показание динамометра

[viktorkrug]

Здравствуйте. Не могли бы подсказать в задаче

Динамометр, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности, тянут с силой F = 5 Н. Что покажет динамометр, если масса его корпуса М = 0,2 кг, масса пружины m = 0,05 кг? Градуировка динамометра производилась при закрепленном корпусе .

сила записывается F = (M+m)a. Но если приложена сила к пружине, то должна учитываться сила упругости, или в задаче имелось ввиду что пружина растянута, а динамометр движется с пружиной, но тогда силу которую расчитывали при напряжении, тоже записали без учета упругости.
Спасибо.

[gris]

Наверное, уже решили, но приведу свои бесхитростные соображения.

Показания динамометра по закону Гука пропорциональны разности сил, действующих на концы пружины. При закреплённом конце это удвоенная сила, действующая на свободный конец.

Что происходит при движении с грузом. В установившемся движении конструкция движется как единое целое с найденным Вами ускорением, но её нельзя считать твёрдым телом. На горизонтальной гладкой поверхности мы учитываем только три силы. Движущую силу, действующую на свободный конец пружины. Силу, действующую со стороны пружины на корпус. И равную ей по модулю силу, действующую со стороны корпуса на закреплённый в нём конец пружины. Её можно найти по второму закону Ньютона для корпуса.

Мы можем найти разность, то есть сумму модулей, растягивающих сил. Собственно это и будет удвоенное показание динамометра.

Для проверки. Закреплённый конец означает бесконечную массу корпуса.

[ewert]

gris в сообщении #338684 писал(а):

Мы можем найти разность, то есть сумму модулей, растягивающих сил. Собственно это и будет удвоенное показание динамометра.

Это правда, но не всё так просто. Пружина ведь двигается с ускорением -- и, значит, растянута неравномерно. Правда, на ответ это не влияет, но из каких простых соображений это должно следовать -- мне чего-то в голову не приходит.

[gris]

Я тоже подумал, что пружину нельзя считать твёрдым телом, но кроме интегрирования ничего в голову не пришло. Понадеялся, что и так проскочит, ан нет

А разве совсем не повлияет на ответ? При малой массе пружины по отношению к корпусу неравномерностью растяжения можно и пренебречь, но если мы возьмём массу корпуса равной нулю, то достаточно длинная и массивная пружина ужли не будет растянута несколько более половины своей растянутости при закреплённом конце??

Может быть перейти в неинерциальную систему отсчёта? Или с потенциальной энергией помудрить?

[ewert]

gris в сообщении #338693 писал(а):

А разве совсем не повлияет на ответ?

Да вроде как и нет -- если честно составить и решить дифур. Но если ответ такой простой, то и получаться он должен, по идее, проще...

[terminator-II]

viktorkrug в сообщении #338460 писал(а):

Здравствуйте. Не могли бы подсказать в задаче

Динамометр, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности, тянут с силой F = 5 Н. Что покажет динамометр, если масса его корпуса М = 0,2 кг, масса пружины m = 0,05 кг? Градуировка динамометра производилась при закрепленном корпусе .

сила записывается F = (M+m)a. Но если приложена сила к пружине, то должна учитываться сила упругости, или в задаче имелось ввиду что пружина растянута, а динамометр движется с пружиной, но тогда силу которую расчитывали при напряжении, тоже записали без учета упругости.
Спасибо.

1) переходим в систему координат связанную с одним из концов пружины, 2) вычисляем массовую силу инерции 3) пишем уравнения Ламе, которые в этом случае будут одномерными, а впредположении, что движение установившееся и вовсе одним обыкновеным дифуром второго порядка 4) решаем

[ewert]

terminator-II в сообщении #338696 писал(а):

и вовсе одним обыкновеным дифуром второго порядка 4) решаем

решаем, конечно. А не решая -- как?...

(и зачем второго?...)

[terminator-II]

ewert в сообщении #338700 писал(а):

решаем, конечно. А не решая -- как?...

Это уравнение будет вида $w_{xx}=const$ где $w$ перемещение Так, что решать, собственно, нечего.
Ну, либо поем песню про линейное растяжение.

ewert в сообщении #338700 писал(а):

(и зачем второго?...)

посмотрите как уравнения Ламе в перемещениях выглядят в каком-нибудь справочнике

[ewert]

terminator-II в сообщении #338702 писал(а):

Ну, либо поем песню про линейное растяжение.

Нет, вот этих песен не надо (никаких линейностей там не видать). Хотя идея разумная. Хотя я бы всё же не стал бы решать это замечательное уравнение, и даже составлять его, несмотря ни на каких Ламе. А сказал бы примерно так.

Согласно закону Гука, сила растяжения в данной точке пропорциональна первой производной смещения по старой координате, причём с постоянным по координате коэффициентом. Соответственно, смещение на правом конце пропорционально интегралу той силы по старой координате, т.е. её среднему в этом смысле значению. Однако зависимость силы растяжения от старой координаты -- линейна (просто потому, что перепад сил пропорционален массе соотв. участка). А при линейной зависимости среднее значение функции равен полусумме её значений на концах.

Итак, растяжение пружины пропорционально полусумме значений сил на концах, умноженной на жёсткость. Причём коэффициент пропорциональности зависит уж там от чего угодно, но только не от самих сил. А поскольку при равенстве сил он откровенно равен единице, то и.

(Ну неужели, ну неужели нельзя никак проще?...)

[terminator-II]

Вы знаете, я вообще против олимпиадных задач, в которых олимпиадность вызвана тем, что нормальные регулярные методы, из каких-то там высоких пИдагогических соображений, использовать низзззззззззяяяяяяяяяяя
То, что Вы предлагаете, это сложнее чем проинтегрировать дважды константу. Анализ затем и придумывали, что б не приходилось удалять гланды через анус.

[ewert]

terminator-II в сообщении #338728 писал(а):

, в которых олимпиадность вызвана тем, что нормальные регулярные методы,

Вы бы ещё внешние формы предложили для решения школьных задач. Или какие-нибудь там континуальные интегралы.

terminator-II в сообщении #338728 писал(а):

То, что Вы предлагаете, это сложнее чем проинтегрировать дважды константу.

Не знаю; но, во всяком случае, это -- идейнее. Поскольку не требует ненужной слежки ни за какими константами. А обе упомянутых мной связи -- так или иначе отслеживать придётся, именно обе.

[mihiv]

При переходе в неинерциальную систему отсчета,связанную с динамометром, все становится совершенно наглядно:эта система эквивалентна инерциальной системе,в которой действует однородное поле тяжести с ускорением свободного падения $a$.
В этой системе мы имеем пружину массы $m$ с подвешенным на ней корпусом динамометра массы $M$.Под действием своего веса пружина растянется неравномерно,плюс равномерное растяжение из-за массы $M$.

[ewert]

И почему отсюда следует, что полное растяжение определяется именно полусуммой сил?...

[mihiv]

Про полусумму сил я ничего не говорил,просто задача так проще формулируется:груз подвешен на пружине,найти удлинение пружины(пружина,правда,имеет массу,но это можно учесть,у меня получилось,что растяжение пружины под действием собственной массы равно $\frac {ma}{2k}$,где $k$ жесткость пружины.)

-- Пн июл 12, 2010 19:13:02 --

Полное растяжение пружины равно:$\delta l=\frac ak(M+\frac m2)$.

[ewert]

mihiv в сообщении #338797 писал(а):

у меня получилось,что растяжение пружины под действием собственной массы равно $\frac {ma}{2k}$,где $k$ жесткость пружины.

Это не годится: у Вас получилось, что растяжение пропорционально разности тех абсолютных величин сил, в то время как вполне очевидно, что оно более-менее пропорционально их сумме (уж там в точности, не в точности -- это уж вопрос следующий).