Вопрос по уравнению Шредингера (литература)

[Fafner]

Munin в сообщении #923240 писал(а):

Fafner в сообщении #923137 писал(а):

там мнимая часть сокращаетя, вручную проверил сам

Не покажете ли?

$ j_1=\frac {i \hbar} {2m} (\psi^* \nabla \psi -\psi \nabla \psi^*);$
$\psi_1=(A_1+iB_1)e^{i\lambda x} +(A_2 +iB_2)e^{-i\lambda x};$
$\psi_{1} ^{*}= (A_1-iB_1)e^{-i\lambda x} +(A_2 -iB_2)e^{i\lambda x};$
$\nabla \psi_1=i\lambda(A_1+iB_1)e^{i\lambda x} -i\lambda(A_2 +iB_2)e^{-i\lambda x};$
$\nabla \psi_1^*=-i\lambda(A_1-iB_1)e^{-i\lambda x} +i\lambda(A_2 -iB_2)e^{i\lambda x};$

$j_1=\frac {i \hbar} {2m} \bigl [ \bigl ( (A_1-iB_1)e^{-i\lambda x} +(A_2-iB_2)e^{i\lambda x} )(i\lambda(A_1+iB_1)e^{i\lambda x}-i\lambda(A_2+iB_2)e^{-i\lambda x} \bigr ) - \bigl (((A_1+iB_1)e^{i\lambda x}+(A_2 +iB_2)e^{-i\lambda x})(-i\lambda(A_1-iB_1)e^{-i\lambda x} +i\lambda(A_2 -iB_2)e^{i\lambda x})\bigr )\bigr];$

$j_1= \frac {i \hbar} {2m} \bigr[ i\lambda (A_1^2+B_1^2) -i\lambda(A_1+iB_1)(A_2 -iB_2)e^{-2i\lambda x}+i\lambda(A_1+iB_1)(A_2 -iB_2)e^{2i\lambda x}-i\lambda(A_2^2+B_2^2) +i\lambda(A_1^2+B_1^2) +i\lambda(A_1+iB_1)(A_2 -iB_2)e^{-2i\lambda x}-i\lambda(A_1+iB_1)(A_2 -iB_2)e^{2i\lambda x}\bigr]= \frac {\lambda \hbar} {m} (A_1^2+B_1^2-A_2^2-B_2^2).$

(Оффтоп)

Почему формулы не идут в полную строчку, можете пожалуста подсказать?

-- 27.10.2014, 13:18 --

Munin в сообщении #923240 писал(а):

Смутная идея такова. Равенство токов вероятности игнорирует фазу производной. Для сшивки в. ф. в одномерном уШ применяются условия и на саму в. ф., и на её производную, оба комплексные. Но для сшивки в вершине графа, можно применить только физически оправданное условие равенства токов, которое только частично выполняет роль комплексного условия на производные. Можно либо оставить часть констант свободными, либо применять какое-то более полное условие (мне даже не ясно, какое).

А впрочем, подсказка про ТЭИ. Берём импульс, это $\hat{p}=-i\hbar\partial/\partial x,$ и приравниваем... а вот тут нам нужна непредусмотренная информация, под каким углом "сходятся" рёбра графа в вершине. Допустим, это углы $\alpha$ и $\beta.$ Тогда имеем два уравнения:

$$\begin{cases}p_{I}+p_{II}\cos\alpha+p_{III}\cos\beta=0\\p_{II}\sin\alpha+p_{III}\sin\beta=0,\end{cases}$$

где $p_{\ldots}$ - "местное значение" импульса, $\psi_{\ldots}^*\hat{p}\psi_{\ldots}^{\vphantom{*}},$ на конце соответствующего ребра. Итого, 4 действительных уравнения, и 2 новых действительных неизвестных. Они заменяют собой бывшее уравнение на равенство токов вероятности. Правда, мне не нравится, что $\alpha$ и $\beta,$ вроде как, можно определить из уравнений, в которых они должны служить независимыми параметрами.

Энергию использовать не будем: она, вроде, следует из амплитуд и их потоков. Хотя, может быть, на языке энергии можно переписать те равенства, что уже есть.

В одномерном случае, разве будет разница под какими углами "сходяться" ребра в вершине? Ведь нету "плоскости", на которой ребра образуют угол.

[Fafner]

Цитата:

В одномерном случае, разве будет разница под какими углами "сходяться" ребра в вершине? Ведь нету "плоскости", на которой ребра образуют угол.

Цитата:

Энергию использовать не будем: она, вроде, следует из амплитуд и их потоков. Хотя, может быть, на языке энергии можно переписать те равенства, что уже есть.

Пришла в голову мысль, что б выразить напряженость электрического поля $\bf E=-\nabla \varphi$. А отсюда, как то выразить потенциал (какая то аналогия с потенциалом для простого стержня), что б потом иметь выражение для $\bf E$, $W=\frac {c \bf E^2} {8\pi} $. Но что это может дать, не очень понимаю - просто что то в голову пришло.

[Munin]

Fafner в сообщении #923451 писал(а):

Почему формулы не идут в полную строчку, можете пожалуста подсказать?

На самом деле, форум изображает формулы так:
1. Из текста сообщения выделяется отдельная формула, ограниченная долларами или тегом math.
2. Она скармливается программе LaTeX как отдельный документ.
3. LaTeX печатает этот документ как изображение страницы текста, с заданной стандартной шириной страницы, полями, абзацами и т. д.
4. Это изображение "обрезается" до только той области, которая не имеет белого цвета, конвертируется в PNG, добавляется прозрачность, и получившееся изображение размещается на веб-сервере. На странице форума оно вставляется в текст так же, как и изображение, с помощью html-тега img.

С длинными формулами происходит одно из двух.
1 доллар. Такие формулы LaTeX считает "встроенными в текст", и умеет их переносить между строчками - правда, по американским типографским правилам (например, не умеет повторять знаков операции в начале следующей строки; это можно изменить, но на форумном LaTeX этого не сделано). В результате, такая формула формирует "абзац" из нескольких строк, шириной в страницу печатного текста, с абзацным отступом вначале. Этот "абзац" бывает только в виде готовой картинки, и не умеет подстраиваться под ширину окна вашего броузера, ни растягивать, ни сокращать строки, ни переформатировать их.
2 доллара. Такие формулы LaTeX считает "выключными", между абзацами, и считает, что не должен их переносить, а если формула слишком длинна - выводит её как есть, пусть даже с выходом за пределы полей страницы печатного текста. Мол, "автор сам лучше знает, что делает". Единственное, что LaTeX себе позволяет для спасения ситуации - немножко сжимает формулу по вертикали за счёт пробелов. Результат, конечно, тоже готовая картинка, которая ни подо что не подстраивается.

Выводы:
- получить строки длиннее, чем "страница печатного текста с точки зрения LaTeX", нельзя, да и незачем. Они достаточно короткие, вот были бы длинными - не всем бы это было удобно.
- длинные формулы надо разбивать на строчки самому, руками. Можно вначале набрать формулу, потом "Предпросмотр", и посмотреть, где её делит на части LaTeX, а потом переразбить самостоятельно, набрав её как несколько формул, или сгруппировав её с помощью окружений gathered, aligned, multiline, split, array (не рекомендуется неудачная команда eqnarray, упоминаемая в некоторых руководствах).

Fafner в сообщении #923451 писал(а):

В одномерном случае, разве будет разница под какими углами "сходяться" ребра в вершине? Ведь нету "плоскости", на которой ребра образуют угол.

Я записал самое общее соотношение между импульсами, какое смог придумать. Если выбирать какое-то более частное, то оно будет означать приравнивание, скажем, $\alpha=\pi$ или $\alpha=\beta.$

Три вектора всегда лежат в плоскости, поэтому для трёх векторов достаточно двух плоских углов. Четыре вектора, например, всегда лежат в пространстве, так что для четырёх векторов в самом общем виде необходимо и достаточно пять углов. И так далее (не стоит бояться, что полезут многомерные пространства, это всего лишь способ записи абстрактных соотношений в вершине графа).

Fafner в сообщении #923470 писал(а):

Пришла в голову мысль, что б выразить напряженость электрического поля $\bf E=-\nabla \varphi$.

Не путайте электрические поля и шрёдингеровские волновые функции. Они подчиняются разным уравнениям, и энергии-импульсы для них тоже имеют разные выражения.

[Fafner]

Munin, спасибо за разяснение по поводу длины формулы, буду знать теперь.

Munin в сообщении #923566 писал(а):

Fafner в сообщении #923451 писал(а):

В одномерном случае, разве будет разница под какими углами "сходяться" ребра в вершине? Ведь нету "плоскости", на которой ребра образуют угол.

Я записал самое общее соотношение между импульсами, какое смог придумать. Если выбирать какое-то более частное, то оно будет означать приравнивание, скажем, $\alpha=\pi$ или $\alpha=\beta.$

Три вектора всегда лежат в плоскости, поэтому для трёх векторов достаточно двух плоских углов. Четыре вектора, например, всегда лежат в пространстве, так что для четырёх векторов в самом общем виде необходимо и достаточно пять углов. И так далее (не стоит бояться, что полезут многомерные пространства, это всего лишь способ записи абстрактных соотношений в вершине графа).

Как 3 вектора всегда могут лежать в плоскости? Например орты декартовой СК, не лежат в 1 плоскости - но их три.

Цитата:

И так далее (не стоит бояться, что полезут многомерные пространства, это всего лишь способ записи абстрактных соотношений в вершине графа).

Не могу понять, почему это очевидно. Что мешает трем векторам лежать в пространстве, а не плоскости? (даже с учетом того, что они направлены трем по ребрам некоторого графа и имеют начало\конец в 1 точке)

[Munin]

Fafner в сообщении #923722 писал(а):

Как 3 вектора всегда могут лежать в плоскости? Например орты декартовой СК, не лежат в 1 плоскости - но их три.

Ха. Точно, я сгорбил. Тогда надо три угла и три уравнения.

[Fafner]

Munin в сообщении #923240 писал(а):

Смутная идея такова. Равенство токов вероятности игнорирует фазу производной. Для сшивки в. ф. в одномерном уШ применяются условия и на саму в. ф., и на её производную, оба комплексные. Но для сшивки в вершине графа, можно применить только физически оправданное условие равенства токов, которое только частично выполняет роль комплексного условия на производные. Можно либо оставить часть констант свободными, либо применять какое-то более полное условие (мне даже не ясно, какое).

А впрочем, подсказка про ТЭИ. Берём импульс, это $\hat{p}=-i\hbar\partial/\partial x,$ и приравниваем... а вот тут нам нужна непредусмотренная информация, под каким углом "сходятся" рёбра графа в вершине. Допустим, это углы $\alpha$ и $\beta.$ Тогда имеем два уравнения:

$$\begin{cases}p_{I}+p_{II}\cos\alpha+p_{III}\cos\beta=0\\p_{II}\sin\alpha+p_{III}\sin\beta=0,\end{cases}$$

где $p_{\ldots}$ - "местное значение" импульса, $\psi_{\ldots}^*\hat{p}\psi_{\ldots}^{\vphantom{*}},$ на конце соответствующего ребра. Итого, 4 действительных уравнения, и 2 новых действительных неизвестных. Они заменяют собой бывшее уравнение на равенство токов вероятности. Правда, мне не нравится, что $\alpha$ и $\beta,$ вроде как, можно определить из уравнений, в которых они должны служить независимыми параметрами.

Долго не отвечал, думал.
Не совсем понятно, что такое углы $\alpha$ и $\beta$. Сегодня с одногрупницей поговорили (ей преподаватель дал ту же самую задачу), она вроде помогла уяснить, что впринципе углами можна задавать однозначно положение точек в зонах 2 и 3 (для зоны 2 угол например $\alpha$, для зоны 3 $\beta$), где вершина угла будет находится в точке $a$ или $b$. Но счас что то подумал, не все хорошо получается... Ведь случай одномерный. Введение угла для фиксирования (задания) координаты на части координатной оси - это означает дополнительную размерность. Или нет?

Цитата:

Энергию использовать не будем: она, вроде, следует из амплитуд и их потоков. Хотя, может быть, на языке энергии можно переписать те равенства, что уже есть.

Что вы имеете ввиду?

-- 31.10.2014, 22:35 --

Munin в сообщении #923816 писал(а):

Fafner в сообщении #923722 писал(а):

Как 3 вектора всегда могут лежать в плоскости? Например орты декартовой СК, не лежат в 1 плоскости - но их три.

Ха. Точно, я сгорбил. Тогда надо три угла и три уравнения.

А откуда взять третий угол? И не совсем понятно, откуда\куда\как его приложить.

[Munin]

Fafner в сообщении #924901 писал(а):

Ведь случай одномерный. Введение угла для фиксирования (задания) координаты на части координатной оси - это означает дополнительную размерность. Или нет?

Ну да, углы здесь подразумевают "стык проводов" не одномерного, а двумерного типа.

Fafner в сообщении #924901 писал(а):

А откуда взять третий угол? И не совсем понятно, откуда\куда\как его приложить.

А, нет, углов всё-таки два. Потому что если взять три (третий - между векторами $\vec{p}_{II}$ и $\vec{p}_{III}$) - то в проекции на некоторую ось сохранение импульса будет невозможно: все три вектора импульса будут направлены в одну сторону.

[Fafner]

Munin в сообщении #924940 писал(а):

Fafner в сообщении #924901 писал(а):

Ведь случай одномерный. Введение угла для фиксирования (задания) координаты на части координатной оси - это означает дополнительную размерность. Или нет?

Ну да, углы здесь подразумевают "стык проводов" не одномерного, а двумерного типа.

это разве не будет нарушать условие одномерности задачи? Так понимаю, что ее суть и состоит в особом виде оси координат (которая хоть и раздаивается, но все равно одна - без плоскости, в которой лежит)?

[Munin]

Fafner в сообщении #924987 писал(а):

это разве не будет нарушать условие одномерности задачи?

Ну это будет "вымышленная неодномерность": уравнения Шрёдингера всё равно везде одномерные, а по сути, мы всего лишь от балды задаём какие-то условия сшивки.

[g______d]

Обычно ни про какие углы в условиях сшивки не говорят. Граф -- чисто одномерная структура, он никуда не вложен, и описывается только длинами рёбер и комбинаторной структурой. Далее, мы рассматриваем уравнение Шрёдингера, но, поскольку ситуация стационарная, можно говорить об операторе Шрёдингера $-\frac{d^2}{dx^2}+V$, где первое слагаемое -- производная по координате вдоль ребра. Пусть для простоты $V=0$. Тогда на каждом отрезке это оператор второй производной (пока что действующий на функции, носители которых отделены от вершин).

Теперь что происходит в вершинах. Нам нужно, чтобы оператор был самосопряжённым. Для начала предлагается разобраться с оператором на отрезке $[0,1]$: какие граничные условия можно ставить, чтобы оператор $-\frac{d^2}{dx^2}$ был самосопряжённым. Например, можно Дирихле или Неймана. Можно описать все возможные краевые условия (соответствующие самосопряжённым расширениям оператора), там будут, например, ещё периодические и всякие типа $u'(0)+\sigma_0 u(0)=0$, $u'(1)+\sigma_1 u(1)=1$.

Самое распространенное условие склейки на графе: функция непрерывна в вершине, и сумма всех производных равна нулю (правило Кирхгофа). Здесь это описано более полно.

С потенциалом всё то же самое, на условия склейки он не влияет (по крайней мере если он ограничен).

[Утундрий]

g______d в сообщении #925046 писал(а):

сумма всех производных равна нулю (правило Кирхгофа)

Или, другими словами, сколько вероятности втекло, столько и вытекло.

[Fafner]

g______d
Есть вопросы, но пока не буду их ставить - возможно они пропадут сами после прочтения обзора, который Вы дали.

[Munin]

g______d в сообщении #925046 писал(а):

сумма всех производных равна нулю (правило Кирхгофа)

Утундрий в сообщении #925059 писал(а):

Или, другими словами, сколько вероятности втекло, столько и вытекло.

Вот на разности между этими вещами мы и погорели. Производные комплексные, а вероятность действительная.