Параметры

[Andrei94]

Brukvalub в сообщении #945445 писал(а):

Да.

Тогда при $a\in(-\infty;2]\cup[2;+\infty)$ наибольшее значение будет $|a|+|b+1|$, значит наименьшее среди этих будет равно $2$ при $a=2, b=-1$, верно?

[Brukvalub]

Да.

[Andrei94]

Brukvalub в сообщении #945451 писал(а):

Да.

Хорошо, спасибо, с этим понятно, но вот когда $a\in(-2;2)$ все получается гораздо сложнее.
Там еще нужно учитывать вершину параболы.

Если $a\in (-2;2)$, то тогда нам нужно минимизировать наибольшее из чисел $|a+b+1|, |b-a+1|, \left|b-\dfrac{a^2}{4}\right|$.

Наибольшее из чисел $|a+b+1|, |b-a+1|$ будет $|a|+|b+1|$, притом $|a|+|b+1|< 2+|b+1|$ ввиду ограничения на $a$.

Если $b\ge 0$, то $|b-1|<\left|b-\dfrac{a^2}{4}\right|<|b|$, ввиду ограничения на $a$.|

Если $b<0$, то $|b|<\left|b-\dfrac{a^2}{4}\right|<|b-1|$

А как дальше быть?

[Brukvalub]

Я бы временно зафиксировал $b$ и рисовал графики. Есть принцип минимакса: наименьшее значение верхней огибающей двух функций разной монотонности находится в точке пересечения графиков этих функций.

[Andrei94]

Brukvalub в сообщении #945462 писал(а):

Я бы временно зафиксировал $b$ и рисовал графики. Есть принцип минимакса: наименьшее значение верхней огибающей двух функций разной монотонности находится в точке пересечения графиков этих функций.

$f(a)$ то есть рисовать, предполагая, что $b$ -- параметр и то, что $a\in(-2;2)$?

[Cash]

Почитайте вот эту статью из Кванта
Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля
Пусть строгих доказательств там нет, но возможно у Вас появится понимание, что же требуется в этой задаче.

[Andrei94]

У меня такая картинка получилась



Наибольшее значение при любом $b$ достигается при $a=\pm 2$ или при $a=0$. Из серии графиков видно, что при $b=0$ будет наименьшее из наибольших значений, верно?

-- 15.12.2014, 12:38 --

Cash в сообщении #946690 писал(а):

Почитайте вот эту статью из Кванта
Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля
Пусть строгих доказательств там нет, но возможно у Вас появится понимание, что же требуется в этой задаче.

Статью прочитал, но идей она мне не подсказала, к сожалению, там ведь без модуля...

[Cash]

Очень жаль, что какой-то там модуль смог так затуманить Вам мозги. Понимая "физический смысл" этой задачи, решить ее было бы гораздо легче.

[Andrei94]

Cash в сообщении #946742 писал(а):

Очень жаль, что какой-то там модуль смог так затуманить Вам мозги. Понимая "физический смысл" этой задачи, решить ее было бы гораздо легче.

А разве там было что-то про "физический смысл?

[provincialka]

Хм... А что такое "уклонение от 0"? Это и есть наибольший модуль значения функции.

[Andrei94]

provincialka в сообщении #946760 писал(а):

Хм... А что такое "уклонение от 0"? Это и есть наибольший модуль значения функции.

Это я понимаю, а здесь-таки три функции...Нужно каждую в отдельности рассматривать?

[mihailm]

(Оффтоп)

Это все: котел, шестеренки и т.д. мне понятно, ты мне скажи почему паровоз без лошадей едет?

[provincialka]

Andrei94 в сообщении #945393 писал(а):

Найдите все числа $a$ и $b$, для которых наибольшее значение функции

$$y=\left|z^2+az+b\right|$$

на отрезке $[-1;1]$ является наименьшим.

А если обозначить $z=t/2$, то промежуток для неизвестной $t$ будет $[-2;2]$, в точности, как в статье.

[Andrei94]

provincialka в сообщении #946784 писал(а):

Andrei94 в сообщении #945393 писал(а):

Найдите все числа $a$ и $b$, для которых наибольшее значение функции

$$y=\left|z^2+az+b\right|$$

на отрезке $[-1;1]$ является наименьшим.

А если обозначить $z=t/2$, то промежуток для неизвестной $t$ будет $[-2;2]$, в точности, как в статье.

$y=\left|z^2+az+b\right|=\dfrac{1}{4}\cdot \left|t^2+2at+b\right|$

$\left|t^2+2at+b\right|$ уклоняется от нуля не менее, чем на $2$, тогда $\dfrac{1}{4}\cdot \left|t^2+2at+b\right|$ отклоняется от нуля не менее, чем на $0,5$.

Правда в кванте написано, что в качестве упражнения проверить, что отклонение от нуля на менее, чем $2$, но у меня это не получается проверить.

[Cash]

Ну смотрите. Параметры $a$ и $b$ отвечают за сдвиги по горизонтали и вертикали. Т.е. надо параболу $y=x^2$ расположить так, чтобы отличие максимума от минимума на отрезке длины $2$ было наименьшим. В такой постановке, кмк, гораздо проще...