Решил идти вариантом 3, со стороны потока вероятности.
![$\xymatrix{ \ar@{-} [r] ^ {\lefteqn {\rightarrow} \raisebox {\height} {\MakeUppercase {\romannumeral 1}}} _\leftarrow & {\underset {a} {\bullet}} \ar @/^2pc/ @{-}[rr] ^ {\lefteqn {\rightarrow} \raisebox {\height} {\MakeUppercase {\romannumeral 2}}} _\leftarrow \ar @/_2pc/ @{-}[rr] ^\rightarrow _ { \lefteqn {\leftarrow} \raisebox {\height} {\MakeUppercase {\romannumeral 3}}} & & {\underset {b} {\bullet}} \ar @{-} [r] ^ {\lefteqn {\rightarrow} \raisebox {\height} {\MakeUppercase {\romannumeral 4}}} & & }
$ $\xymatrix{ \ar@{-} [r] ^ {\lefteqn {\rightarrow} \raisebox {\height} {\MakeUppercase {\romannumeral 1}}} _\leftarrow & {\underset {a} {\bullet}} \ar @/^2pc/ @{-}[rr] ^ {\lefteqn {\rightarrow} \raisebox {\height} {\MakeUppercase {\romannumeral 2}}} _\leftarrow \ar @/_2pc/ @{-}[rr] ^\rightarrow _ { \lefteqn {\leftarrow} \raisebox {\height} {\MakeUppercase {\romannumeral 3}}} & & {\underset {b} {\bullet}} \ar @{-} [r] ^ {\lefteqn {\rightarrow} \raisebox {\height} {\MakeUppercase {\romannumeral 4}}} & & }
$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/5/6/256f63583a5dbf1777f3cd13d5a4dceb82.png)
Стрелки
![$\rightarrow$ $\rightarrow$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/d/e5d134f35dc4949fab12ec64d186248a82.png)
и
![$\leftarrow$ $\leftarrow$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/4/a14d504f11ac9590eea24397c59fab7182.png)
обозначают направление тока вероятнотности (или правильней говорить волны?) (часть его отражаеся в точках
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
, а в зоне
![${\MakeUppercase {\romannumeral 4}}$ ${\MakeUppercase {\romannumeral 4}}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/9/08952726d946982bfaf32156466bb8e582.png)
отражения уже нету).
Ставится задача на стационарное уравнение Шредингера отдельно в каждой зоне (будет отдельно 4 решения):
![$\psi_I=C_{1} e^{i {\lambda} x} +C_{2}e^{-i{\lambda} x};$ $\psi_I=C_{1} e^{i {\lambda} x} +C_{2}e^{-i{\lambda} x};$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/b/cab69b98e096c3ae2ab09f2295bd82a282.png)
![$\psi_{II}=C_{3} e^{i {\lambda} x} +C_{4}e^{-i{\lambda} x};$ $\psi_{II}=C_{3} e^{i {\lambda} x} +C_{4}e^{-i{\lambda} x};$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/7/2070288719af5ab6dfa9bfcfcb33d3bc82.png)
![$\psi_{III}=C_{5} e^{i {\lambda} x} +C_{6}e^{-i{\lambda} x};$ $\psi_{III}=C_{5} e^{i {\lambda} x} +C_{6}e^{-i{\lambda} x};$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/a/65a9e6cf346e624f105b626c96a3a80d82.png)
![$C_1$ $C_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/1/d81a84099e7856ffa4484e1572ceadff82.png)
можна положить равным единице,
![$C_{8}$ $C_{8}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/c/5fc0ba7927d8a19c414b2a09de0992b682.png)
можна занулить (в четвертой зоне не будет отраженой волны). В итоге, будем иметь следуйщие решения для волновых функций:
![$\psi_I=e^{i {\lambda} x} +C_{2}e^{-i{\lambda} x};$ $\psi_I=e^{i {\lambda} x} +C_{2}e^{-i{\lambda} x};$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/e/4de919b5c13e0f6520212cb9cbc2219b82.png)
![$\psi_{II}=C_{3} e^{i {\lambda} x} +C_{4}e^{-i{\lambda} x};$ $\psi_{II}=C_{3} e^{i {\lambda} x} +C_{4}e^{-i{\lambda} x};$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/7/2070288719af5ab6dfa9bfcfcb33d3bc82.png)
![$\psi_{III}=C_{5} e^{i {\lambda} x} +C_{6}e^{-i{\lambda} x};$ $\psi_{III}=C_{5} e^{i {\lambda} x} +C_{6}e^{-i{\lambda} x};$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/a/65a9e6cf346e624f105b626c96a3a80d82.png)
![$\psi_{IV}=C_{7} e^{i {\lambda} x}.$ $\psi_{IV}=C_{7} e^{i {\lambda} x}.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/a/b2aa875c337875aaa45236185d7a5b2f82.png)
Запишем условия склейки решений.
![$\psi_I (a)=\psi_{II} (a);$ $\psi_I (a)=\psi_{II} (a);$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/2/c32ed022f7242846b383fa29d5d7427f82.png)
![$\psi_{II} (a)=\psi_{III} (a);$ $\psi_{II} (a)=\psi_{III} (a);$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/0/8b0bb57373563687ca6467d71a983c1382.png)
![$\psi_{II} (b)=\psi_{III} (b);$ $\psi_{II} (b)=\psi_{III} (b);$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/d/d4de9d1b184dab7aa3a946d739d0f0aa82.png)
![$\psi_{III} (a)=\psi_{IV} (a);$ $\psi_{III} (a)=\psi_{IV} (a);$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/d/0cd3ad621bc91fd803db9c2e6acfef8182.png)
![$j_I +j_{II} +j_{III}=0;$ $j_I +j_{II} +j_{III}=0;$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/c/d6c8292545f56c78f6aa40fd094e456982.png)
![$j_{II} +j_{III} +j_{IV}=0.$ $j_{II} +j_{III} +j_{IV}=0.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/5/db5598753f72a90a2fd32fc24fd493fe82.png)
В итоге, имеется 10 уравнений (8 с граничными условиями для волновых функций и 2 с закона сохранения плотности потока вероятности) и 12 неизвестных констант (константы могут быть комплексными, тоесть
![$C_1 =a_{C_1} +ib_{C_1}, C_2=a_{C_2}+ib_{C_2}$ $C_1 =a_{C_1} +ib_{C_1}, C_2=a_{C_2}+ib_{C_2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/3/1733e5ef6ee6f58670d20555a342a6af82.png)
).
Проблема - где взять еще 2 уравнения? Преподаватель дал подсказку, что можна использовать тензор энергии-импульса. Поскольку уравнение одномерно, то думаю что в ТЭИ будет только плотность энергии
![$W$ $W$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/c/84c95f91a742c9ceb460a83f9b5090bf82.png)
и компонента
![$T_{11}$ $T_{11}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/7/dd7d7b5b64b419fc4f0b2fbbd76a492882.png)
, остальные будут 0. (в ЛЛ2, параграф 33, Тензор энергии-импульса ЭМП, написано, что ТЭИ можна привести к диагональному виду, когда векторы
![$\bf {B}$ $\bf {B}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/a/baaefa9fa14f41f5b9ab859421d29d8f82.png)
и
![$\bf {E}$ $\bf {E}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/f/3afcc4444f686b4d4c3b50f3645002ba82.png)
будут или паралельны, или один из них будет 0.) У нас нету магнитного поля (как говорил выше
Red_Herring, хотя возможно он имел ввиду другое), по этому плотность энергии будет
![$\frac {c}{8\pi} \bf E^2$ $\frac {c}{8\pi} \bf E^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/c/fac6e8a390c28709013e3ac203ad50f482.png)
, так? Если так, то тогда нужно это как то использовать для точек
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
, что б получить еще 2 уравнения. (Плохо понимаю что такое тензор энергии-импульса, думаю нужно лучше его понять) Правильно ли, что плотность энергии в точке
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
долна быть меньше, чем в точке
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
(если судить по направлению "потока вероятности"\волны?)
-- 24.10.2014, 00:55 --Погуглите "дивергентная форма уравнения" и найдите (лучше сами!) таковую для плотности вероятности
![$\left| \psi \right|^2 $ $\left| \psi \right|^2 $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/b/29bf3ce4a895c8e78519f6abf573b64f82.png)
.
Не совсем понял, что вы имеете ввиду. Гугл подсказал, что дивергентная форма уравнения - это когда все операторы которые входят в уравнения, есть симетричными. Тензор энергии-импульса симетричен. Но что именно нужно найти для плотности вероятности не могу понять :(
(Оффтоп)
Наверно это странно, что тема растягивается на столь долгое время. Что отметил - рисовать линии в
![$LaTeX$ $LaTeX$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/7/7f7cce93036d60ae895df4c900d3fd8182.png)
довольно забавно, хоть и было долго разбираться)) Если подскажете, как можна поставить "
![$\MakeUppercase {\romannumeral 3}$ $\MakeUppercase {\romannumeral 3}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/a/7ca6c5d4ea0548bc570e696e4e79a50e82.png)
под стрелочкою (а не над) буду буду очень принателен, у меня не вышло (\depth не помогло).