Вопрос по уравнению Шредингера (литература)

[g______d]

Утундрий в сообщении #916008 писал(а):

Вы издеваетесь, что ли?

Я не знаю, хорошо ли сформулировал предложение, но заниматься серьезной и известной темой полностью самостоятельно или только с помощью интернета редко кончается чем-то хорошим.

[Red_Herring]

Разумеется, всякие рассеивания происходят на вершинах графа. Недавно я видел работы ( Berkolaiko & Co) где есть еще магнитное поле (разумеется, в нормальном одномерном Шрёдингере векторный потенциал можно убрать, но если у графа есть замкнутые контуры, то это не так, хотя напряженность поля всегда $0$; поэтому возникает эффект Агаронова-Бома, хотя авторы его так не называют, скорее всего, по незнанию).

[Утундрий]

g______d в сообщении #916013 писал(а):

заниматься серьезной и известной темой полностью самостоятельно или только с помощью интернета редко кончается чем-то хорошим.

Просто, чтобы не тратить времени. Вам никогда не удастся убедить меня в том, что думать самому вредно.

Red_Herring в сообщении #916014 писал(а):

возникает эффект Агаронова-Бома, хотя авторы его так не называют, скорее всего, по незнанию

Ай-ай-ай! Нужно срочно аннулировать работы этих авторов. Пусть сначала изучат всё, что было наработано по данной теме за последние 42 тыс. лет, а потом уж лезут со своими нововведениями.

[g______d]

Утундрий в сообщении #916016 писал(а):

Просто, чтобы не тратить времени. Вам никогда не удастся убедить меня в том, что думать самому вредно.

Вы слово "только" нигде не пропустили?

-- Пн, 06 окт 2014 18:18:59 --

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #916014 писал(а):

Разумеется, всякие рассеивания происходят на вершинах графа. Недавно я видел работы ( Berkolaiko & Co) где есть еще магнитное поле (разумеется, в нормальном одномерном Шрёдингере векторный потенциал можно убрать, но если у графа есть замкнутые контуры, то это не так, хотя напряженность поля всегда $0$; поэтому возникает эффект Агаронова-Бома, хотя авторы его так не называют, скорее всего, по незнанию).

Ну вроде бы это довольно давно изучается, например, http://arxiv.org/pdf/math-ph/0212001v2.pdf

Почему не произносят фамилии Ааронова и Бома — не знаю; впрочем, мне казалось, что в устных докладах они обычно упоминаются.

[Утундрий]

g______d в сообщении #916018 писал(а):

слово "только" нигде не пропустили?

Нет. Не пропустил.

[g______d]

Утундрий в сообщении #916028 писал(а):

Нет. Не пропустил.

Тогда Ваше замечание не по делу.

[Munin]

Fafner в сообщении #915953 писал(а):

Прошел (ну как прошел, это громко сказано - точнее прочитал) 9 лекций. Извиняюся, что долго, сложновато было. Сегодня ехал в электричке - представил, а что если любой из окружения захочет услышать "Что такое квантовый граф?", что смогу ему рассказать. И понял, что кроме обьяснения на "пальцах" что такое граф, и смутных слов (которые наверняка ему будут не понятны, тоесть принесут почти нулевую пользу слушателю) которые запомнились о квантовых графах - ничего не смогу рассказать. Тоесть, пока итог - не намного более, чем 0.

Чтобы такого избежать, во время чтения учебников делайте выкладки за автором, выполняйте упражнения и задачи. Тогда запомнится намного больше, и в голове всё увяжется в систему.

С тем курсом, который прочитали, - видимо, придётся перечитать, уже с таким серьёзным подходом. Но по второму разу это легче.

Fafner в сообщении #915953 писал(а):

Это задание успешно провалил :(

Да ладно, это шутка была, от вашего руководителя берите задания, а не от меня. Если будете брать задания (сравнительно крупные) от нескольких человек, то не потянете всё одновременно и в срок.

-- 07.10.2014 18:04:38 --

Red_Herring в сообщении #916014 писал(а):

поэтому возникает эффект Агаронова-Бома

По-русски всегда пишут "Ааронов", на случай, если кто-то вздумает гуглить. По-английски Aharonov и Bohm.

[Fafner]

Решил идти вариантом 3, со стороны потока вероятности.
$\xymatrix{ \ar@{-} [r] ^ {\lefteqn {\rightarrow} \raisebox {\height} {\MakeUppercase {\romannumeral 1}}} _\leftarrow & {\underset {a} {\bullet}} \ar @/^2pc/ @{-}[rr] ^ {\lefteqn {\rightarrow} \raisebox {\height} {\MakeUppercase {\romannumeral 2}}} _\leftarrow \ar @/_2pc/ @{-}[rr] ^\rightarrow _ { \lefteqn {\leftarrow} \raisebox {\height} {\MakeUppercase {\romannumeral 3}}} & & {\underset {b} {\bullet}} \ar @{-} [r] ^ {\lefteqn {\rightarrow} \raisebox {\height} {\MakeUppercase {\romannumeral 4}}} & & } $

Стрелки $\rightarrow$ и $\leftarrow$ обозначают направление тока вероятнотности (или правильней говорить волны?) (часть его отражаеся в точках $a$ и $b$, а в зоне ${\MakeUppercase {\romannumeral 4}}$ отражения уже нету).
Ставится задача на стационарное уравнение Шредингера отдельно в каждой зоне (будет отдельно 4 решения):

$\psi_I=C_{1} e^{i {\lambda} x} +C_{2}e^{-i{\lambda} x};$
$\psi_{II}=C_{3} e^{i {\lambda} x} +C_{4}e^{-i{\lambda} x};$
$\psi_{III}=C_{5} e^{i {\lambda} x} +C_{6}e^{-i{\lambda} x};$
$\psi_{IV}=C_{7} e^{i {\lambda} x} +C_{8}e^{-i{\lambda} x}.$

$C_1$ можна положить равным единице, $C_{8}$ можна занулить (в четвертой зоне не будет отраженой волны). В итоге, будем иметь следуйщие решения для волновых функций:

$\psi_I=e^{i {\lambda} x} +C_{2}e^{-i{\lambda} x};$
$\psi_{II}=C_{3} e^{i {\lambda} x} +C_{4}e^{-i{\lambda} x};$
$\psi_{III}=C_{5} e^{i {\lambda} x} +C_{6}e^{-i{\lambda} x};$
$\psi_{IV}=C_{7} e^{i {\lambda} x}.$

Запишем условия склейки решений.
$\psi_I (a)=\psi_{II} (a);$
$\psi_{II} (a)=\psi_{III} (a);$
$\psi_{II} (b)=\psi_{III} (b);$
$\psi_{III} (a)=\psi_{IV} (a);$
$j_I +j_{II} +j_{III}=0;$
$j_{II} +j_{III} +j_{IV}=0.$

В итоге, имеется 10 уравнений (8 с граничными условиями для волновых функций и 2 с закона сохранения плотности потока вероятности) и 12 неизвестных констант (константы могут быть комплексными, тоесть $C_1 =a_{C_1} +ib_{C_1}, C_2=a_{C_2}+ib_{C_2}$ ).

Проблема - где взять еще 2 уравнения? Преподаватель дал подсказку, что можна использовать тензор энергии-импульса. Поскольку уравнение одномерно, то думаю что в ТЭИ будет только плотность энергии $W$ и компонента $T_{11}$, остальные будут 0. (в ЛЛ2, параграф 33, Тензор энергии-импульса ЭМП, написано, что ТЭИ можна привести к диагональному виду, когда векторы $\bf {B}$ и $\bf {E}$ будут или паралельны, или один из них будет 0.) У нас нету магнитного поля (как говорил выше Red_Herring, хотя возможно он имел ввиду другое), по этому плотность энергии будет $\frac {c}{8\pi} \bf E^2$, так? Если так, то тогда нужно это как то использовать для точек $a$ и $b$, что б получить еще 2 уравнения. (Плохо понимаю что такое тензор энергии-импульса, думаю нужно лучше его понять) Правильно ли, что плотность энергии в точке $b$ долна быть меньше, чем в точке $a$ (если судить по направлению "потока вероятности"\волны?)

-- 24.10.2014, 00:55 --

Утундрий в сообщении #915960 писал(а):

Погуглите "дивергентная форма уравнения" и найдите (лучше сами!) таковую для плотности вероятности $\left| \psi \right|^2 $.

Не совсем понял, что вы имеете ввиду. Гугл подсказал, что дивергентная форма уравнения - это когда все операторы которые входят в уравнения, есть симетричными. Тензор энергии-импульса симетричен. Но что именно нужно найти для плотности вероятности не могу понять :(

(Оффтоп)

Наверно это странно, что тема растягивается на столь долгое время. Что отметил - рисовать линии в $LaTeX$ довольно забавно, хоть и было долго разбираться)) Если подскажете, как можна поставить "$\MakeUppercase {\romannumeral 3}$ под стрелочкою (а не над) буду буду очень принателен, у меня не вышло (\depth не помогло).

[Утундрий]

Fafner в сообщении #922461 писал(а):

Гугл подсказал, что дивергентная форма уравнения - это когда все операторы которые входят в уравнения, есть симетричными.

Гм. Какой-то у вас неправильный Гугль...

[Munin]

Fafner в сообщении #922461 писал(а):

Стрелки $\rightarrow$ и $\leftarrow$ обозначают направление тока вероятнотности (или правильней говорить волны?)

"Волна вероятности" - это образное сравнение, не физический термин, не имеет чёткого смысла.
"Ток (поток) вероятности" - чёткий термин, имеющий другой смысл.

$$\mathbf{j}=\tfrac{i\hbar}{2m}(\Psi\nabla\Psi^*-\Psi^*\nabla\Psi).$$

Fafner в сообщении #922461 писал(а):

В итоге, имеется 10 уравнений (8 с граничными условиями для волновых функций и 2 с закона сохранения плотности потока вероятности) и 12 неизвестных констант (константы могут быть комплексными, тоесть $C_1 =a_{C_1} +ib_{C_1}, C_2=a_{C_2}+ib_{C_2}$ ).

Что-то вы здесь обсчитались. По-моему, у вас здесь 6 комплексных уравнений и 6 неизвестных констант. Если считать действительные, то 12 действительных уравнений (каждое комплексное уравнение есть два уравнения на действительную и мнимую часть), и 12 неизвестных действительных констант.

Гранусловия дополнительные ни для чего не пишутся, потому что они уже "реализованы" в ваших подстановках $C_1=1,\quad C_8=0.$

[Fafner]

Munin в сообщении #922651 писал(а):

Fafner в сообщении #922461 писал(а):

Стрелки $\rightarrow$ и $\leftarrow$ обозначают направление тока вероятнотности (или правильней говорить волны?)

"Волна вероятности" - это образное сравнение, не физический термин, не имеет чёткого смысла.
"Ток (поток) вероятности" - чёткий термин, имеющий другой смысл.

$$\mathbf{j}=\tfrac{i\hbar}{2m}(\Psi\nabla\Psi^*-\Psi^*\nabla\Psi).$$

Тогда, как правильно сказать? "Ток (поток) вероятности" что тогда означает, если у него другой смысл и употреблять его тут не верно?

Цитата:

Fafner в сообщении #922461 писал(а):

В итоге, имеется 10 уравнений (8 с граничными условиями для волновых функций и 2 с закона сохранения плотности потока вероятности) и 12 неизвестных констант (константы могут быть комплексными, тоесть $C_1 =a_{C_1} +ib_{C_1}, C_2=a_{C_2}+ib_{C_2}$ ).

Что-то вы здесь обсчитались. По-моему, у вас здесь 6 комплексных уравнений и 6 неизвестных констант. Если считать действительные, то 12 действительных уравнений (каждое комплексное уравнение есть два уравнения на действительную и мнимую часть), и 12 неизвестных действительных констант.

Гранусловия дополнительные ни для чего не пишутся, потому что они уже "реализованы" в ваших подстановках $C_1=1,\quad C_8=0.$

Сегодня проверю вручну, окуратно расписав на бумаге. Вроде там должно было 2 уравнения нехватать.

-- 24.10.2014, 21:40 --

Утундрий в сообщении #922462 писал(а):

Fafner в сообщении #922461 писал(а):

Гугл подсказал, что дивергентная форма уравнения - это когда все операторы которые входят в уравнения, есть симетричными.

Гм. Какой-то у вас неправильный Гугль...

Что это тогда, если не форма записи уравнения только через симетричные операторы? Сегодня спросил 4 преподавателей (у которых были пары), они сказали что сходу не знают, нужно читать контекст.

[Утундрий]

Fafner в сообщении #922712 писал(а):

Что это тогда, если не форма записи уравнения только через симетричные операторы? Сегодня спросил 4 преподавателей (у которых были пары), они сказали что сходу не знают, нужно читать контекст.

Ну, если целых четыре, то наверное в чём-то неправ всё-таки я Сходу не соображу, причём тут симметричные операторы. В моём понимании, которое я вам и транслировал, дивергентная форма ДУ это такая его запись, которая помимо самих уравнений содержит так же и соотношения на разрывах. Если речь идёт об уравнениях переноса, то потоки должны быть точными дивергенциями, откуда и название.

[Munin]

Fafner в сообщении #922712 писал(а):

Тогда, как правильно сказать? "Ток (поток) вероятности" что тогда означает

Вот это и означает, то, что я выписал. Одномерный вариант сами сообразите, надеюсь?

-- 25.10.2014 03:01:33 --

Fafner в сообщении #922712 писал(а):

Тогда, как правильно сказать?

Может, можно и со словом "ток вероятности" выразить вашу мысль, я не знаю. Для этого надо знать не только стандартный термин, но и вашу мысль достаточно чётко. А этого у меня нет.

[Fafner]

Munin в сообщении #922651 писал(а):

Fafner в сообщении #922461 писал(а):

В итоге, имеется 10 уравнений (8 с граничными условиями для волновых функций и 2 с закона сохранения плотности потока вероятности) и 12 неизвестных констант (константы могут быть комплексными, тоесть $C_1 =a_{C_1} +ib_{C_1}, C_2=a_{C_2}+ib_{C_2}$ ).

Что-то вы здесь обсчитались. По-моему, у вас здесь 6 комплексных уравнений и 6 неизвестных констант. Если считать действительные, то 12 действительных уравнений (каждое комплексное уравнение есть два уравнения на действительную и мнимую часть), и 12 неизвестных действительных констант.

Гранусловия дополнительные ни для чего не пишутся, потому что они уже "реализованы" в ваших подстановках $C_1=1,\quad C_8=0.$

Перепроверил. Все таки, 4 уравнения для волновых функций из комплексными константами дают 8 уравнений из действительными. 2 уравнения из комплексными константами для потоков вероятности - дают тоже 2 уравнения с действительынми константами (там мнимая часть сокращаетя, вручную проверил сам). 8+2=10. А констант 12. Тоесть, еще 2 уравнения все таки нужно найти.

-- 26.10.2014, 15:03 --

Утундрий в сообщении #922745 писал(а):

Fafner в сообщении #922712 писал(а):

Что это тогда, если не форма записи уравнения только через симетричные операторы? Сегодня спросил 4 преподавателей (у которых были пары), они сказали что сходу не знают, нужно читать контекст.

Ну, если целых четыре, то наверное в чём-то неправ всё-таки я Сходу не соображу, причём тут симметричные операторы. В моём понимании, которое я вам и транслировал, дивергентная форма ДУ это такая его запись, которая помимо самих уравнений содержит так же и соотношения на разрывах. Если речь идёт об уравнениях переноса, то потоки должны быть точными дивергенциями, откуда и название.

У нас есть соотношения для склейки на разрывах. Потоки - точные дивергенции, что это означает? Что нету производной плотности по времени (она равная 0)? (с уравнения непрерывности) Тоесть, нужно посчитать плотность вероятности и увидеть что производная по времени будет 0? Но ведь счас у нас уравнения Шредингера стационарное, волновая функция и так не зависит от времени.

[Munin]

Fafner в сообщении #923137 писал(а):

там мнимая часть сокращаетя, вручную проверил сам

Не покажете ли?

-- 26.10.2014 20:02:11 --

Впрочем... кажется, я смутно начинаю понимать, в чём тут дело. Действительно, две константы должны остаться свободными (как раз по числу вершин графа). Надо подождать g______d, пусть подскажет, как должны вести себя квантовые графы.

-- 26.10.2014 20:50:10 --

Смутная идея такова. Равенство токов вероятности игнорирует фазу производной. Для сшивки в. ф. в одномерном уШ применяются условия и на саму в. ф., и на её производную, оба комплексные. Но для сшивки в вершине графа, можно применить только физически оправданное условие равенства токов, которое только частично выполняет роль комплексного условия на производные. Можно либо оставить часть констант свободными, либо применять какое-то более полное условие (мне даже не ясно, какое).

А впрочем, подсказка про ТЭИ. Берём импульс, это $\hat{p}=-i\hbar\partial/\partial x,$ и приравниваем... а вот тут нам нужна непредусмотренная информация, под каким углом "сходятся" рёбра графа в вершине. Допустим, это углы $\alpha$ и $\beta.$ Тогда имеем два уравнения:

$$\begin{cases}p_{I}+p_{II}\cos\alpha+p_{III}\cos\beta=0\\p_{II}\sin\alpha+p_{III}\sin\beta=0,\end{cases}$$

где $p_{\ldots}$ - "местное значение" импульса, $\psi_{\ldots}^*\hat{p}\psi_{\ldots}^{\vphantom{*}},$ на конце соответствующего ребра. Итого, 4 действительных уравнения, и 2 новых действительных неизвестных. Они заменяют собой бывшее уравнение на равенство токов вероятности. Правда, мне не нравится, что $\alpha$ и $\beta,$ вроде как, можно определить из уравнений, в которых они должны служить независимыми параметрами.

Энергию использовать не будем: она, вроде, следует из амплитуд и их потоков. Хотя, может быть, на языке энергии можно переписать те равенства, что уже есть.