2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 
Сообщение04.02.2006, 18:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/05
695
Ярославль
Someone писал(а):
А в каком смысле нужно понимать левую часть этого уравнения?


Я сам ничего не понял. :?
В Maple с помощью solve() решал последовательно сначала
$x^2-1=0$ - у него 2 корня,
затем $(x^2-1)^2-1=0$ - у него 4 корня и т.д.
У уравнения $(((x^2-1)^2-1)^2-1)^2-\ldots=0$
должно быть бесконечное множество корней,
а почему бы и нет, подумал я.
Нарисовал всё это plot(..., style=POINT), увидел странную картинку,
похожую на фрактал, и очень удивился. :o

Сначала я хотел построить фрактал по такой формуле:
$z \to \sqrt{1+z}$
ничего не вышло.
Потом попробовал эту рекуррентную формулу:
$z \to z^2-1$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.02.2006, 21:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18034
Москва
незванный гость писал(а):
:evil:
Предполагаю, что традиционно -- $f_1(x) = x^2-1$, $f_{n+1}(x) = f_1(f_n(x)) = f_n(f_1(x))$. Тогда имеем $\{ x: f_n(x) \to  0\}$. Называть ли их корнями -- другой вопрос. Хотя бы потому, что $f_n(0) = 0$ или $1$ для четных и нечетных $n$, соответственно.


Такая последовательность не может сходиться к нулю ни при каком $x$. Если $f_n(x)$ близко к $0$, то $f_{n+1}(x)$ близко к $-1$. Есть неподвижные точки, определяемые из уравнения $x^2-1=x$. Есть циклы длины 2 ($x=0$ и $x=-1$) и, вероятно, более, уравнения для определения которых тоже можно написать. Кстати, циклов длины больше 2 я не нашёл, но не берусь утверждать, что их нет (если допускать комплексные $x$, то, конечно, есть).

Исправил опечатку.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.02.2006, 23:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
$f_3(x)=x$ задает по крайней мере один цикл порядка три (думаю, что и более), $x \approx -1.42203 - 0.114188 i$ -- не выражается в радиклах. Мое первое впечатление, что полиномы $\frac{f_{2k}(x)-x}{f_2(x)-x}$ и $\frac{f_{2k+1}(x)-x}{f_1(x)-x}$ имеют малое количество множителей, и циклы задаваемые их корнями совпадают со степенью полинома. Это, быть может, и глупое весьма предположение. Почти наугад.

По поводу определения смысла, рискну высказать вторую догадку. $\mathbb C \setminus \{ x: f_n(x) \to \infty\}$. На сколько я помню, все "плохие" точки убегают от нуля по экспоненте. Это определение действительно задает фрактал, но корни?!? Может, кто-нибудь знакомый с Maple прокоментирует? Кроме того, можно рассматривать $ \{ x: \exists n: f_n(x) = 0}$. Но свойства такого множества для меня туманны. Навскидку -- оно может заполнять всюду плотно некоторую область с фрактальной границей. А может и не заполнять.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.02.2006, 00:34 


17/01/06
180
я не знаю откуда я пришел,куда я иду, и даже кто я такой
Борис Лейкин писал(а):
Someone писал(а):
А в каком смысле нужно понимать левую часть этого уравнения?


Я сам ничего не понял. :?
В Maple с помощью solve() решал последовательно сначала
$x^2-1=0$ - у него 2 корня,
затем $(x^2-1)^2-1=0$ - у него 4 корня и т.д.
У уравнения $(((x^2-1)^2-1)^2-1)^2-\ldots=0$
должно быть бесконечное множество корней,
а почему бы и нет, подумал я.
Нарисовал всё это plot(..., style=POINT), увидел странную картинку,
похожую на фрактал, и очень удивился. :o

Сначала я хотел построить фрактал по такой формуле:
$z \to \sqrt{1+z}$
ничего не вышло.
Потом попробовал эту рекуррентную формулу:
$z \to z^2-1$



Попробуйте так:

$z_n = \pm \sqrt{1 \pm z_{n-1}) }$

начиная с 0.

Ведь по идее формула для корней такая :

$\pm \sqrt{1\pm \sqrt{1\pm \sqrt{1\pm \sqrt{1\pm \ldots}}}} $

т.е. число корней должно удваиваться на каждом шаге ( с учетом кратности)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.02.2006, 16:53 


12/05/05
60
Baku
Вот известная вам рекурсия
$S^{2}_n(x)=x+S_{n-1}(x+1)$
$S^{2}_1(x)=x$
Необходимо найти
$S_n(1)=?$
Повторяя цикл преобразований типа
${(S^{2}_n(x)-x)}^2=S^{2}_{n-1}(x+1)$
с уменьшением индекса n по рекурсии в конце концов получим что решение алгебраического уравнения степени 2^n определённого вида (долго набирать нет времени) и есть искомый S_n(x). При этом надо всегда помнить что ищется положительный корень. Если суметь доказать к какому числу (рациональному или иррациональному) стремиться эта последовательность то будет уже не плохо :-). Ну а насчёт решения я уже не заикаюсь.

С Уважением, Анар.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 18:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/05
695
Ярославль
Someone писал(а):
Борис Лейкин писал(а):
$(((x^2-1)^2-1)^2-1)^2-\ldots=0$


А в каком смысле нужно понимать левую часть этого уравнения?


:) :? Я понял кажется в каком смысле. В том же самом, какой вот у этого выражения:
$1-1+1-1+1-1+\ldots$
А чему оно равно, кстати, никто не знает?
Эти "корни" нельзя назвать корнями,
потому что $f(x)=(((x^2-1)^2-1)^2-1)^2-\ldots$ не функция?
А что это за чудище?
Неужели в этих выражениях нет никакого смысла?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 19:43 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Если речь идёт только о действительных корнях, то у n-го уравнения степени 2^n их всего n+1 и они легко вычисляются по рекурентной формуле.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 20:29 


12/05/05
60
Baku
Ну-ка. И какая же это рекурентность?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 21:17 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Величина, определяемая через х ничего нового не дает:
$\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+\sqrt\{x^8+\dots}}}}=x\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\dots}}}$.
Обозначим многочлены и величины: $P_1(x)=x,P_{n+1}(x)=P_n^2(x)-1, \ и \ x_1=0,x_{n+1}=\sqrt{1+x_n}$.
Тогда многочлен $P_n(x)$ имеет ровно n действительных корней и они задаются как: $ \pm x_n, \pm x_{n-2}, \pm x_{n-4},\dots $. Ясно, что предел этой последовательности чисел равен: $\frac{1+\sqrt 5}{2}$
Но эти выражения детские игры и не имеют никакого отношения к исходной задаче.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 21:23 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Вообще то я придумал выражение для исходной задачи вид непрерывной дроби, но дает или конечное выражение не знаю.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.03.2006, 19:34 


12/05/05
60
Baku
Интерестное какое же это представление?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.03.2006, 19:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/05
695
Ярославль
В теории Галуа: Корни уравнения выражаются в радикалах, когда группа Галуа,
действующая на них, разрешима.

К уравнениям бесконечной степени: $a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n+\ldots=0$
- это тоже относится?
Прочитал в Мат. Энц-ии статью про топологические группы Галуа
(мало чего понял, что-то там про топологию Крулля),
это имеет какое-нибудь отношение к бесконечным группам Галуа?
А существуют Фрактальные группы - группы симметрии фракталов?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.03.2006, 00:24 


24/03/06
1
ой

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.03.2006, 07:57 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Только $f^2(x)=x+f(x+1)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 44 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group