Задача с 6 всесоюзной олимпиады, 1972 г., Тбилиси

[zvm]

Батороев в сообщении #939058 писал(а):

При вертикальном положении динамометр показывает нулевое значение (так он оттарирован, т.е. как бы воздействия от массы корпуса и пружины не учитываются).

Если масса пружины не пренебрежимо мала, то тарировать динамометр нужно в горизонтальном положении.
Давайте разберем вспомогательную задачку.

Масса груза $M$, масса пружин $m$.
Горизонтальный динамометр, естественно, показывает силу $(M+m)g$. Что показывает вертикальный динамометр?

[Батороев]

Склоняюсь к выводу, что способ тарировки (горизонтальный ли это динамометр или бытовой пружинный "кантарик") вообще не при чем. На мой взгляд, важнее, что при равенстве масс пружины и корпуса для динамометра не важно, к чему прилагать силу - к пружине или корпусу и, если приложив к корпусу силу $4$ Н (будь то статическая сила или динамическая при установившемся режиме, о чем говорит постоянство ускорения), на динамометре должно быть показание $4$ Н (а иначе, это - не динамометр), то и при приложении силы к пружине должно быть то же самое. По крайней мере, мне так казца...

[Skeptic]

dovlato в сообщении #939049 писал(а):

Матанализ - это жемчужина. Может всё.. Вот ежли, например, пружина неоднородная, то без него почти ничего не сделаешь.

Можно элементарно обойтись без матанализа.
Представленное вами решение включает вычисление определённого интеграла. Результат вычисления определённого интеграла - разность его значений на концах интервала. Следовательно, его значения на отрезке ни кого не должны волновать. Применительно к динамометру это означает, что свойства его пружины не влияют на показания, разве что шкала может быть нелинейна, но это не принципиально. Если можно каким-то образом определить значения сил на концах пружины, то мучаться с интегралом не имеет смысла. В нашем случае известны силы, действующие на концах пружины. Этого достаточно, чтобы определить показания динамометра, используя только арифметику.

(Оффтоп)

В интернете я узнал, что динамометры могут быть гидравлические. А есть ли в них пружины? Как считать без них интеграл?

-- 02.12.2014, 15:26 --

zvm в сообщении #939074 писал(а):

Батороев в сообщении #939058 писал(а):

При вертикальном положении динамометр показывает нулевое значение (так он оттарирован, т.е. как бы воздействия от массы корпуса и пружины не учитываются).

Если масса пружины не пренебрежимо мала, то тарировать динамометр нужно в горизонтальном положении.

Тарировку делают в положении, в котором прибор используется. Рабочее положение задаётся в технических условиях и обязательно указывается в инструкции по пользованию.

[dovlato]

Из 2-го закона Ньтона это "учитывается". По условию скорости всех точек одинаковы. Значит, ускорения - тоже.

[Munin]

hurtsy в сообщении #939020 писал(а):

С одной стороны заданный груз, с другой точно такая же сила в точке закрепления. На шкале отметка f, а на пружину действует сумма 2f.

Мдя, ну это уже аллескапут.

Не умеете складывать силы - возвращайтесь в школу да повторите материал. Можете задать вопросы на форуме.

Но зачем тему-то своим невежеством захламлять? Задача - олимпиадная, то есть повышенной сложности, а не пониженной.

hurtsy в сообщении #939020 писал(а):

Кстати в мое время в школе не было начал математического анализа.

Всегда был, с 60-х годов уж точно. Разумеется, речь о десятилетке.

Батороев в сообщении #939058 писал(а):

При вертикальном положении динамометр показывает нулевое значение (так он оттарирован, т.е. как бы воздействия от массы корпуса и пружины не учитываются).

Вы путаете динамометр и весы. Весы откалиброваны так, чтобы показывать 0 при вертикальном положении, а динамометр - при горизонтальном. Впрочем, обычно в нём пружина лёгкая, и если его повернуть вертикально (двумя способами, пружиной вниз и пружиной вверх), смещения незначительные.

-- 02.12.2014 16:22:58 --

Skeptic в сообщении #939140 писал(а):

В нашем случае известны силы, действующие на концах пружины. Этого достаточно, чтобы определить показания динамометра, используя только арифметику.

Ну да, и жестоко ошибиться, если пружина неоднородна. Всякий инструмент надо всё-таки с умом применять.

[Viktor92]

Если уж моя тема подняла такую дискуссию,выложу решения из сборника олимпиадных задач Я создал тему, чтобы найти более изящный вариант решения, так как этот ещё сложнее интегрирования, там в конце видно нужно ещё использовать формулу суммы n-членов арифметической прогрессии, и в конце видно опечатка вместо $i$ должна быть просто $1$

[dovlato]

Скучное решение. Сидел взрослый дядя и писал значочки сумм. Правильное, оф корс. Но так делать в 9м классе..
Кстати, надо бы указать, что ф-ла

$$M_x=M\frac{x}{L}$$

и всё остальное, из неё про-истекающее - пишется для расслабленной пружины.

[Munin]

Всё это сильно нереалистично. И с трением заковыка, и решение "скучное" - не чувствуется духа настоящей олимпиады - с остроумием, оговорками, апелляциями.

[Skeptic]

На тело действуют две противоположно направленные силы. При равенстве сил тело находится в покое. При увеличении одной из сил тело движется ускорено по направлению большей силы. Сила, вызвавшая ускоренное движение, равна разности приложенных сил. Таким образом, большая сила раскладывается на две: силу, вызывающую ускорение тела, и силу, противодействующую другой противоположно направленной меньшей силе. Очевидно, эти последние силы равны. Силы, действующие на тело, раскладываются на силу ускорения (разность сил) и силы, деформирующие тело. Силы, деформирующие тело, равны по значению и противоположно направлены, т.е. эти силы равны меньшей из действующих сил. Таким образом всегда, если при действии на тело противоположных сил меньшая из них деформирует тело, а из разность вызывает ускоренное движение тела.
На тело было наложено только одно условие - обладание массой. Если телу дополнительно приписать упругость, то под дейстием деформирующих сил будут изменяться размеры тела, а его масса останется той же. Добавление упругости тела не изменяет разделение сил на ускоряющую и деформирущюю. Иными словами, ускорение тела не влияет на его деформацию. Обзовём упругое тело пружиной, и получим простое правило.

Если на пружину действуют силы разной величины, но противоположно направленные, то меньшая сила растягивает (сжимает) пружину, а их разность ускоряет её.

[DimaM]

Skeptic в сообщении #939446 писал(а):

Если на пружину действуют силы разной величины, но противоположно направленные, то меньшая сила растягивает (сжимает) пружину, а их разность ускоряет её.

Это неверно. Сила натяжения ускоренно двигающейся массивной пружины в разных местах разная.

[dovlato]

Как-то немного обидно за задачу. Не знаю, что думает народ, а на мой взгляд, интуитивные соображения, заключённые в ней,
вполне и содержательные, и олимпиадные. В отличие от её обоснования.. словно писали два разных человека.
Да, конечно, следовало бы добавить силы трения: они не разрушают ход решения, но зато позволяют умалчивать о колебаниях,
не чувствуя себя при этом стеснительным жуликом.

[Munin]

dovlato в сообщении #939670 писал(а):

Как-то немного обидно за задачу. Не знаю, что думает народ, а на мой взгляд, интуитивные соображения, заключённые в ней, вполне и содержательные, и олимпиадные.

Согласен.

dovlato в сообщении #939670 писал(а):

Да, конечно, следовало бы добавить силы трения: они не разрушают ход решения, но зато позволяют умалчивать о колебаниях, не чувствуя себя при этом стеснительным жуликом.

Это немножко разные силы трения. Силу трения об стол, наоборот, надо явно исключить.

[dovlato]

Я как-то не подумал, что сухое трение грузов о стол не будет заставлять колебания затухать.. Это было бы просто дополнительной постоянной силой
(при поступательной скорости, бОльшей скоростей чисто колебательных). Жаль. С другой стороны, я не понял - почему силы трения с задачей несовместимы.
Может, чего-то не улавливаю.. Вроде бы к каждому телу на концах пружины просто прибавится своя постоянная сила. Так?

[Munin]

dovlato в сообщении #939740 писал(а):

С другой стороны, я не понял - почему силы трения с задачей несовместимы.

Формула (3) тогда превращается в

$$T_x=\left(M+M\dfrac{x}{L}\right)a+F_\text{тр},$$

где $F_\text{тр}=\mu(2M)g$ - неизвестная (поскольку $\mu$ неизвестен).

[dovlato]

Да, с неизвестным $\mu$ решения нет. Но если его величину определить в условии, то задача опять станет возможной.
Правда, при этом вместо "4 Н" тянущую силу надо задать, например, как $2kMg$, $k>\mu$.