Параметры

[Andrei94]

provincialka в сообщении #943171 писал(а):

На отрезке, да не а том. Ведь теперь у вас другая переменная.

Да, действительно, $t\in[-0,5;0,5]$

$y(-0,5)=|1+c-d|$

$y(0,5)=|1+3c+3d|$

А как тут дальше быть?

[Cash]

Для упрощения сделаем замену
$z=2t$
$a=c+2d$
$b=2c+d$
И задача превратится в следующую:
Найти такой многочлен
$z^2+az+b$, который наименее отклоняется от нуля на отрезке $[-1;1]$

[Andrei94]

Cash в сообщении #943625 писал(а):

Для упрощения сделаем замену
$z=2t$
$a=c+2d$
$b=2c+d$
И задача превратится в следующую:
Найти такой многочлен
$z^2+az+b$, который наименее отклоняется от нуля на отрезке $[-1;1]$

А что значит наименее отклоняется от нуля?

Я лишь пока что понимаю, что исходную задачу можно переформулировать так:

Найдите все числа $a$ и $b$, для которых наибольшее значение функции

$y=\left|z^2+az+b|$

на отрезке $[-1;1]$ является наименьшим.

При этом не до конца понимаю две штуки.

1) Наибольшее значение функции -- на отрезке $[-1;1]$ является наименьшим или же наибольшее значение функции на отрезке $[-1;1]$ -- является наименьшим.

2) В обеих формулировках (где поставлено тире) не понимаю -- как такое может быть. Не понимаю вот по какой причине:
а) Пусть такая формулировка:
Наибольшее значение функции -- на отрезке $[-1;1]$ является наименьшим.
Пусть наибольшее значение на отрезке будет $y_0$, тогда существует $y_1<y_0$, причем этот $y_1$ из отрезка $[-1;1]$. Значит $y_0$ не наименьшее значение, так как нашлась точка $y_1<y_0$.
b) Аналогичная проблема:
Наибольшее значение функции на отрезке $[-1;1]$ -- является наименьшим.
Пусть наименьшее значение на отрезке будет $y_0$, тогда существует $y_1>y_0$, причем этот $y_1$ из отрезка $[-1;1]$. Значит $y_0$ не наибольшее значение, так как нашлась точка $y_1>y_0$.

Я что-то не так понимаю?

[Shadow]

Наименьший максимум на oтрезке [-1;1]
Например, функция $f_1(z)=|z^2+z+1|$ имеет максимум на $[-1;1]$. И функция $f_2(z)=|z^2-3x+5|$ тоже имеет максимум на этом отрезке. Один из них меньше.

[Brukvalub]

Зафиксируем значения параметров (коэффициентов) и вычислим максимум функции на отрезке. Теперь будем менять параметры, тогда будет меняться и вычисляемый максимум функции, то есть этот максимум является функцией от параметров. Вот и требуется найти такие значения параметров, при которых этот максимум будет минимальным.

[Andrei94]

А, спасибо, теперь понятно.

Тогда получается, что:

$y(1)=|a+b+1|$

$y(-1)=|b-a+1|$

$x_0=-\dfrac{a}{2}$

$y(x_0)=\left|b-\dfrac{a^2}{4}\right|$

Тогда нам нужно минимизировать наибольшее из чисел $|a+b+1|, |b-a+1|, \left|b-\dfrac{a^2}{4}\right|$.

Но как это сделать, верно ли я понимаю суть тут?

[Brukvalub]

Вершина параболы не всегда лежит на отрезке.

[Andrei94]

Brukvalub в сообщении #945403 писал(а):

Вершина параболы не всегда лежит на отрезке.

Действительно, если $a\in [-2;2]$, то тогда нам нужно минимизировать наибольшее из чисел $|a+b+1|, |b-a+1|, \left|b-\dfrac{a^2}{4}\right|$.

Если $a\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$, то нам нужно минимизировать наибольшее из чисел $|a+b+1|, |b-a+1|$

Но а дальше в какую сторону думать?

[Brukvalub]

Andrei94 в сообщении #945406 писал(а):

...нам нужно минимизировать наибольшее из чисел $|a+b+1|, |b-a+1|$
Но а дальше в какую сторону думать?

Каким всегда будет наибольший из модуля суммы двух чисел и модуля разности этих же чисел?

[Andrei94]

Brukvalub в сообщении #945413 писал(а):

Andrei94 в сообщении #945406 писал(а):

...нам нужно минимизировать наибольшее из чисел $|a+b+1|, |b-a+1|$
Но а дальше в какую сторону думать?

Каким всегда будет наибольший из модуля суммы двух чисел и модуля разности этих же чисел?

Пусть $e=b+1$

$|a+e|, |e-a|$

Если $a>0,e>0$, то $|a+e|$ наибольший

Если $a>0,e<0$, то $|a-e|$ наибольший

Если $a<0,e>0$, то $|a-e|$ наибольший

Если $a<0,e<0$, то $|a+e|$ наибольший

Если хотя бы одно из чисел $a,b$ равно нулю, то модули совпадают

[Brukvalub]

Подсказка: модуль суммы двух чисел одинакового знака равен сумме их модулей, если рассмотреть сумму и разность двух чисел, то один раз знаки слагаемых совпадут.

[Andrei94]

Brukvalub в сообщении #945427 писал(а):

Подсказка: модуль суммы двух чисел одинакового знака равен сумме их модулей, если рассмотреть сумму и разность двух чисел, то один раз знаки слагаемых совпадут.

Пока что не понимаю фразу "если рассмотреть сумму и разность двух чисел, то один раз знаки слагаемых совпадут"

Один раз совпадут -- это как?

[Brukvalub]

Это так: у одной из пар чисел $a , b$ и $a , -b$ будут одинаковые знаки.

[Andrei94]

Brukvalub в сообщении #945437 писал(а):

Это так: у одной из пар чисел $a , b$ и $a , -b$ будут одинаковые знаки.

То есть наибольшее из чисел будет равно $|a|+|b|$, верно ли я понимаю?

[Brukvalub]

Да.