прикольная задачка

[Phoenix]

http://mathworld.wolfram.com/NestedRadicalConstant.html
http://assets.cambridge.org/052181/8052 ... 8052ws.pdf

No closed-form expression is known for this constant

[Vassil]

Тема пока исчерпна после предидущего сообщения (до нахождении аналитического решения).
Можете посмотреть мой вариант вычислений

http://rapidshare.de/files/10773245/vlo ... i.xls.html

На первом листе табличка, вычисляющая первые 28 вложенные квадратные корни.
Почему 28?
Даже если заменить последное число 28 максимальним по спесификации Экселя числом
9.9999999999999Е+307, то как видно из второго листа, результат не меняется.

А из третьего листа видно, что достаточны 18 вложенных квадратных корней, чтобы ответ стабилизировался на том же уровне.

[4arodej]

Мне почему-то кажется, что затея с рек. соотношениями - гиблая! Ведь если они есть, то наше число (А это вещественное число - предел монотонно возрастающей и ограниченной последовательности) алгебраическое. Скорее всего это не так, а трансцендентное. Но доказать пока я это не могу. Итак, если доказать алгебраичность, то рек. соотн. есть; если доказать трансцендентность - то нет в принципе!

[4arodej]

Аналогично можно спросить и о вычислении числа $\sqrt{1!\cdot\sqrt{2!\cdot\sqrt{3!\cdot\sqrt{\ldots}}}}$. Друзья! Может кто-то имеет общий метод? Расскажите!

[Борис Лейкин]

Вот такую я решил (вернее догадался ):
$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}} = x$

$x = \phi = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$,
следовательно:
$x(n+2) = x(n+1)+x(n)$ (нет? )
или:
$x(n+1)=\dfrac{x(n)+1}{x(n)}$ (тоже )


Такую формулу с вложенными радикалами можно, ведь, представить как алгебрическое уравнение
бесконечной степени?
$(((x^2-1)^2-1)^2-1)^2+\ldots=0$
А существует теория решения таких уравнений?
$a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots\+a_n x^n+\ldots=0$

[незваный гость]

Борис Лейкин писал(а):

Вот такую я решил (вернее догадался ):
$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}} = x$

"Мир устроен просто -- счастье до утра лишь." Это многоточие можно определить только одним способом, а именно, как предел последовательности из $n$ радикалов (которую мы ничтоже сумняшеся обозначим как $x_n$). Тогда, вестимо, и рекурентное соотношение $x_n = \sqrt{1+x_{n-1}}$ появляется. Последовательность возрастает и ограничена, из чего вывод следует, что и конечный предел существует. А посему (и по непрерывности функции $f(u)=\sqrt{1+u}$) имеем для предела уравнение $x = \sqrt{1+x}$. Оно то и дает знакомый Вам корень.

Я не уверен, но может быть, Ваше замечание из серии темы "Колмогорова-Фоменко". Неформальная запись с многоточием должжна быть формализована, и тогда бесконечно-степенные уравнения исчезают. Впрочем, результатом формализации может оказаться и ряд, и тогда изучают свойства функционального ряда. Я думаю, трудность исходной задачи темы о пределе $\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{4+\ldots}}}}$ не в формализации, а в том, что не видно никакой связи между элементами последовательности в стандартной формализации.

[Dan_Te]

А к чему вы Фоменко упомянули? =))

[незваный гость]

Dan_Te писал(а):

А к чему вы Фоменко упомянули? =))

Виноват-с. Фомин-с. Обещаю исправиться.

[Leo]

ответ господину(же) 4arodej на опасение "Мне почему-то кажется, что затея с рек. соотношениями - гиблая!".

Попробуйте n + A_n = A_{n-1}^2 [*].

Для n=1: 1 + A_1 = A_0^2 ==> A_0 = \sqrt{1 + A_1} [1]
Для n=2: 2 + A_2 = A_1^2.
Подставим выражение для A_1 = \sqrt{2 + A_2} в формулу [1], тогда получим
A_0 = \sqrt{1 + \sqrt{2 + A_2}.
Продолжая этот процесс бесконечное число раз, получим искомое выражение:
A_0 = \sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+...}}}.
Задача заключается в нахождении A_0.

Легко заметить что A_0 < A_1 < ... < A_n, т.е.
A_n - A_{n-1} > 0 [2].
Добавим и вычтем A_{n-1} в левой части [*], т.е.
(A_n - A_{n-1}) + A_{n-1} + n = A_{n-1}^2.

Учитывая неравенство [2], получим оценку снизу для A_{n-1}.
A_{n-1}^2 - A_{n-1} - n > 0.
Из этого следует A_{n-1} > \frac 1 2 + \sqrt { \frac 1 4 + n}.

Оценку сверху можно получить если рассмотреть следующее выражение:
F(x) = \sqrt{x + \sqrt{x^2 + \sqrt{x^4 +\sqrt{x^8 + ... }}}}

Можно увидеть что при x=\sqrt2 это выражение больше A_0, т.к.
F(\sqrt2) = \sqrt{\sqrt2 + \sqrt{2 + \sqrt{4 + \sqrt{8 + ...}}}} > \sqrt{1 + \sqrt {2 + \sqrt{3}}} ...
Каждый элемент левой части, за исключением второго, больше соответствуюшего элемента правой. Второй элемент равен 2 с обеих сторон.

С другой стороны, F(x) = \sqrt{x} * \frac{1 +\sqrt5} 2, т.к.
F(x) = \sqrt{x} * \sqrt{1+ \sqrt{1 + \sqrt{1 +...}}}, т.к. x "вылезает" из-под корня, при этом его степень уменьшается вдвое.

Рассматривая А_1, A_2, A_3, можно последовательно улучшать оценки.

[незваный гость]

Leo писал(а):

Для n=1: 1 + A(1) = A(0)^2 =>
A(0) = sqrt(1 + A(1)) [1]
Подставим выражение для A(1) = sqrt( 2 + A(2)) в формулу [1], тогда получим
A(0) = sqrt(1 + sqrt(2 + A(2)) [2].
Продолжая этот процесс, получим искомое выражение:
A(0) = sqrt(1+sqrt(2+sqrt(3+...).

Мне почему-то кажется, что это разные A(0) -- то есть, их следовало бы обозначать $A_n(0)$

[Leo]

это тот же A_0.
Сделайте указанные подстановки и убедитесь.

Приведу пример:

Пусть B_n- арифметическая прогрессия, т.е.
B_n = B_{n-1} + d, или, что то же самое: B_{n-1} = B_n - d.

Очевидно, B_{n-2} = B_n - 2d.
Продолжая этот процесс n-2 раз, получим:
B_0 = B_n - dn.

Как по-вашему стоит обозначить B_0 ?
Не думаю что $B_n(0) - правильное обозначение.

Надеюсь Вы видите аналогию с A_0 из A_n + n = A_{n-1}^2.

[Борис Лейкин]

$(((x^2-1)^2-1)^2-1)^2+\ldots=0$

Множество решений этого уравнения представляет фрактальную кривую в комплексной плоскости.
А можно её как-нибудь нарисовать, например, с помощью программы генерации фракталов.

[Борис Лейкин]

незванный гость писал(а):

:evil:"Мир устроен просто -- счастье до утра лишь."

И действительно, всё просто:
Вот как выглядит, оказывается множество решений этого уравнения
$(((x^2-1)^2-1)^2-1)^2+\ldots=0$


Интересно, как же выглядит множество решений вот этого?:
$(((x^2-1)^2-2)^2-3)^2-4)^2+\ldots=0$

[Someone]

Борис Лейкин писал(а):

$(((x^2-1)^2-1)^2-1)^2+\ldots=0$

Множество решений этого уравнения представляет фрактальную кривую в комплексной плоскости.

А в каком смысле нужно понимать левую часть этого уравнения?

[незваный гость]

Предполагаю, что традиционно -- $f_1(x) = x^2-1$, $f_{n+1}(x) = f_1(f_n(x)) = f_n(f_1(x))$. Тогда имеем $\{ x: f_n(x) \to 0\}$. Называть ли их корнями -- другой вопрос. Хотя бы потому, что $f_n(0) = 0$ или $1$ для четных и нечетных $n$, соответственно.