Параметры

[provincialka]

Ну, можно, например, полный квадрат выделить (не пробовала). В конце концов, крайние значения принимаются либо в вершине параболы, либо на концах.

Можно так: записать все подозрительные значения, и наложить на них условия, что они пор модулю строго меньше двух. То есть лежат в интервале $(-2;2)$. И прийти к противоречию.

[Andrei94]

provincialka в сообщении #946796 писал(а):

Ну, можно, например, полный квадрат выделить (не пробовала). В конце концов, крайние значения принимаются либо в вершине параболы, либо на концах.

Можно так: записать все подозрительные значения, и наложить на них условия, что они пор модулю строго меньше двух. То есть лежат в интервале $(-2;2)$. И прийти к противоречию.

Про концы и вершину я писал раньше, но что-то и там подводные камни возникли, с которыми не получилось пока что разобраться

Andrei94 в сообщении #945400 писал(а):

А, спасибо, теперь понятно.

Тогда получается, что:

$y(1)=|a+b+1|$

$y(-1)=|b-a+1|$

$x_0=-\dfrac{a}{2}$

$y(x_0)=\left|b-\dfrac{a^2}{4}\right|$

Тогда нам нужно минимизировать наибольшее из чисел $|a+b+1|, |b-a+1|, \left|b-\dfrac{a^2}{4}\right|$.

Но как это сделать, верно ли я понимаю суть тут?

Andrei94 в сообщении #945406 писал(а):

Brukvalub в сообщении #945403 писал(а):

Вершина параболы не всегда лежит на отрезке.

Действительно, если $a\in [-2;2]$, то тогда нам нужно минимизировать наибольшее из чисел $|a+b+1|, |b-a+1|, \left|b-\dfrac{a^2}{4}\right|$.

Если $a\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$, то нам нужно минимизировать наибольшее из чисел $|a+b+1|, |b-a+1|$

Но а дальше в какую сторону думать?

[provincialka]

Тут главная идея такая. Минимальность достигается, если "отклонение" вниз и вверх одинаково (исходной параболы, без модуля). Потому что в противном случае мы можем ее пошевелить и уменьшить это отклонение. Вот и пишите равенства. Без модулей, модули раскройте.

[matidiot]

Andrei94 в сообщении #942375 писал(а):

2) Найти все пары $(a,b)$, для которых система

$\left\{\begin{matrix} x^2-y^2+a(x+y)=x-y+a\\ x^2+y^2+bxy-1=0 \end{matrix}\right.$

имеет не менее 5 решений.

Есть идея разложить на множители

$\left\{\begin{matrix} (x+y-1)(x-y+a)=0\\ x^2+y^2+bxy-1=0 \end{matrix}\right.$

Первое уравнение -- две перпендикулярные прямые, второе уравнение -- какая-то кривая, какая именно -- зависит от $b$.

Хотелось бы графически решить, но пока что не вижу вариантов.

Ясно, что если второе уравнение описывает кривую второй степени, то две прямые не могут иметь больше четырех точек пересечения с ней. Остается cлучай, когда второе уравнение описывает пару прямых, это будет $b=2$. Тогда второе уравнение переходит в $(x+y-1)(x+y+1)=0$, т.е. имеем две совпадающие прямые из первого и второго уравнений. Т.е. решением является пара чисел, где первое является любым числом, а второе равно двум. Аналогично рассматривается второй случай с $b=-2$

[Andrei94]

provincialka в сообщении #947245 писал(а):

Тут главная идея такая. Минимальность достигается, если "отклонение" вниз и вверх одинаково (исходной параболы, без модуля). Потому что в противном случае мы можем ее пошевелить и уменьшить это отклонение. Вот и пишите равенства. Без модулей, модули раскройте.

Про противный случай пока что не понятно, то есть не ясно -- почему можно без модуля...

[provincialka]

Ну, не знаю... Трудно объяснять очевидное. Например, надо проверить неравенство $|u|<2$. Можно его записать без модуля? Чтобы не тянуть время, отвечу: это равносильно двойному неравенству $-2 < u < 2$. Видите? Без модуля записано.

Если функция уклоняется от 0 не более, чем на 1, значит, она и "вверх" и "вниз" отличается от нуля на 1 или меньше.

[Andrei94]

Можно ли вместо того, чтобы минимизировать наибольшее из чисел $|a+b+1|, |b-a+1|, \left|b-\dfrac{a^2}{4}\right|$ минимизировать отклонение от нуля чисел $a+b+1, b-a+1, b-\dfrac{a^2}{4}$ . Каждое из этих чисел содержит $b$, потому можно сравнивать $a+1, 1-a, -\dfrac{a^2}{4}$

Построим график..



Из рисунка видно, что при $a\in[0;2]$ наибольшее из чисел будет $a+1$, при $a\in [-2;2]$, наибольшим будет $a+1$

В ту ли сторону думаю? Только как учесть $b$ и отклонение от нуля?

[provincialka]

Можно. Но не нужно. Нужно прямо сам многочлен минимизировать. В смысле, его отклонение от 0:

Andrei94 в сообщении #945393 писал(а):

Найдите все числа $a$ и $b$, для которых наибольшее значение функции $y=|z^2+az+b|$ на отрезке $[-1;1]$
является наименьшим.

То есть надо расположить график параболы $z^2+az+b$ так, чтобы отклонение "вверх" и "вниз" от оси $Ox$ было поменьше.

Если вы нарисуете параболу слишком высоко, то отрицательные значения будут маленькими, зато положительные большими.

Если опустите слишком низко - будут слишком большими отрицательные значения.

Значит, нужно равновесие: отклонение и вверх, и вниз одинаково.

Для случая, когда вершина параболы на отрезке:
Подумайте, почему значения на концах отрезка должны совпадать. Пошевелите параболу влево-вправо.

[Andrei94]

Спасибо!

$y(z)=z^2+az+b$

$y(1)=1+a+b$

$y(-1)=1-a+b$

$z(x_0)=b-\dfrac{a^2}{4}$

Отклонение минимально, когда $1+a+b=1-a+b=b-\dfrac{a^2}{4}$, то есть при $a=0$, а тогда с $b$ случается накладочка. Или должно быть $|1+b|=|b|$? Тогда $b=-0,5$

[provincialka]

Ага! $y(z_0)=-y(1)$
Вообще говоря, надо еще показать, что вершина параболы должна лежать внутри отрезка. А в противном случае разброс значений будет больше.