прикольная задачка

[Борис Лейкин]

Someone писал(а):

А в каком смысле нужно понимать левую часть этого уравнения?

Я сам ничего не понял.
В Maple с помощью solve() решал последовательно сначала
$x^2-1=0$ - у него 2 корня,
затем $(x^2-1)^2-1=0$ - у него 4 корня и т.д.
У уравнения $(((x^2-1)^2-1)^2-1)^2-\ldots=0$
должно быть бесконечное множество корней,
а почему бы и нет, подумал я.
Нарисовал всё это plot(..., style=POINT), увидел странную картинку,
похожую на фрактал, и очень удивился.

Сначала я хотел построить фрактал по такой формуле:
$z \to \sqrt{1+z}$
ничего не вышло.
Потом попробовал эту рекуррентную формулу:
$z \to z^2-1$

[Someone]

незванный гость писал(а):

:evil:
Предполагаю, что традиционно -- $f_1(x) = x^2-1$, $f_{n+1}(x) = f_1(f_n(x)) = f_n(f_1(x))$. Тогда имеем $\{ x: f_n(x) \to 0\}$. Называть ли их корнями -- другой вопрос. Хотя бы потому, что $f_n(0) = 0$ или $1$ для четных и нечетных $n$, соответственно.

Такая последовательность не может сходиться к нулю ни при каком $x$. Если $f_n(x)$ близко к $0$, то $f_{n+1}(x)$ близко к $-1$. Есть неподвижные точки, определяемые из уравнения $x^2-1=x$. Есть циклы длины 2 ($x=0$ и $x=-1$) и, вероятно, более, уравнения для определения которых тоже можно написать. Кстати, циклов длины больше 2 я не нашёл, но не берусь утверждать, что их нет (если допускать комплексные $x$, то, конечно, есть).

Исправил опечатку.

[незваный гость]

$f_3(x)=x$ задает по крайней мере один цикл порядка три (думаю, что и более), $x \approx -1.42203 - 0.114188 i$ -- не выражается в радиклах. Мое первое впечатление, что полиномы $\frac{f_{2k}(x)-x}{f_2(x)-x}$ и $\frac{f_{2k+1}(x)-x}{f_1(x)-x}$ имеют малое количество множителей, и циклы задаваемые их корнями совпадают со степенью полинома. Это, быть может, и глупое весьма предположение. Почти наугад.

По поводу определения смысла, рискну высказать вторую догадку. $\mathbb C \setminus \{ x: f_n(x) \to \infty\}$. На сколько я помню, все "плохие" точки убегают от нуля по экспоненте. Это определение действительно задает фрактал, но корни?!? Может, кто-нибудь знакомый с Maple прокоментирует? Кроме того, можно рассматривать $ \{ x: \exists n: f_n(x) = 0}$. Но свойства такого множества для меня туманны. Навскидку -- оно может заполнять всюду плотно некоторую область с фрактальной границей. А может и не заполнять.

[Dolopihtis]

Борис Лейкин писал(а):

Someone писал(а):

А в каком смысле нужно понимать левую часть этого уравнения?

Я сам ничего не понял.
В Maple с помощью solve() решал последовательно сначала
$x^2-1=0$ - у него 2 корня,
затем $(x^2-1)^2-1=0$ - у него 4 корня и т.д.
У уравнения $(((x^2-1)^2-1)^2-1)^2-\ldots=0$
должно быть бесконечное множество корней,
а почему бы и нет, подумал я.
Нарисовал всё это plot(..., style=POINT), увидел странную картинку,
похожую на фрактал, и очень удивился.

Сначала я хотел построить фрактал по такой формуле:
$z \to \sqrt{1+z}$
ничего не вышло.
Потом попробовал эту рекуррентную формулу:
$z \to z^2-1$

Попробуйте так:

$z_n = \pm \sqrt{1 \pm z_{n-1}) }$

начиная с 0.

Ведь по идее формула для корней такая :

$\pm \sqrt{1\pm \sqrt{1\pm \sqrt{1\pm \sqrt{1\pm \ldots}}}} $

т.е. число корней должно удваиваться на каждом шаге ( с учетом кратности)

[Anar Yusifov]

Вот известная вам рекурсия
$S^{2}_n(x)=x+S_{n-1}(x+1)$
$S^{2}_1(x)=x$
Необходимо найти
$S_n(1)=?$
Повторяя цикл преобразований типа
${(S^{2}_n(x)-x)}^2=S^{2}_{n-1}(x+1)$
с уменьшением индекса n по рекурсии в конце концов получим что решение алгебраического уравнения степени 2^n определённого вида (долго набирать нет времени) и есть искомый S_n(x). При этом надо всегда помнить что ищется положительный корень. Если суметь доказать к какому числу (рациональному или иррациональному) стремиться эта последовательность то будет уже не плохо . Ну а насчёт решения я уже не заикаюсь.

С Уважением, Анар.

[Борис Лейкин]

Someone писал(а):

Борис Лейкин писал(а):

$(((x^2-1)^2-1)^2-1)^2-\ldots=0$

А в каком смысле нужно понимать левую часть этого уравнения?

Я понял кажется в каком смысле. В том же самом, какой вот у этого выражения:
$1-1+1-1+1-1+\ldots$
А чему оно равно, кстати, никто не знает?
Эти "корни" нельзя назвать корнями,
потому что $f(x)=(((x^2-1)^2-1)^2-1)^2-\ldots$ не функция?
А что это за чудище?
Неужели в этих выражениях нет никакого смысла?

[Руст]

Если речь идёт только о действительных корнях, то у n-го уравнения степени 2^n их всего n+1 и они легко вычисляются по рекурентной формуле.

[Anar Yusifov]

Ну-ка. И какая же это рекурентность?

[Руст]

Величина, определяемая через х ничего нового не дает:
$\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+\sqrt\{x^8+\dots}}}}=x\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\dots}}}$.
Обозначим многочлены и величины: $P_1(x)=x,P_{n+1}(x)=P_n^2(x)-1, \ и \ x_1=0,x_{n+1}=\sqrt{1+x_n}$.
Тогда многочлен $P_n(x)$ имеет ровно n действительных корней и они задаются как: $ \pm x_n, \pm x_{n-2}, \pm x_{n-4},\dots $. Ясно, что предел этой последовательности чисел равен: $\frac{1+\sqrt 5}{2}$
Но эти выражения детские игры и не имеют никакого отношения к исходной задаче.

[Руст]

Вообще то я придумал выражение для исходной задачи вид непрерывной дроби, но дает или конечное выражение не знаю.

[Anar Yusifov]

Интерестное какое же это представление?

[Борис Лейкин]

В теории Галуа: Корни уравнения выражаются в радикалах, когда группа Галуа,
действующая на них, разрешима.

К уравнениям бесконечной степени: $a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n+\ldots=0$
- это тоже относится?
Прочитал в Мат. Энц-ии статью про топологические группы Галуа
(мало чего понял, что-то там про топологию Крулля),
это имеет какое-нибудь отношение к бесконечным группам Галуа?
А существуют Фрактальные группы - группы симметрии фракталов?

[isupp]

ой

[Руст]

Только $f^2(x)=x+f(x+1)$.