2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Вопрос по уравнению Шредингера (литература)
Сообщение27.10.2014, 13:24 


25/12/11
146
Munin в сообщении #923240 писал(а):
Fafner в сообщении #923137 писал(а):
там мнимая часть сокращаетя, вручную проверил сам

Не покажете ли?

$ j_1=\frac {i \hbar} {2m} (\psi^* \nabla \psi -\psi \nabla \psi^*);$
$\psi_1=(A_1+iB_1)e^{i\lambda x} +(A_2 +iB_2)e^{-i\lambda x};$
$\psi_{1} ^{*}= (A_1-iB_1)e^{-i\lambda x} +(A_2 -iB_2)e^{i\lambda x};$
$\nabla \psi_1=i\lambda(A_1+iB_1)e^{i\lambda x} -i\lambda(A_2 +iB_2)e^{-i\lambda x};$
$\nabla \psi_1^*=-i\lambda(A_1-iB_1)e^{-i\lambda x} +i\lambda(A_2 -iB_2)e^{i\lambda x};$

$j_1=\frac {i \hbar} {2m} \bigl [ \bigl ( (A_1-iB_1)e^{-i\lambda x} +(A_2-iB_2)e^{i\lambda x} )(i\lambda(A_1+iB_1)e^{i\lambda x}-i\lambda(A_2+iB_2)e^{-i\lambda x} \bigr ) - \bigl (((A_1+iB_1)e^{i\lambda x}+(A_2 +iB_2)e^{-i\lambda x})(-i\lambda(A_1-iB_1)e^{-i\lambda x} +i\lambda(A_2 -iB_2)e^{i\lambda x})\bigr )\bigr];$

$j_1= \frac {i \hbar} {2m} \bigr[ i\lambda (A_1^2+B_1^2) -i\lambda(A_1+iB_1)(A_2 -iB_2)e^{-2i\lambda x}+i\lambda(A_1+iB_1)(A_2 -iB_2)e^{2i\lambda x}-i\lambda(A_2^2+B_2^2) +i\lambda(A_1^2+B_1^2) +i\lambda(A_1+iB_1)(A_2 -iB_2)e^{-2i\lambda x}-i\lambda(A_1+iB_1)(A_2 -iB_2)e^{2i\lambda x}\bigr]= \frac {\lambda \hbar} {m}  (A_1^2+B_1^2-A_2^2-B_2^2).$

(Оффтоп)

Почему формулы не идут в полную строчку, можете пожалуста подсказать?


-- 27.10.2014, 13:18 --

Munin в сообщении #923240 писал(а):
Смутная идея такова. Равенство токов вероятности игнорирует фазу производной. Для сшивки в. ф. в одномерном уШ применяются условия и на саму в. ф., и на её производную, оба комплексные. Но для сшивки в вершине графа, можно применить только физически оправданное условие равенства токов, которое только частично выполняет роль комплексного условия на производные. Можно либо оставить часть констант свободными, либо применять какое-то более полное условие (мне даже не ясно, какое).

А впрочем, подсказка про ТЭИ. Берём импульс, это $\hat{p}=-i\hbar\partial/\partial x,$ и приравниваем... а вот тут нам нужна непредусмотренная информация, под каким углом "сходятся" рёбра графа в вершине. Допустим, это углы $\alpha$ и $\beta.$ Тогда имеем два уравнения:
$$\begin{cases}p_{I}+p_{II}\cos\alpha+p_{III}\cos\beta=0\\p_{II}\sin\alpha+p_{III}\sin\beta=0,\end{cases}$$ где $p_{\ldots}$ - "местное значение" импульса, $\psi_{\ldots}^*\hat{p}\psi_{\ldots}^{\vphantom{*}},$ на конце соответствующего ребра. Итого, 4 действительных уравнения, и 2 новых действительных неизвестных. Они заменяют собой бывшее уравнение на равенство токов вероятности. Правда, мне не нравится, что $\alpha$ и $\beta,$ вроде как, можно определить из уравнений, в которых они должны служить независимыми параметрами.

Энергию использовать не будем: она, вроде, следует из амплитуд и их потоков. Хотя, может быть, на языке энергии можно переписать те равенства, что уже есть.

В одномерном случае, разве будет разница под какими углами "сходяться" ребра в вершине? Ведь нету "плоскости", на которой ребра образуют угол.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по уравнению Шредингера (литература)
Сообщение27.10.2014, 14:29 


25/12/11
146
Цитата:
В одномерном случае, разве будет разница под какими углами "сходяться" ребра в вершине? Ведь нету "плоскости", на которой ребра образуют угол.
Цитата:
Энергию использовать не будем: она, вроде, следует из амплитуд и их потоков. Хотя, может быть, на языке энергии можно переписать те равенства, что уже есть.


Пришла в голову мысль, что б выразить напряженость электрического поля $\bf E=-\nabla \varphi$. А отсюда, как то выразить потенциал (какая то аналогия с потенциалом для простого стержня), что б потом иметь выражение для $\bf E$, $W=\frac {c \bf E^2} {8\pi} $. Но что это может дать, не очень понимаю - просто что то в голову пришло.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по уравнению Шредингера (литература)
Сообщение27.10.2014, 18:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/06/20
72408
Fafner в сообщении #923451 писал(а):
Почему формулы не идут в полную строчку, можете пожалуста подсказать?

На самом деле, форум изображает формулы так:
1. Из текста сообщения выделяется отдельная формула, ограниченная долларами или тегом math.
2. Она скармливается программе LaTeX как отдельный документ.
3. LaTeX печатает этот документ как изображение страницы текста, с заданной стандартной шириной страницы, полями, абзацами и т. д.
4. Это изображение "обрезается" до только той области, которая не имеет белого цвета, конвертируется в PNG, добавляется прозрачность, и получившееся изображение размещается на веб-сервере. На странице форума оно вставляется в текст так же, как и изображение, с помощью html-тега img.

С длинными формулами происходит одно из двух.
1 доллар. Такие формулы LaTeX считает "встроенными в текст", и умеет их переносить между строчками - правда, по американским типографским правилам (например, не умеет повторять знаков операции в начале следующей строки; это можно изменить, но на форумном LaTeX этого не сделано). В результате, такая формула формирует "абзац" из нескольких строк, шириной в страницу печатного текста, с абзацным отступом вначале. Этот "абзац" бывает только в виде готовой картинки, и не умеет подстраиваться под ширину окна вашего броузера, ни растягивать, ни сокращать строки, ни переформатировать их.
2 доллара. Такие формулы LaTeX считает "выключными", между абзацами, и считает, что не должен их переносить, а если формула слишком длинна - выводит её как есть, пусть даже с выходом за пределы полей страницы печатного текста. Мол, "автор сам лучше знает, что делает". Единственное, что LaTeX себе позволяет для спасения ситуации - немножко сжимает формулу по вертикали за счёт пробелов. Результат, конечно, тоже готовая картинка, которая ни подо что не подстраивается.

Выводы:
- получить строки длиннее, чем "страница печатного текста с точки зрения LaTeX", нельзя, да и незачем. Они достаточно короткие, вот были бы длинными - не всем бы это было удобно.
- длинные формулы надо разбивать на строчки самому, руками. Можно вначале набрать формулу, потом "Предпросмотр", и посмотреть, где её делит на части LaTeX, а потом переразбить самостоятельно, набрав её как несколько формул, или сгруппировав её с помощью окружений gathered, aligned, multiline, split, array (не рекомендуется неудачная команда eqnarray, упоминаемая в некоторых руководствах).

Fafner в сообщении #923451 писал(а):
В одномерном случае, разве будет разница под какими углами "сходяться" ребра в вершине? Ведь нету "плоскости", на которой ребра образуют угол.

Я записал самое общее соотношение между импульсами, какое смог придумать. Если выбирать какое-то более частное, то оно будет означать приравнивание, скажем, $\alpha=\pi$ или $\alpha=\beta.$

Три вектора всегда лежат в плоскости, поэтому для трёх векторов достаточно двух плоских углов. Четыре вектора, например, всегда лежат в пространстве, так что для четырёх векторов в самом общем виде необходимо и достаточно пять углов. И так далее (не стоит бояться, что полезут многомерные пространства, это всего лишь способ записи абстрактных соотношений в вершине графа).

Fafner в сообщении #923470 писал(а):
Пришла в голову мысль, что б выразить напряженость электрического поля $\bf E=-\nabla \varphi$.

Не путайте электрические поля и шрёдингеровские волновые функции. Они подчиняются разным уравнениям, и энергии-импульсы для них тоже имеют разные выражения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по уравнению Шредингера (литература)
Сообщение28.10.2014, 08:35 


25/12/11
146
Munin, спасибо за разяснение по поводу длины формулы, буду знать теперь.

Munin в сообщении #923566 писал(а):
Fafner в сообщении #923451 писал(а):
В одномерном случае, разве будет разница под какими углами "сходяться" ребра в вершине? Ведь нету "плоскости", на которой ребра образуют угол.

Я записал самое общее соотношение между импульсами, какое смог придумать. Если выбирать какое-то более частное, то оно будет означать приравнивание, скажем, $\alpha=\pi$ или $\alpha=\beta.$

Три вектора всегда лежат в плоскости, поэтому для трёх векторов достаточно двух плоских углов. Четыре вектора, например, всегда лежат в пространстве, так что для четырёх векторов в самом общем виде необходимо и достаточно пять углов. И так далее (не стоит бояться, что полезут многомерные пространства, это всего лишь способ записи абстрактных соотношений в вершине графа).


Как 3 вектора всегда могут лежать в плоскости? Например орты декартовой СК, не лежат в 1 плоскости - но их три.
Цитата:
И так далее (не стоит бояться, что полезут многомерные пространства, это всего лишь способ записи абстрактных соотношений в вершине графа).

Не могу понять, почему это очевидно. Что мешает трем векторам лежать в пространстве, а не плоскости? (даже с учетом того, что они направлены трем по ребрам некоторого графа и имеют начало\конец в 1 точке)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по уравнению Шредингера (литература)
Сообщение28.10.2014, 18:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/06/20
72408
Fafner в сообщении #923722 писал(а):
Как 3 вектора всегда могут лежать в плоскости? Например орты декартовой СК, не лежат в 1 плоскости - но их три.

Ха. Точно, я сгорбил. Тогда надо три угла и три уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по уравнению Шредингера (литература)
Сообщение31.10.2014, 23:33 


25/12/11
146
Munin в сообщении #923240 писал(а):
Смутная идея такова. Равенство токов вероятности игнорирует фазу производной. Для сшивки в. ф. в одномерном уШ применяются условия и на саму в. ф., и на её производную, оба комплексные. Но для сшивки в вершине графа, можно применить только физически оправданное условие равенства токов, которое только частично выполняет роль комплексного условия на производные. Можно либо оставить часть констант свободными, либо применять какое-то более полное условие (мне даже не ясно, какое).

А впрочем, подсказка про ТЭИ. Берём импульс, это $\hat{p}=-i\hbar\partial/\partial x,$ и приравниваем... а вот тут нам нужна непредусмотренная информация, под каким углом "сходятся" рёбра графа в вершине. Допустим, это углы $\alpha$ и $\beta.$ Тогда имеем два уравнения:
$$\begin{cases}p_{I}+p_{II}\cos\alpha+p_{III}\cos\beta=0\\p_{II}\sin\alpha+p_{III}\sin\beta=0,\end{cases}$$ где $p_{\ldots}$ - "местное значение" импульса, $\psi_{\ldots}^*\hat{p}\psi_{\ldots}^{\vphantom{*}},$ на конце соответствующего ребра. Итого, 4 действительных уравнения, и 2 новых действительных неизвестных. Они заменяют собой бывшее уравнение на равенство токов вероятности. Правда, мне не нравится, что $\alpha$ и $\beta,$ вроде как, можно определить из уравнений, в которых они должны служить независимыми параметрами.


Долго не отвечал, думал.
Не совсем понятно, что такое углы $\alpha$ и $\beta$. Сегодня с одногрупницей поговорили (ей преподаватель дал ту же самую задачу), она вроде помогла уяснить, что впринципе углами можна задавать однозначно положение точек в зонах 2 и 3 (для зоны 2 угол например $\alpha$, для зоны 3 $\beta$), где вершина угла будет находится в точке $a$ или $b$. Но счас что то подумал, не все хорошо получается... Ведь случай одномерный. Введение угла для фиксирования (задания) координаты на части координатной оси - это означает дополнительную размерность. Или нет?

Цитата:
Энергию использовать не будем: она, вроде, следует из амплитуд и их потоков. Хотя, может быть, на языке энергии можно переписать те равенства, что уже есть.

Что вы имеете ввиду?

-- 31.10.2014, 22:35 --

Munin в сообщении #923816 писал(а):
Fafner в сообщении #923722 писал(а):
Как 3 вектора всегда могут лежать в плоскости? Например орты декартовой СК, не лежат в 1 плоскости - но их три.

Ха. Точно, я сгорбил. Тогда надо три угла и три уравнения.

А откуда взять третий угол? И не совсем понятно, откуда\куда\как его приложить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по уравнению Шредингера (литература)
Сообщение01.11.2014, 00:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/06/20
72408
Fafner в сообщении #924901 писал(а):
Ведь случай одномерный. Введение угла для фиксирования (задания) координаты на части координатной оси - это означает дополнительную размерность. Или нет?

Ну да, углы здесь подразумевают "стык проводов" не одномерного, а двумерного типа.

Fafner в сообщении #924901 писал(а):
А откуда взять третий угол? И не совсем понятно, откуда\куда\как его приложить.

А, нет, углов всё-таки два. Потому что если взять три (третий - между векторами $\vec{p}_{II}$ и $\vec{p}_{III}$) - то в проекции на некоторую ось сохранение импульса будет невозможно: все три вектора импульса будут направлены в одну сторону.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по уравнению Шредингера (литература)
Сообщение01.11.2014, 07:35 


25/12/11
146
Munin в сообщении #924940 писал(а):
Fafner в сообщении #924901 писал(а):
Ведь случай одномерный. Введение угла для фиксирования (задания) координаты на части координатной оси - это означает дополнительную размерность. Или нет?

Ну да, углы здесь подразумевают "стык проводов" не одномерного, а двумерного типа.


это разве не будет нарушать условие одномерности задачи? Так понимаю, что ее суть и состоит в особом виде оси координат (которая хоть и раздаивается, но все равно одна - без плоскости, в которой лежит)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по уравнению Шредингера (литература)
Сообщение01.11.2014, 08:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/06/20
72408
Fafner в сообщении #924987 писал(а):
это разве не будет нарушать условие одномерности задачи?

Ну это будет "вымышленная неодномерность": уравнения Шрёдингера всё равно везде одномерные, а по сути, мы всего лишь от балды задаём какие-то условия сшивки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по уравнению Шредингера (литература)
Сообщение01.11.2014, 13:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5836
Обычно ни про какие углы в условиях сшивки не говорят. Граф -- чисто одномерная структура, он никуда не вложен, и описывается только длинами рёбер и комбинаторной структурой. Далее, мы рассматриваем уравнение Шрёдингера, но, поскольку ситуация стационарная, можно говорить об операторе Шрёдингера $-\frac{d^2}{dx^2}+V$, где первое слагаемое -- производная по координате вдоль ребра. Пусть для простоты $V=0$. Тогда на каждом отрезке это оператор второй производной (пока что действующий на функции, носители которых отделены от вершин).

Теперь что происходит в вершинах. Нам нужно, чтобы оператор был самосопряжённым. Для начала предлагается разобраться с оператором на отрезке $[0,1]$: какие граничные условия можно ставить, чтобы оператор $-\frac{d^2}{dx^2}$ был самосопряжённым. Например, можно Дирихле или Неймана. Можно описать все возможные краевые условия (соответствующие самосопряжённым расширениям оператора), там будут, например, ещё периодические и всякие типа $u'(0)+\sigma_0 u(0)=0$, $u'(1)+\sigma_1 u(1)=1$.

Самое распространенное условие склейки на графе: функция непрерывна в вершине, и сумма всех производных равна нулю (правило Кирхгофа). Здесь это описано более полно.

С потенциалом всё то же самое, на условия склейки он не влияет (по крайней мере если он ограничен).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по уравнению Шредингера (литература)
Сообщение01.11.2014, 13:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9216
g______d в сообщении #925046 писал(а):
сумма всех производных равна нулю (правило Кирхгофа)

Или, другими словами, сколько вероятности втекло, столько и вытекло.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по уравнению Шредингера (литература)
Сообщение01.11.2014, 17:08 


25/12/11
146
g______d
Есть вопросы, но пока не буду их ставить - возможно они пропадут сами после прочтения обзора, который Вы дали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по уравнению Шредингера (литература)
Сообщение01.11.2014, 22:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/06/20
72408
g______d в сообщении #925046 писал(а):
сумма всех производных равна нулю (правило Кирхгофа)
Утундрий в сообщении #925059 писал(а):
Или, другими словами, сколько вероятности втекло, столько и вытекло.

Вот на разности между этими вещами мы и погорели. Производные комплексные, а вероятность действительная.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 43 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group