Задача с 6 всесоюзной олимпиады, 1972 г., Тбилиси

[Munin]

dovlato в сообщении #939835 писал(а):

Да, с неизвестным $\mu$ решения нет. Но если его величину определить в условии, то задача опять станет возможной.

Да, верно.

[Skeptic]

Решение, приведённое в задачнике, вызывает вопросы. Рассмотрим один из них.

Цитата:

Сила упругости $T_x$ сообщает ускорение корпусу динамометра и участку пружины длиной $x$. Масса этого участка пружины равна

$$M_x=\dfrac{M}{L}x,$$

где М — масса и L — длина всей пружины.

Заметим, что масса $M$ - это масса пружины.

Цитата:

Если динамометр движется с ускорением a$$, то согласно второму закону Ньютона силу упругости в сечении x можно записать так:

$$T_x=\left(M+M\dfrac{x}{L}\right)a$$

Почему появилась ещё одна масса пружины? Из смысла выражения - это масса корпуса динамометра. Тогда выражение нужно записать так:

$$T_x=\left(M^\text{корпус}+M^\text{пружина}\dfrac{x}{L}\right)a$$

Если это так, то почему массы пружины и корпуса равны. Задача решена для равенства масс корпуса и пружины, и то неверно.

[hurtsy]

Skeptic в сообщении #940098 писал(а):

Если это так, то почему массы пружины и корпуса равны.

Вроде так задано в задаче, т.е. по определению. Наверное в этом волеизьявление составителя задачи.

Munin в сообщении #939164 писал(а):

Мдя, ну это уже аллескапут.

Страшная и непереводимая игра слов. Может это тот случай когда французы говорят или пишут "Все пропало мадам, кроме чести" после чего, спокойно возвращаются к "ихним" баранам, т.е. к теме топика.

Munin в сообщении #939164 писал(а):

Не умеете складывать силы - возвращайтесь в школу да повторите материал. Можете задать вопросы на форуме.

Я подозреваю, что силы напрямую никто не складывает. В школе складывают не силы а их векторные представления и все это при расчете стержневых конструкций. С этим у меня нет вопросов, или по вашему нопроблем. Трудности появляются при переходе от простых стержневых конструкций к 2-мерным и 3-мерным моделям сплошной среды для реальных конструкций. В реальных конструкциях незнание свойств и отсутствие расчетов заменяют измерениями на уменьшенных моделях коэффициентами запаса прочности. Этим я хочу сообщить, что несмотря на ваше разрешение, не буду заморачивать форум вопросами сложения сил.

Munin в сообщении #939164 писал(а):

Всегда был, с 60-х годов уж точно. Разумеется, речь о десятилетке.

Я не говорил о 9-м классе восьмилетки. Я не говорил о конкретном годе, и, чтобы подтвердить ваш тезис о необходимости повторно читать непонятное, цитирую

Цитата:

Кстати в мое время в школе не было начал математического анализа.

. В Москве, может быть, начала матана были введены согласно вашим указаниям.
В заключение хочу напомнить, что в механике недостаточно уравновесить силы, нужно уравновесить моменты сил. Решать задачу в исходной постановке я отказался еще в самом начале. С уважением,

[Munin]

Skeptic в сообщении #940098 писал(а):

Если это так, то почему массы пружины и корпуса равны.

По условиям задачи.

Skeptic в сообщении #940098 писал(а):

Задача решена для равенства масс корпуса и пружины, и то неверно.

Верно.

-- 04.12.2014 18:55:36 --

hurtsy в сообщении #940240 писал(а):

Страшная и непереводимая игра слов.

Для тех, кто не смотрел советскую киноклассику.

hurtsy в сообщении #940240 писал(а):

Я подозреваю, что силы напрямую никто не складывает.

Вот я и говорю - возвращайтесь в школу, чтобы избавиться от своих подозрений и прочих предрассудков.

hurtsy в сообщении #940240 писал(а):

В школе складывают не силы а их векторные представления

Вообще-то, разницы между словами "сила" и "векторное представление силы" нет никакой.

hurtsy в сообщении #940240 писал(а):

С этим у меня нет вопросов, или по вашему нопроблем.

К сожалению, у вас есть проблем, судя по тому, что вы не справились с элементарным одномерным случаем.

hurtsy в сообщении #940240 писал(а):

Я не говорил о 9-м классе восьмилетки.

Ну, если вы учились в восьмилетке, то тогда понятно, почему у вас не было начал математического анализа. Только это называется не "в моё время", а несколько иначе.

hurtsy в сообщении #940240 писал(а):

Решать задачу в исходной постановке я отказался еще в самом начале. С уважением,

Таким образом, вы проявили громадное неуважение ко всем окружающим, подкрепляя его своими последующими высказываниями (тоже на фоне того, что вы отказались решать задачу).

[zvm]

Приведу «честное» решение.

Пружина двигается с ускорением $a=\frac{F_L+F_R}{L_0\rho_0}$ . $F_L,F_R$ - проекции сил на ось $x$ , $L_0,\rho_0$ - длина и линейная плотность свободной (ненагруженной) пружины.
Пусть в некотором сечении $X$ пружины напряженность равна $\sigma(X)$ (положительная если пружина сжата, отрицательная если растянута). Тогда на часть пружины левее этого сечения со стороны другой части будет действовать сила $F(X)=-S\sigma(X)$ . $S$ - площадь поперечного сечения пружины. Эта сила должна быть такой, чтобы обеспечить движение левой части пружины с ускорением $a$ , то есть $F(X)+F_L=a\int\limits_{0}^{X}\rho(x)dx$ .
Отсюда $-S\frac{d\sigma(x)}{dx}=a\rho(x)=\frac{F_L+F_R}{L_0-\frac{S\sigma(x)}{k}}$ . Получили дифференциальное уравнение $S[S\sigma(x)-kL_0]d\sigma(x)=k(F_L+F_R)dx$ . Решение: $\frac{S^2\sigma^2(x)}{2}-kL_0S\sigma(x)=k(F_L+F_R)x+C$ . Для $x=L$ и $x=0$ имеем $\left\{\begin{matrix} \frac{S^2\sigma ^2(L)}{2}-kL_0S\sigma (L)=k(F_L+F_R)L+C \\ \frac{S^2\sigma ^2(0)}{2}-kL_0S\sigma (0)=C \end{matrix}\right$.
Вычитая из первого уравнения второе, получим $\frac{S^2\sigma ^2(L)}{2}-kL_0S\sigma (L)-{S^2\sigma ^2(0)}{2}+kL_0S\sigma (0)=k(F_L+F_R)L$ . Длина пружины равна $L=L_0\frac{S\sigma (0)-S\sigma (L)}{F_L+F_R}+\frac{S^2\sigma ^2(L)-S^2\sigma ^2(0)}{2k(F_L+F_R)}$. Но $S\sigma (0)=-F(0)=F_L$, а $S\sigma (L)=-F(L)=-F_R$ . Поэтому $L=L_0+\frac{F_R-F_L}{2k}$ , а показание динамометра $D=k(L-L_0)=\frac{F_R-F_L}{2}$ .
В исходной задаче $F_R=4N,F_L=-2N,D=3N$ .

[zvm]

zvm в сообщении #940461 писал(а):

Приведу «честное» решение.

Пружина двигается с ускорением $a=\frac{F_L+F_R}{L_0\rho_0}$ . $F_L,F_R$ - проекции сил на ось $x$ , $L_0,\rho_0$ - длина и линейная плотность свободной (ненагруженной) пружины.
Пусть в некотором сечении $X$ пружины напряженность равна $\sigma(X)$ (положительная если пружина сжата, отрицательная если растянута). Тогда на часть пружины левее этого сечения со стороны другой части будет действовать сила $F(X)=-S\sigma(X)$ . $S$ - площадь поперечного сечения пружины. Эта сила должна быть такой, чтобы обеспечить движение левой части пружины с ускорением $a$ , то есть $F(X)+F_L=a\int\limits_{0}^{X}\rho(x)dx$ .
Линейная плотность пружины связана с напряжением: $\rho(x)=\frac{M}{L}=\frac{\rho_0L_0}{L_0-\frac{S\sigma(x)}{k}}$.
Отсюда $-S\frac{d\sigma(x)}{dx}=a\rho(x)=\frac{F_L+F_R}{L_0-\frac{S\sigma(x)}{k}}$ . Получили дифференциальное уравнение $S[S\sigma(x)-kL_0]d\sigma(x)=k(F_L+F_R)dx$ . Решение: $\frac{S^2\sigma^2(x)}{2}-kL_0S\sigma(x)=k(F_L+F_R)x+C$ . Для $x=L$ и $x=0$ имеем $\left\{\begin{matrix} \frac{S^2\sigma ^2(L)}{2}-kL_0S\sigma (L)=k(F_L+F_R)L+C \\ \frac{S^2\sigma ^2(0)}{2}-kL_0S\sigma (0)=C \end{matrix}\right$.
Вычитая из первого уравнения второе, получим $\frac{S^2\sigma ^2(L)}{2}-kL_0S\sigma (L)-{S^2\sigma ^2(0)}{2}+kL_0S\sigma (0)=k(F_L+F_R)L$ . Длина пружины равна $L=L_0\frac{S\sigma (0)-S\sigma (L)}{F_L+F_R}+\frac{S^2\sigma ^2(L)-S^2\sigma ^2(0)}{2k(F_L+F_R)}$. Но $S\sigma (0)=-F(0)=F_L$, а $S\sigma (L)=-F(L)=-F_R$ . Поэтому $L=L_0+\frac{F_R-F_L}{2k}$ , а показание динамометра $D=k(L-L_0)=\frac{F_R-F_L}{2}$ .
В исходной задаче $F_R=4N,F_L=-2N,D=3N$ .

[hurtsy]

hurtsy в сообщении #940240 писал(а):

Вроде так задано в задаче, т.е. по определению. Наверное в этом волеизьявление составителя задачи.

Munin в сообщении #940261 писал(а):

По условиям задачи.

Замечательная редакторская правка. Спасибо А я не знал, как сказать коротко и ясно. Ещё короче абревиатура ПУЗ.
Даже весело и вкусно.

Цитата:

Q. Почему массы пружины и корпуса равны? A. От ПУЗ-а.

Munin в сообщении #940261 писал(а):

Для тех, кто не смотрел советскую киноклассику.

Подвиг разведчика - видел. Посла иноземной державы в "Иване Васильевиче ..." - помню. Но вы глубоко правильно замечаете(скурпулезно) - Тарзана и Фанфана тоже смотрел, хоть и строго в свободное от учебы в семилетке время. Я не скажу за весь СССР, в моей десятилетке была начальная школа, семилетка и атестат о среднем образовании получен не дожидаясь 11-ого класса. После ваших слов, мне уже кажется, что я надоел преподавателям.

Munin в сообщении #940261 писал(а):

Таким образом, вы проявили громадное неуважение ко всем окружающим, подкрепляя его своими последующими высказываниями (тоже на фоне того, что вы отказались решать задачу).

Да вы настоящий стукач, любезный ЗУ, типа ударник педагогического фронта.

zvm в сообщении #940461 писал(а):

Приведу «честное» решение.

После любезных разъяснений - наставлений ЗУ Munin понятно зачем вы закавычили слово честное. Так как ЗУ позволил отстающим задавать вопросы, не могу не воспользоваться. У вас поперечное сечение кружок от сечения цилиндрического стержня или две несвязные односвязные области.
С (громадным) уважением,

[Skeptic]

Во всех приведённых решениях предполагается, что масса пружины может быть неоднородной, но жёсткость пружины всегда предполагается однородной.
Как решать задачу при неоднородности распределения массы и жёсткости пружины?

[Munin]

Skeptic в сообщении #941370 писал(а):

Во всех приведённых решениях предполагается, что масса пружины может быть неоднородной, но жёсткость пружины всегда предполагается однородной.

Нет. Предполагается, что и масса и жёсткость - однородны.

А если масса неоднородна, а жёсткость однородна, то это можно простой заменой координат преобразовать к случаю, когда масса однородна, а жёсткость неоднородна. Так что все случаи неоднородности - это на самом деле один случай.

[Skeptic]

Школьное решение без интегралов.

Рассмотреть только пружину.
Найти центр масс массы пружины.
Найти удлинение пружины, связанное с положением её центра масс.
Найти массу, действующую на свободный конец пружины и дающую такое удлинение.

Для цилиндрической пружины динамометра её удлинение вызвано половиной массы пружины.
Ответ: показания динамометра

$$f=f_\text{к}+\frac{1}{2}f_\text{п},$$

где $\begin{aligned} &f_\text{к}\text{ - сила, действующая на корпус динамометра,} \\ &f_\text{п}\text{ - сила, действующая на пружину динамометра.} \\ \end{aligned} $

[Viktor92]

Skeptic по вашей формуле получается 4Н (на корпус действует 2Н, а на пружину 4Н), а ответ 3Н, так что, что-то не то...

[Skeptic]

На пружину действует сила $f_\text{п}=m_\text{п}a,$ где $a=\frac{4N}{m_\text{к}+m_\text{п}}$. Или $f_\text{п}=4N-f_\text{к}$.