Задача с 6 всесоюзной олимпиады, 1972 г., Тбилиси

[Viktor92]

Здравствуйте. Предлагаю такую задачку, которая меня озадачила Хоть решал вузовские задачи по термеху, а с этой справиться не могу, а она ведь для школьников 9кл. Вот собственно задача:
К динамометру приложена сила 4Н так, что он движется с постоянным ускорением по горизонтальному столу. Что показывает динамометр, если масса пружины равна массе корпуса? (Заметьте про трение ничего не сказано, а ответ есть число,хотя по начало я думал, что её решить надо качественно, пока его приводить не буду, а то не интересно будет). Прилагаю рисунок для наглядности.

[Munin]

Если бы трения не было, то задача бы имела решение (и я даже готов его объяснить 9-класснику), а так - нет.

[Viktor92]

Ну я так полагаю здесь подразумевается, что трения нет, хоть в условии и не сказано. Покажите вашу идею решения при условии отсутствия трения, очень интересно.

[zvm]

Четыре года назад: http://dxdy.ru/topic35154.html.
Вроде, так и не решили.
Кажется, 3 ньютона.
Идея у меня такая. Заменить пружину массы $m$ на $n$ грузиков с массами $\frac m n$, соединенных невесомыми пружинами, а потом устремить $n$ к бесконечности.

[hurtsy]

zvm в сообщении #936884 писал(а):

Заменить пружину массы $m$ на $n$ грузиков с массами $\frac m n$, соединенных невесомыми пружинами, а потом устремить $n$ к бесконечности.

Для 9-ого класса это очень хороший "способ интегрирования". С такой техникой можно и трение одолеть.

(Оффтоп)

А если плоскость заменить скрипкой а пружину смычком, да канифоли для трения. То-то скрипу было бы

. С уважением,

[Munin]

hurtsy в сообщении #936951 писал(а):

Для 9-ого класса это очень хороший "способ интегрирования".

Обычно в 9-м классе "интегрируют" графически: рисуют график, и находят площадь под графиком.

Кстати, в данном случае необходимо ещё допустить, что пружина динамометра однородна по длине, не имеет неоднородностей ни в распределении массы, ни в распределении упругости. Тогда график будет прямая, и площадь под графиком можно будет найти как площадь трапеции.

hurtsy в сообщении #936951 писал(а):

С такой техникой можно и трение одолеть.

Ну чё ж вы чушь пишете, как будто не решали задачу.

[Viktor92]

Пока дошёл до таких соображений. На коней пружины прикреплённый к корпусу будет действовать сила в 2Н (это очевидно, т.к. для разгона корпуса до такого же ускорения, требуется сила в 2 раза меньше), если же взять середину пружины (которую надо взять на нерастянутой до условного опыта, т.к. потом она сместиться), то масса этой чати будет в 2 раза меньше и сила будет 3Н для разгона половины пружины (по массе) и корпуса до того же ускорения. Это доказывает неравномерность сил в сечениях растянутой пружины, жёсткость каждого сечения одинаковая, но разное удлинение из за разной силы, и распределение там очевидно будет по натуральному логарифму (например масс растянутой пружины от одного конца к другому).

[dovlato]

"Кстати, в данном случае необходимо ещё допустить, что пружина динамометра однородна по длине, не имеет неоднородностей ни в распределении массы, ни в распределении упругости. Тогда график будет прямая, и площадь под графиком можно будет найти как площадь трапеции."
Вопрос к Munin. Ясно же, что пружина НЕоднородна по распределению масс; наибольшее растяжение у неё справа, наименьшее - слева.

[hurtsy]

Viktor92 в сообщении #936970 писал(а):

распределение там очевидно будет по натуральному логарифму (например масс растянутой пружины от одного конца к другому

Мне кажется натуральный логарифм здесь ни к чему. Каждый виток пружины несет одинаковую нагрузку. Сила 2Н разгоняет, так сказать, станину динамометра. Динамометр должен показывать всего 2Н. Т.е. Динамометр показывае только силу разгоняющую пружину.

Munin в сообщении #936964 писал(а):

Ну чё ж вы чушь пишете, как будто не решали задачу.

Вы как в воду смотрите. Да я и не собирался решать задачу в такой постановке. Даже под страхом бана от ЗУ. С уважением,

[Viktor92]

hurtsy в сообщении #937001 писал(а):

Мне кажется натуральный логарифм здесь ни к чему. Каждый виток пружины несет одинаковую нагрузку. Сила 2Н разгоняет, так сказать, станину динамометра. Динамометр должен показывать всего 2Н. Т.е. Динамометр показывае только силу разгоняющую пружину.

Нет здесь вы точно ошибаетесь, сила меняется от сечения к сечения если идти слева-направо (см. рисунок) по пружине от 2Н до 4 Н. И пружина разгоняет не только станину, но и каждый виток пружины сечение за сечением , т.к. масса пружины равна массе станины -это существенно. А натуральный логарифм тут вот причём, если растянутую пружины (в нашем мысленном опыте) разделить отметками на равное число частей n, а потом убрать силу в 4Н, то эти отметки распределяться в логарифмическом масштабе, очевидно и массы ( если плотность и размеры пружины однородны) во время движения тоже распределены по натуральному логарифму. Проблема в задачи это неизвестность жёсткости и удлинения пружины, их надо в формуле закона Гука как-то выразить/исключить через известные нам велечины.

[hurtsy]

Viktor92 в сообщении #937021 писал(а):

то эти отметки распределяться в логарифмическом масштабе, очевидно и массы ( если плотность и размеры пружины однородны) во время движения тоже распределены по натуральному логарифму. Проблема в задачи это неизвестность жёсткости и удлинения пружины, их надо в формуле закона Гука как-то выразить/исключить через известные нам велечины.

Все динамометры которые я видел имели линейные шкалы. Они расчитаны так, что работают в линейной области, если не так, то это слишком большая нагрузка. То о чем вы говорите это напряжения в сечениях. С уважением,

[Munin]

Viktor92 в сообщении #936970 писал(а):

На коней пружины прикреплённый к корпусу будет действовать сила в 2Н (это очевидно

Это очевидно, но неверно. Вы забыли силу трения.

Viktor92 в сообщении #936970 писал(а):

и распределение там очевидно будет по натуральному логарифму

Ещё одна очевидная и неверная вещь. Нарисуйте график, хоспади же.

dovlato в сообщении #936991 писал(а):

Вопрос к Munin. Ясно же, что пружина НЕоднородна по распределению масс; наибольшее растяжение у неё справа, наименьшее - слева.

Простите за плохую формулировку. Подразумевалось, что пружина однородна, когда она в покое и в нерастянутом состоянии.

hurtsy в сообщении #937001 писал(а):

Даже под страхом бана от ЗУ.

ЗУ не модераторы и не банят.

[Viktor92]

Munin в сообщении #937041 писал(а):

Это очевидно, но неверно. Вы забыли силу трения.

Подразумевалось что трение отсутствует. А на счёт графика видно ошибся, скорей просто линейная функция, надо будет подумать...

[dovlato]

Вроде бы 3 ньютона получается. Ускорение корпуса растягивает пружину на честные 2 ньютона. А из-за неоднородности
растяжения пружины, её собственная добавка к общему растяжению поделится пополам; в общем случае

$$f_1=f\frac{M+m/2}{M+m}$$

[Viktor92]

dovlato Вы эту формулу вывели интуитивно или интегрировали что-то?