
    «Можно ли придумать более удачную иллюстрацию для геометрической теории тяготения Эйнштейна? — задумчиво произнес студент.— Муравьи движутся так, будто их притягивает к яблочному черепку. Можно было бы поверить и в ньютоновскую силу, действующую на расстоянии. Но муравью нечем руководствоваться при выборе своего пути, кроме локальной геометрии поверхности, по которой он ползет. А это, безусловно, и есть концепция Эйнштейна, подразумевающая, что причиной всех физических явлений является локальное воздействие. И как она отличается от ньютоновского подхода в физике с его «дальнодействием»! Теперь я гораздо лучше понимаю, о чем говорится в этой книге».

[unistudent]

Munin в сообщении #945315 писал(а):

В ОТО рассматривается псевдометрический тензор - отличающийся знаконеопределённостью, сигнатура $(+1,-1,-1,-1).$

Назад к баранам. Если ОТО основана на псевдоэвклидовой метрике размерности 4, то измерений все таки 4 а не 3?

[Aritaborian]

Пространство-время имеет четыре измерения: три пространственных и одно временное.

[unistudent]

Aritaborian в сообщении #947369 писал(а):

Пространство-время имеет четыре измерения: три пространственных и одно временное.

Но четвертое измерение имеет тоже размерность длины.

[Aritaborian]

С какого перепугу?

[unistudent]

ну а как определяется квадрат длины в псевдоэвклидовой метрике?

[arseniiv]

Какая разница, какую размерность? Отличить, какая из осей ИСО — временная, а какие — пространственные, всё равно можно, объявляй их разными или одинаковыми за счёт $c$ — притом присудить им можно любую из размерностей $T^{1-\alpha}L^{\alpha}$.

-- Вт дек 16, 2014 05:57:00 --

А не только длину или время.

[Aritaborian]

Э-э... Как длина, возведённая в квадрат?
Ладно, если бросить валять Ваньку... Да, временная компонента умножается на $c$ и полученное, конечно же, имеет размерность длины. Иначе как потом вычислять интервал-то. Ну и?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #947407 писал(а):

Э-э... Как длина, возведённая в квадрат?

Вот кстати длина и расстояние — не одно и то же. Расстояние — это та самая метрика. А длина — это мера такая.

[unistudent]

Ну хорошо, не длины. Пусть будет расстояние или интервал. Если движение происходит со скоростью света, то интервал равен нулю. Как это понять? Или я глупость говорю?

[Aritaborian]

unistudent в сообщении #947410 писал(а):

Если движение происходит со скоростью света, то интервал равен нулю.

Поясните подробнее, что вы имеете в виду. С формулами.